第七章第5节几种常见的二次曲面
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x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
(3)用坐标面 yoz ( x 0), x x1与曲面相截
均可得双曲线.
35
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
36
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
解 设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点,
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程
2x 6 y 2z 7 0.
6
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的?
(1)曲面 S 上任一点的坐标都满足方程;
(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程;
那么,方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程,
而曲面 S 就叫做方程的图形.
注:
(1)平面是曲面的特例; x
z
F(x, y, z) 0
s
o
y
(2)任一曲面都可由F( x, y, z) 0表示
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
26
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时,这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
(2)用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线
x2 2 pz
(讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状.
(讨论柱面、二次曲面)
8
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
9
问题: 求yoz面上一条曲线C : F ( y, z) 0
绕z轴旋转所成的曲面方程.
[方法]
问题:
x2 y2 1在空间表示什么图形?
它 可 以 看 成 用 平 行 于z轴 的 直 线
z
沿xoy面上的圆x2 y2 1移动而成
y
x
16
定义
平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ,动直线 LL 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
y 0
27
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
(3)用坐标面 yoz ( x 0), x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
23
椭球面的几种特殊情况:
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和
z 轴;
x 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(3)抛物线
y
2
2 pz绕
z 轴;
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
F x, y2 z2 0.
11
曲线 C: F ( x, y) 0 绕 y 轴旋转曲面方程.
F x2 z2 , y 0,
类似
曲线 C: F ( x, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
曲线 C: F ( x, z) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
解 根据题意有 z 1
z
用平面 z c 去截图形得圆:
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面 z c 上下移动时, c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c) ,半径为 1 c
x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶,下封底.
7
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程.
28
椭圆抛物面的图形如下:
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
29
特殊地:当 p q时,方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
(由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
旋转而成的)
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
zz22 aa22((xx22yy22))
13
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求 生成的旋转曲面的方程.
(1)双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴;
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
14
y2
(2)椭圆
21
(一)椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线:
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
22
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
(2) y12 b2 , 实轴与 z 轴平行, 虚轴与 x 轴平行.
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
34
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
所求方程为
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地:球心在原点时方程为
x2 y2 z2 R2 4
例 2 求与原点 O 及 M0(2,3,4) 的距离之比为1: 2 的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M ( x, y, z) 是曲面上任一点,
(1)用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
32
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1变动时,这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
(2)用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
得方程 F x2 y2 , z 0,
所以
F( y, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
同理: F( y, z) 0 绕 y 轴旋转曲面方程
F y, x2 z2 0.
类似 曲线 C: F( x, y) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
(2)点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
10
将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
第五节 几种常见的二次曲面
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结及作业
1
一、曲面方程的概念
平面上
y f (x) 表示一条平面曲线
y
y f (x)
空间上
x2 y2 z2 1
o
x
z
表示单位球面方程
y
x
2
曲面方程的定义
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0 有下述关系:
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
40
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ,
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时,这种圆 的中心都在 z 轴上.
30
x2 y2 z( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论:
设 p 0, q 0
z
图形如下:
o y
x
31
(三)双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为
x
2
2
y 12
z
4
2
116 .
3
3 9
5
例 3 已知 A(1,2,3) ,B(2,1,4) ,求线段AB 的 垂直平分面的方程.
F x, y2 z2 0.
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
在空间都表示一个柱面.
上面方程中缺少哪个变量, 就 表示此柱面与哪个坐标轴平行.
20
四、二次曲面
曲面方程: F ( x, y, z) 0
二次曲面: 三元二次方程所表示的曲面称之.
如x2 ( y 1)2 z2 1
相应地平面被称为一次曲面.
如 2x y 3z 0
讨论二次曲面方法:截痕法: 特殊的二次曲面.
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合, 虚轴与 z 轴相合.
33
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
17
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
18
z
x2 y2
a2 b2 1
o y
x 从柱面方程看柱面的特征:
只含 x, y而缺 z 的方程F(x, y) 0,
在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的
柱面,其准线为 xoy面上曲线 C .
19
一 般 地:
F( x, y) 0, F( y, z) 0, F( x, z) 0
o
y
x
37
五、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
(熟知这几个常见曲面的特性)
38
习题7 5 P235
A组
1(1),2,3(2)(4),4,5
39
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形?
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别:
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
24
截面上圆的方程
x
2
y2
a2 c2
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
25
(二)抛物面
x2 y2 z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论: 设 p 0, q 0 (1)用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点,即坐标原点 O(0,0,0)
反之不一定, 如x2 y2 z 2 1 0 3
例 1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ) 、半径为
R 的球面方程. 解 设M( x, y, z)是球面上一点,
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R