2019年高三数学最新信息卷十文201905230362

2019年高考高三最新信息卷
文 科 数 学（十）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·益阳模拟]若i 为虚数单位，复数z 满足：()1i i z +=，则z =（ ） A ．2
B ．1
C
D
2．[2019·赤峰模拟]设集合{}2log 1A x x =≤，{}2B x x =∈≤Z ，则A B 中的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．[2019·钟祥模拟]某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，
，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，
若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A ．623
B ．328
C ．253
D ．007
4．[2019·东南七校]若双曲线以2y x =±
为渐近线，且过(A ，则双曲线的方程为（ ） A ．2214
y x -=
B ．2
2
14
y x -=
C ．221168x y -=
D ．221168
y x -=
5．[2019·成都外国语]若平面向量(),1x =a ，()2,31x =-b ，若∥a b ，则x =（ ） A ．15
B ．23
-
C ．1或2
3
-
D ．1或1
5
6．[2019·海淀联考]如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．[2019·陕师附中]函数2ln x x y x
=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．[2019·延庆一模]已知数列{}n a 中，11a =，11
1n n
a a +=+，若利用下面程序框图计算该数列的 第2019项，则判断框内的条件是（ ）
A ．2016n ≤
B ．2017n ≤
C ．2018n ≤
D ．2019n ≤
9．[2019·凯里一中]在锐角三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，
且2sin a B =，4a =，则ABC △面积的最大值为（ ） A
．B
．C
．D
．
10．[2019·上饶联考]已知函数()f x 是定义域为R 上的偶函数，若()f x 在(],0-∞上是减函数，
且112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则不等式()4log 1f x >的解集为（ ）
A
．(
)
2,⎛+∞
⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．()10,2,2⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
D ．()2,+∞
11．[2019·四川质检]已知函数()()()πsin cos 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛
⎫=++><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则（ ）
A ．()f x 在π3π,44⎛⎫
⎪⎝⎭内单调递减
B ．()f x 在0,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减
C ．()f x 在π3π,44⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增
D ．()f x 在0,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增
12．[2019·安徽联考]已知函数()()224,
1log 1,
1
x x m x f x x x ⎧++≤-⎪=⎨
+>-⎪⎩，若函数()()1g x f x =+有三个零点，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．(]2,3 C ．[)2,3 D ．()1,3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·新疆诊断]设x ，y 满足约束条件20
10x y x y x m -+≥+-≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，若2z x y =+的最大值为11，则m 的值为_____．
14．[2019·青岛一模]部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数
学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是__________．
15．[2019·东莞冲刺]已知抛物线()2:20C
y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 'l 与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则
NQ QF
=_______．
16．[2019·汉中质检]三棱锥S ABC -中，侧棱SA 与底面ABC 垂直，1SA =，2AB =，3AC =且AB BC ⊥，
则三棱锥S ABC -的外接球的表面积等于__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·成都外国语]已知数列{}n a 是等差数列，且21a =-，数列{}n b 满足
()12,3,4n n n b b a n --==，且131b b ==．
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n b 的通项公式．
18．（12分）[2019·四川质检]光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：
某位同学分别用两种模型：①2ˆy
bx a =+，②ˆy dx
c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于ˆi i y y
-)：
经过计算得
()()8
1
72.8i
i
i x x y
y =--=∑，
()
8
2
1
42i
i x x =-=∑，
()()8
1
686.8i
i i t
t
y y =--=∑，()8
21
3570i i t t =-=∑，
2
i i t x =
其中，8
1
1
8
i i t t ==
∑．
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由．
（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少．(在计算回归系数时精确到0.01)
附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()
()
8
1
8
2
1
ˆi
i
i i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
19．（12分）[2019·四川质检]如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC BC ===，AB DC ∥，2AB CD =，90BCD ∠=︒．
（1）求证：AD PB ⊥；
（2）求点C 到平面PAB 的距离．
20．（12分）[2019·衡水联考]已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，
离心率为
2
，且122F F =． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN △的面积．
21．（12分）[2019·华大联盟]已知函数()()e x f x x a a =--∈R ． （1）当0a =时，求证：()f x x >；
（2）讨论函数()f x 在R 上的零点个数，并求出相对应的a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·重庆诊断]在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为121x t y ⎧
⎪⎪
⎨==-⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos 0a a ρθ=>． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，设点()0,1M -，已知2
MA MB AB ⋅=，求实数a 的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·皖南八校]已知函数()3223f x x x =---． （1）求不等式()f x x >的解集；
（2）若关于x 的不等式()22f x a a <+恰有3个整数解，求实数a 的取值范围．
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2019年高考高三最新信息卷
文科数学答案（十）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】∵11i 22
i i
z ==++
，∴z =．故选D ． 2．【答案】C
【解析】因为{}2log 1A x x =≤，故{}02A x x =<≤， 因为{}2B x x =∈≤Z ，所以{}02A B x x =∈<≤Z ，
所以{}1,2A
B =，元素的个数为2，故选
C ．
3．【答案】A
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，623， 则得到的第6个样本编号是623．故选A ． 4．【答案】A
【解析】根据题意，双曲线以2y x =±为渐近线，设双曲线的方程为2
24
y x t -=，
又由双曲线经过点(A
，则有
(2
44
t -=，解可得1t =，
则双曲线的方程为2
214
y x -=，故选A ．
5．【答案】C
【解析】(),1x =a ，()2,31x =-b ，且∥a b ，
()31120x x ∴--⨯=，解得2
3
x =-或1x =，本题正确选项C ．
6．【答案】D
【解析】由题意，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和 三棱锥1D ACD -后，得到一个7面体，根据几何体的截面图，可得其左视图为D ，故选D ． 7．【答案】D 【解析】函数2ln x x y x
=
为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B ．
当0x >时，2ln ln x x y x x x
=
=，ln 1y x '=+，
0e 1y x >⇒>'，1
00e
y x <⇒'<<，
ln y x x ∴=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1e ,⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增．故选D ．
8．【答案】C
【解析】通过分析，本程序满足“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件，
第一次循环，1
2A =，即211112a a ==+，112n =+=，
第二次循环，12
1
312
A =
=
+，即321213
a a ==+，213n =+=， ，
第2018次循环，即求20192018
1
1a a =
+的值，201812019n =+=，此时满足题意，应退出循环，
输出A 的值，所以判断框内应为2018n ≤，故选C ． 9．【答案】B
【解析】在ABC △中，由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，
2sin a B =
2sin sin B A B =
，解得sin A =
， ABC △
为锐角三角形，则1
cos 2
A =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2216b c bc =+-，
22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立，
1sin 2ABC S bc A ∴=⋅=≤△，故选B 项．
10．【答案】C
【解析】根据题意作出函数的简图如下：
结合图像可得41log 2x >或者41log 2x <-，解之得2x >或者1
02
x <<，故选C ． 11．【答案】B
【解析】()()()()1
sin cos sin 222
f x x x x ωϕωϕωϕ=++=+，
因为()f x 最小正周期为π，2π
2T ω
=
，得1ω=， 因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，所以π
2π2k k ϕ=+∈Z ，，
而0π2ϕ<<，所以π
4
ϕ=，
即()11
sin 2πcos2222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据四个选项，可知B 项正确．
12．【答案】C
【解析】令()0g x =，则()1f x =-，
当1x >-时，由()1f x =-，可得()2log 11x +=-，即1
2
x =-，为一个零点，
故当1x ≤-时，函数()24f x x x m =++的图象与直线1y =-有两个交点即可， 结合()f x 图象：
可得()()
241
131f m f m -=-<--=-≥-⎧⎪⎨⎪⎩，解得23m ≤<，本题正确选项C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3
【解析】作出不等式组20
10x y x y x m -+≥+-≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
表示的区域，如下图：
作出直线:20l x y +=，由图可得，当直线l 往上平移，经过点(),2m m +时，z 最大，
由已知得2211m m ++=，解得3m =． 14．【答案】
9
16
【解析】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得
()99
1616
S P A S =
=
小三角形小三角形
，故选B ． 15．【答案】2
【解析】由抛物线定义可得MF MN =，
l '倾斜角为π3，MN l ⊥，所以π
3
NMF ∠=，即三角形MNF 为正三角形，
因此NF 倾斜角为2π3
，由222y px p y x =⎫=-⎪⎭⎧⎪⎨⎪⎩，解得362p p x x ==或（舍），即6Q p x =，62226
P P NQ P P QF ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
==-． 16．【答案】10π
【解析】把三棱锥S ABC -，放到长方体111ABCD SB C D -里，如下图：
SC =，因此长方体111ABCD SB C D -
所以半径R =S ABC -的外接球的表面积为24π10πR =．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）3-；（2）244n b n n =-+．
【解析】（1）由数列{}n b 满足1n n n b b a --=，（2n ≥，n ∈*N ），
2121b b a ∴-==-，131b b ==，20b ∴=，3321a b b =-=，
数列{}n a 是等差数列，()32112d a a ∴=-=--=，
12123a a d ∴=-=--=-，1a 的值为3-．
（2）由（1）可知数列{}n a 是以3-为首项，以2为公差的等差数列，
()32125n a n n =-+-=-，
∴当2n ≥时，125n n b b n --=-，
()12215n n b b n ---=--， ，
211b b -=-，
将上述等式相加整理得()
()211251432
n n b b n n n -+--=⋅-=-+，
244n b n n ∴=-+，（2n ≥），
当1n =时，11b =也满足，244n b n n ∴=-+（n ∈*N ）．
18．【答案】（1）选择模型①；（2）20.19.6ˆ01y x =+，19.16（兆瓦）．
【解析】（1）选择模型①．
理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好．
（2）由（1）可知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy
bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+． 由所给数据可得()8
1
1
1
149162536496425.588i i t t ==
=⨯+++++++=∑
．
()8
1
11
0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.258
8i i y y ==
=⨯+++++++=∑
，
()()
()
81
8
2
1
686.8=
0.1957ˆ30
i
i i i
i t
t
y y b
t
t
==--∴=≈-∑∑，50.1925.506ˆˆ.1a
y bt =-≈-⨯≈， 所以y 关于x 的回归方程为20.19.6ˆ01y
x =+， 预测该地区2020年新增光伏装机量为20.19100.1619.1ˆ6y =⨯+=（兆瓦）．
19．【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）如图，取AB 中点为M ，连接PM ，DM ，BD ，
因为2AB CD =，AM MB =，2DC BC ==，CD AB ∥，90BCD ∠=︒， 所以四边形BCDM 为正方形，所以2DM BC AM MB ====，
所以AD =
BD =，4AB =． 所以222AB BD AD =+，所以AD BD ⊥，
因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥． 又因为BD
PD D =，所以AD ⊥平面PDB ，
而PB ⊂平面PDB ，所以AD PB ⊥．
（2）连接AC ，设点C 到平面PAB 的距离为h ，
则1118
4223263
C PAB P ABC V V AB BC P
D --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，
因为AB PD ⊥，AB DM ⊥，且PD
DM D =，
所以AB ⊥平面PDM ，所以AB PM ⊥．
在PDM Rt △中，2228PM PD DM =+=
，即PM =．
所以11
422
PAB S AB PM =⨯⨯=⨯⨯△
所以13C PAB PAB V S h -=⨯⨯=△．
所以83=
，所以h =．
所以点C 到平面PAB
． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）23
．
【解析】（1
）由题得，22
c a c =
=⎧⎪⎨⎪⎩
，解得1a c ⎧==⎪⎨⎪⎩，所以1b =， 所以椭圆E 的方程为2
212
x y +=．
（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20l BF k k +=． 由（1）知，椭圆E 的方程为2
212
x y +=，
所以()21,0F ，()0,1B -，所以210
101
BF k --=
=-，从而1l k =-， 所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=． 联立方程2
22
10
34012
x y x x x y ⎧⎪⎨⎪
+-=⇒-=+=⎩，解得0x =或43x =． 设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，24
3
x =， 所以当10x =，11y =；当243x =
，21
3
y =-， 所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．3MN ．
设原点O 到直线l 的距离为d
，则d =
，
所以112
2233
OMN S MN d =
⨯⨯=⨯=△．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点． 【解析】（1）当0a =时，()e x f x x =-，
令()()e e 2x x g x f x x x x x =-=--=-，则()e 2x g x '=-． 令()0g x '=，得ln2x =．
当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增． 所以ln2x =是()g x 的极小值点，也是最小值点， 即()()ln2min e
ln2e 2ln22ln 02
g x g ==-=>， 故当0a =时，()f x x >成立．
（2）()e 1x f x '=-，由()0f x '=，得0x =．
所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点， 即()()min 01f x f a ==-．
当10a ->，即1a <时，()f x 在R 上没有零点． 当10a -=，即1a =时，()f x 在R 上只有一个零点． 当10a -<，即1a >时，因为()()e e 0a a f a a a ---=---=>， 所以()f x 在(),0-∞内只有一个零点； 由（1）得e 2x x >，令x a =，得e 2a a >，
所以()e e 20a a f a a a a =--=->，于是()f x 在()0,+∞内有一个零点， 因此，当1a >时，()f x 在R 上有两个零点． 综上，1a <时，函数()f x 在R 上没有零点； 当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点； 当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1
）直线10l y --=，曲线22:20C x y ax +-=；（2
）a 【解析】（1）因为直线l
的参数方程为121x t y ⎧
⎪⎪
⎨==-⎪⎪⎩，
消去t 化简得直线l
10y --=，
由2cos a ρθ=，得22cos a ρρθ=，
因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222x y ax +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y ax +-=．
（2
）将121x t y ⎧⎪⎪
⎨==-⎪⎪⎩，代入2220x y ax +-=
，得221104t at ⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，
即)2
10t a t -
+=
，)
2
40Δa
=
->，
则12t t a +=，121t t =，∴121MA MB t t ⋅==， ∴2
1AB =，∴()(
))
2
2
2
2
121212441AB t t t t t t a
=-=+-=-=，
∵0a >
，∴a
)
2
40Δa
=->，
∴a =．
23．【答案】（1）15,,24⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）111,0,22⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．
【解析】（1）由题意，函数()3223f x x x =---，可得()21,3
2355,
3231,2
x x f x x x x x ⎧
--≤
⎪⎪⎪
=-<<⎨⎪⎪
+≥
⎪⎩
， 因为()f x x >，所以当23x ≤时，1x x -->，12
x <-； 当
2332x <<时，55x x ->，53
42
x <<； 当32x ≥
时，1x x +>，3
2
x ≥， 所以不等式()f x x >的解集为15,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）由（1）知()f x 的单调减区间为2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，
又()21f -=，()10f -=，()01f =-，()10f =，()23f =， 所以2021a a <+≤，所以112a -≤<-或1
02
a <≤，
故a 的取值范围为111,0,22⎡
⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣
⎭⎝⎦．。