二进制减法规则

[+49]原＝00110001 ，[+49]反＝00110001 ， [+49]补＝00110001 [-49]原＝10110001 , [-49]反＝11001110 ， [-49]补＝11001111
二进制码
十进制
原码
0111 0110 0101
反码
0111 0110 0101
补码
0111 0110 0101
零 一
二 三 四 五 六
0 1
2 3 4 5 6
0 1
10 11 100 101 110
0 1
2 3 4 5 6
0 1
2 3 4 5 6
十 十一
十二 十三 十四 十五 十六
10 11
12 13 14 15 16
1010 1011
1100 1101 1110 1111 10000
A B
C D E F 10
格雷码到二进制码的转换：
1．两种数码最左边的数相同； 2．从左至右依次读格雷码，若某位为0 ， 表 示与该位对应的二进制码与左边的码相同； 为1，表示与该位对应的二进 码与 左边的 码元不同。 例 1-2-2 将格雷码01110100转换成相应的 二进制码。 格雷码 0 1 1 1 0 1 0 0 二进制码 0 1 0 1 1 0 0 0 因此 (01110100)Gray＝(01011000)2
i m
2. 二进制
符号0、1和小数点，且逢二进一，2为 基，2i称为第i位上的权。 (N)2＝(bn-1bn-2…b1b0.b-1b-2…b-m)2 ＝bn-1×2n-1+bn-2×2n-2+…+b1 ×21 +b0×20 +b-1×2-1+b-2×2-2+…+b-m×2-m
＝
im

n 1
1101 × 101 1101 1101 1000001
11.01 100 1101 100 101 100 100 100 0
编码
编码--广义上讲，用文字、符号或者数码来表示某种信息的 过程叫编码。 代码--由编码得到的表示给定的数或信息的符号串称为代码 码元--符号串的各符号称为码元， 码长--符号的位数称为码长。 二值编码--在数字系统中，任何数据和信息都是由若干位0 和1组成的二进制代码来表示， 这种编码称为二 值编码。 码长为n的二值编码，它的n位码元可组成2n种不同的代 码，代表2n种不同的信息或数据。 译码(解码) --把代码还原成数或信息的过程。
1.2.1 自然二进制编码
用0、1符号表示数值大小的一种编码方法
十进制数 0 1 2 3 4 5 四位自然二进制码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 十进制数 8 9 10 11 12 13 四位自然二进制码 1000 1001 1010 1011 1100 1101
6
7
i m

n 1
di 10i
第一章 数制与编码
例：（3456.789）10=（3456.789)D
= 3×103+4×102+5×101+6×100+7×10—1
+8 ×10-2 +9 ×10-3
第一章 数制与编码
若某数制有R个数值符号和小数点，且 逢R进一，则称为R进制,其中R称为基，Ri 称为第i位上的权。 n 1 (rn-1 rn-2… r0 .r-1… r-m)R = ri R i
4. 十六进制
符号0、1、…9、A、B、C、D、E、F 和小数点，且逢十六进一，16为基，16i称 为第i位上的权。
例：（B1F.8)16=(B1F.8)H =11×162+1×161+15×160+8×16-1 =(2847.5)10
各种数制对照表
数 值 十 进 制 二 进 制 十 六 进 制 八 进 制 数 值 十 进 制 二 进 制 十 六 进 制 八 进 制
四位带符号数的原 码、反码和补码 n位带符号二进制数码 可以表示的数值范围： 原码: -(2n-1-1) ～+(2n-1-1) 反码: -(2n-1-1) ～+(2n-1-1) 补码: -2n-1 ～+(2n-1-1)
2. 二-八-十六进制之间的转换
将二进制数转换成八进制数的方法是从小数点向左， 把二进制整数按每三位一组从低位到高位分组；从小数点 向右把小数部分每三位一组分组，不足三位的补零，最后 将每一组用等值的八进制数代替即可。
将二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数转换 成八进制数的方法类似，不同之处是分组时按每4位一组 进行，最后每一组用16进制数代替。
例：（1100101.11)2 =(0110 0101.1100)2 =(65.C)16 =(001 100 101.110)2 =(145.6)8
17
3. 十进制到八、十六进制的转换
例：（22)10=(10110)2=(16)16=(26)8
§1-1-3 二进制的运算
1、加法
2、减法 3、乘法、除法
1. 十进制到二进制的转换
整数部分用基数除法，小数部分用基数乘法, 小数部分算到r位误差小于2-r。 基数除法的步骤如下： （1 ）将十进制整数除以 2，取其余数作为二进制数 的 第0位，得到b0； (2) 将上一步所得之商除以 2，取余数作为二进制数 的 第1位b1； (3) 重复（2），记下每一步所得之余数，直到商为0。 例1：(22.625)10=(10110.101)2

1-1-1 常用数制
1、十进制 2、二进制 3、八进制 4、十六进制 5、对照表
1. 十进制
符号0、1、…9和小数点，且逢十进一， 10为基，10i称为第i位上的权。 (N)10＝(dn-1dn-2…d1d0.d-1d-2…d-m)10 ＝dn-1×10n-1+dn-2×10n-2+…+d1×101+d0×100 +d-1×10-1+d-2×10-2+…+d-m×10-m ＝
2 22 2 11 … 0 LSM 2 5 … 1 2 2 … 1 2 1 … 0 0 … 1 MSB
基数乘法的步骤为： (1) 将待转换的十进制纯小数乘以2，取乘积的整数部 分作为二进制纯小数的最高位b-1； (2) 将上一步乘积的小数部分再乘以2，取乘积的整数 部分作为二进制纯小数的次高位b-2； (3) 重复（2），记下每一步所得积的整数部分b-3、 b-4、…，直到小数部分为零；或者虽然乘积的小 数部分不为零，但二进制纯小数的位数已能满足所 要求的转换精度，此时两者之间的转换存在着一定 误差。 0.625
12 13
14 15 16 17 20
七
八 九
7
8 9
111
1000 1001
7
8 9
7
10 11
十七
十八 十九
17
18 19
10001
10010 10011
11
12 13
21
22 23
§1-1-2 数制之间的转换
1. 十进制到二进制的转换
2. 二、八、十六进制之间的转换 3. 十进制到八、十六进制的转换
1. 加法
最低位：本位相加（无低位来的进位）。 其他位：除本位相加外，再加低位的 进位（考虑低位来的进位）。 x
0 0 1 1
y co 1101 +1011
11000
Σi 0 1 1 0 1 0 0 1
Σ
0 1 1 0
cii 0 0 0 0 1 1 1 1
xi 0 0 1 1 0 0 1 1
yi 0 1 0 1 0 1 0 1
Xi 0 0 1 1 0 0 1 1
Di 0 1 1 0 1 0 0 1
Yi 0 1 0 1 0 1 0 1
Bi 0 1 0 0 1 1 0 1
Di 0 1 1 0 1 0 0 1
Bi 0 1 0 0 1 1 0 1
二进制减法规则（低位有借位）
3. 乘法、除法
乘法：当乘数为2r时，积为被乘数左移r位， 乘法运算由加法运算及左移位操作组成。 除法：当除数为2r时，商为被除数右移r位， 乘法运算由减法运算及右移位操作组成。
1-2-3 二进制原码、补码和反码
原码：自然二进制码。 1的补码(反码)：若n位二进制数的原码为N,则 反码为： [N]反=（2n –1）- N，把原码的各位 求反(0变1，1变0)即得反码。 2的补码(补码)：若n位二进制数的原码为N,则 补码为：[N]补=2n – N=[N]反+1。 例：[5]原=0101 [5]反=1010 [5]补=1011
1-2-4 带符号数的表示
带符号的二进制数用最高位表示符号， 称为符号位，且0表示正，1表示负，其余位 表示绝对值的值，称为数值位。
数值位 符号位 正数 负数 0 1 原码表示法 反码表示法 补码表示法 绝对值的原码 绝对值的原码 绝对值的原码 绝对值的原码 绝对值的反码 绝对值的补码
例1-2-3 试分别写出＋49和－49的二进制原码、 反码和补码。设码长为8位。
格雷码和自然二进制码的转换
二进制码到格雷码的转换：
1．两种数码最左边的数不变； 2．从左至右依次读二进制码，若某位二进码 与前一位有变化（0到1或1到0）,则该位对 应的格雷码为1，否则为0。 例 1-2-1 将二进制码 11010111转换成格雷 码。 二进制码 1 1 0 1 0 1 1 1 格雷码 10111100 因此 (11010111)2＝(10111100)Gray
coi 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
二进制加法规则
1. 加法(续)
x y
&
co Σ co
=1
x3 y3 c2 x2 y2 c1 x1 y1 c0
c3
FA
Σ3
四
FA
x
Σ2
位 并 行
半加器 全加器
y xi yi cii
HA
Σ co
FA
Σ1 Σ0
x0
y0
HA
FA
Σ
加
法 器
行波进位并行法器:进位由低向高逐级传递.
图124键盘及信号变换数字设计引论12二值编码112二值编码二值编码121自然二进制编码123二进制原码补码和反码124带符号数的表示方法125用反码和补码进行加减运算126二十进制码127ascii码121121自然二进制编码自然二进制编码十进制数四位自然二进制码十进制数四位自然二进制码001010101000111110110100121100010113110101101411100111151111用01符号表示数值大小的一种编码方法112221101101111111110121010131011141001151000格雷码的特性意义格雷码的特性意义特性格雷码具有循环特性即相临的代码只有一位不同称他们的距离为1
0110
0111
14
15
1110
1111
1-2-2 格雷码
十进制数 0 1 2
四位格雷码 0000 0001 0011
3
4 5
0010
0110 0111
6
7 8 9 10 11 12
0101
0100 1100 1101 1111 1110 1010
13
14 15
1011
1001 1000
格雷码的特性、意义
d i 2i
第一章 数制与编码
例：
（1011.1)2
=(1011.1)B
=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1 =(11.5)10
3. 八进制
符号0、1、…7和小数点，且逢八进一， 8为基，8i称为第i位上的权。
例：（37.6)8=(37.6)O =3×81+7×80+6×8-1=(31.75)10
× 2
MSB … 1 .250
例2：(0.71)10=(0.101101)2 (六位二进制小数)
×
2
0 .50 × 2
LSB … 1 .0
若计算二进制小数至－l位，舍弃－（l+1)
位，则误差小于2－l。
例3：(0.71)10=(0.10110101)2 (误差小于5‰)
2－8≈0.0039
2-7 ≈0.0078
第一章 数制与编码
数制：表示数值的符号和规则。
编码：表示信息的符号和规则。
用 0，1表示信息，以便数字系统处理。



§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5
数制 二值编码 可靠性编码 应用举例 小结
§1-1 数制

1.1.1 常用数制

1.1.2 数制之间的转换 1.1.3 二进制的算术运算
《数字设计引论》 §1-2二值编码
图1-2-4
键盘及信号变换
§1-2 二值编码



1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7
自然二进制编码 格雷码 二进制原码、补码和反码 带符号数的表示方法 用反码和补码进行加减运算 二—十进制码 ASCII码
2. 减法
最低位：本位相减(不考虑低位的借位)。 其他位：除本位相减外，再减低位的借位 （考虑低位的借位）。
x y b d
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
0 0
0 1
1 0
1101 - 1011 0010
二进制减法规则（无借位）
BI i 0 0 0 0 1 1 1 1
BI i 0 0 0 0 1 1 1 1 Xi 0 0 1 1 0 0 1 1 Yi 0 1 0 1 0 1 0 1
特性
一、 格雷码具有循环特性，即相临的代码 只有一位不同，称他们的距离为1。 二、 格雷码具有反射特性，即以最高位0 和1交界处为对称轴，低位对称相同。
意义
自然二进制码不具有循环特性。当一个 代码变为相邻代码时，如欲由1001变为 1010，由于实际电路中各个码元的变化总 有先有后，难以做到绝对地“同时”变化， 若1001的最低位1先变成0，然后次低位0 再变成1，则1001变成1010的变化过程是： 1001→ 1000→1010，出现了误码1000。 而由于格雷码所具有的循环特性，当其代码 顺序变化时，将不会出现上述错误。