高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》经典测试题及答案解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
【最新】数学复习题《不等式》专题解析
一、选择题
1.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-,且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称,若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+„,则s 的取值范围是( )
A .13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B .[3,2]--
C .[2,3)-
D .[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称,所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-„,结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-,从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解:因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-,所以()f x 在R 上为减函数;
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称,所以()y f x =关于原点对称, 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„,所以
222323s s s s -+≥-+-,
整理得260s s +-≤,解得32s -≤≤. 故选:D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性,考查了函数的对称性,考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性,从而将不等式化简.
2.若直线过点
,则
的最小值等于( )
A .5
B .
C .6
D .
【答案】C 【解析】∵直线过点
,∴
,∴
,
∵
,∴
,
,
,
当且仅当时,等号成立,故选C.
点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
3.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该
企业每天可获得的最大利润为( )
甲乙每天原料的可用总量
A(吨)3212
B(吨)128
A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件列可行域与目标函数,结合图象确定最大值取法,即得结果.
【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得
3212,
28,
0,
0,
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
目标函数34
z x y
=+,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,
可得目标函数在点P处取得最大值,由
28,
3212,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得()
2,3
P,则
max
324318
z=⨯+⨯=(万元).选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4.设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
,则目标函数5z x y =+的最大值为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组得到最优解的坐标,代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图:目标函数z =5x +y 可化为y =-5x +z ,
即表示斜率为-5,截距为z 的动直线,由图可知,
当直线5z x y =+过点()1,0A 时,纵截距最大,即z 最大, 由21
1x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得A (1,0)
∴目标函数z =5x +y 的最小值为z =5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5.设实数满足条件
则
的最大值为( ) A .1 B .2
C .3
D .4
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示:画出可行域和目标函数,
,即
,表示直线在轴的截距加上1,
根据图像知,当时,且时,
有最大值为.
故选:.
【点睛】
本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.
6.若实数,,a b c ,满足222a b a b ++=,2222a b c a b c ++++=,,则c 的最大值是( ) A .
43
B .2log 3
C .
25
D .2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b
+的最小值后可得221
a b
a b ++-的最大值,从而可得2c 的最大值,故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=
,故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥,当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=,故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--,
当且仅当1a b ==时等号成立,故max 24
log 3
c =. 故选:D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解,应用基本不等式求最值时,需遵循“一正二定三相等”,如果多变量等式中有和式和积式的关系,则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式,通过解不等式来求最值,求最值时要关注取等条件的验证.
7.已知实数x ,y
满足不等式||x y +≥,则2
2x y +最小值为( )
A .2
B .4
C
.D .8
【答案】B 【解析】 【分析】
先去掉绝对值,画出不等式所表示的范围,再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小
圆的半径的平方,即可求解. 【详解】 由题意,可得
当0y ≥
时,x y +≥ (2)当0y <
时,x y -≥
如图所示,画出的图形,可得不等式表示的就是阴影部分的图形, 又由2
2x
y +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方,
又由2d ==,所以24d =,
即2
2x
y +最小值为4.
故选:B .
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识,以及点到直线的距离公式的应用,着重考查了数形结合思想,以及计算能力.
8.已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<,2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
,则P Q I 为( )
A .()0,2
B .()1,9
C .()1,4
D .()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集,集合P 是对数不等式解的集合,集合Q 是分式不等式解的集合,分别求出解集,再交集运算求出公共部分. 【详解】
解:{}
19P x x =<<,{}
02Q x x =<<;
()1,2P Q ∴⋂=.
故选:D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质,及分式不等式的解法和集合交集运算,交集运算口诀:“越交越少,公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略:
(1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.
(2)对数函数的单调性和底数的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按01a <<和1a > 进行分类讨论.
分式不等式求解:先将分式化为整式;注意分式的分母不为0.
9.已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9,若点
, 则
的最大值为( )
A .3
B .6
C .9
D .12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析:先画出满足约束条件对应的平面区域,利用平面区域的面积为9求出3a =,然后分析平面区域多边形的各个顶点,即求出边界线的交点坐标,代入目标函数求得最大值. 详解:作出不等式组对应的平面区域如图所示:
则(,),(,)A a a B a a -,所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=, 解得3a =,此时(3,3),(3,3)A B -,
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时,2z x y =+取得最大值9,故选C.
点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z 的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.
10.已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(,5]-∞ B .[5,)+∞
C .(,4]-∞
D .[4,)+∞
【答案】C
【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立,则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立,∵当[1,3]x ∈时,4
[4,5]x x
+
∈,∴4a ≤,即实数a 的取值范围是(,4]-∞,故选C .
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立(()min a f x ≤即可);② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可);③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立;④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
11.函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点A ,若点A 在直线
10mx ny +-=上,其中·0m n >,则
41
m n
+的最小值为() A .16 B .24
C .50
D .25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A (4,1),点A 在直线上得4m+n =1,用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值. 【详解】
令x ﹣3=1,解得x =4,y =1,
则函数y =log a (x ﹣3)+1(a >0且a≠1)的图象恒过定点A (4,1), ∴4m+n =1, ∴
41m n +=(41m n +)(4m+n )=16+14n 4m m n
++
=17+8=25,当且仅当m =n 15=时取等号,
故则
41
m n +的最小值为25, 故选D . 【点睛】
本题考查均值不等式,在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.
12.已知实数0x >,0y >,则“224x y +≤”是“1xy ≤”的( ) A .充要条件
B .必要不充分条件
C .充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分,必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ,
422x y ∴≤≤⇒+≤ , 等号成立的条件是x y =,
又x y +≥Q ,0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ , 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤,
反过来,当1
2,3
x y ==
时,此时1xy ≤,但224x y +> ,不成立, ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断,属于基础题型.
13.已知M 、N 是不等式组1,1,10,6
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点,则
||MN 的最大值是( )
A
B
C
.D .
172
【答案】A 【解析】 【分析】
先作可行域,再根据图象确定MN 的最大值取法,并求结果. 【详解】
作可行域,为图中四边形ABCD 及其内部,由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆,BD 为直径,所以MN 的最大值为
选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线2
23
2
2
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论:①曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2;③曲线C 围成区域的面积大于4π;④方程
()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本不等式得2
2
4x y +≤,可判断②;22
4x y +=和()
3
22
2216x y x y +=联立解得
222x y ==可判断①③;由图可判断④.
【详解】
()2223222216162x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭, 解得224x y +≤(当且仅当222x y ==时取等号),则②正确;
将224x y +=和()322
2216x y x y +=联立,解得222x y ==,
即圆224x y +=与曲线C 相切于点,(,(,
, 则①和③都错误;由0xy <,得④正确.
故选:B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.
15.已知函数()lg f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22
a b a b
+-的最小值等于( ).
A B .C .2 D .【答案】D
【解析】 试题分析:因为函数()lg f x x =,0a b >>,()()f a f b =
所以lg lg a b =- 所以1a b
=,即1ab =,0a b >>
22a b
a b
+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=
当且仅当2a b a b
-=-,即a b -=时等号成立
所以22
a b a b
+-的最下值为故答案选D
考点:基本不等式.
16.设x ∈R ,则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的( ) A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<,22012x x x --<⇒-<<,故为充分不必要条件.
17.设x ,y 满足约束条件
则的最大值与最小值的比值为( ) A . B . C
. D .
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线
,观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解,再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值,于此可得出答案。
【详解】
如图,作出约束条件表示的可行域.
由图可知,当直线
经过点时.z 取得最大值; 当直线经过点时,z 取得最小值.故
,故选:A 。
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题,一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解,考查计算能力,属于中等题。
18.若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
,目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅
为(1,3),则a 的取值范围为( )
A .(1,1)-
B .(0,1)
C .(,1)(1,)-∞⋃+∞
D .(1,0]-
【答案】A
【解析】
【分析】
结合不等式组,绘制可行域,判定目标函数可能的位置,计算参数范围,即可.
【详解】
结合不等式组,绘制可行域,得到:
目标函数转化为y ax z =-+,当0a -≥时,则<1a -,此时a 的范围为(]1,0-
当0a -<时,则1a ->-,此时a 的范围为()0,1,综上所述,a 的范围为()1,1-,故选A .
【点睛】
本道题考查了线性规划问题,根据最值计算参数,关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置,难度偏难.
19.在三角形ABC 中,给出命题:p “2ab c >”,命题:q “3C π<
”,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-,整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>,求出C 范围,即可判断充分性,取4a =,7b =,6c =,则可判断必要性不成立,两者结合可得正确的选项.
【详解】
充分性:由余弦定理,2222cos c a b ab C =+-,
所以2ab c >,即222cos ab a b ab C >+-, 整理得,22
12cos a b C ab
++>, 由基本不等式,2222
22a b a b ab +≥=, 当且仅当a b =时等号成立,
此时,12cos 2C +>,即1cos 2C >,解得3
C π<, 充分性得证; 必要性:取4a =,7b =,6c =,则164936291cos 247562C +-=
=>⨯⨯, 故3C π
<,但228ab c =<,故3C π
<推不出2ab c >.
故必要性不成立;
故p 是q 的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用,考查学生分析转化能力,属于中档题.
20.已知0a >,0b >,且()122y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为( ) A .18 B .14 C .12 D .34
【答案】A
【解析】
【分析】
根据()122y a b x =+为幂函数,得到21a b +=,再将ab 变形为ab 122a b =
⋅利用基本不等式求解.
【详解】
因为()122y a b x =+为幂函数,
所以21a b +=,
又因为0a >,0b >,
所以ab 2112122228
a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭, 当且仅当21a b +=,2a b =即11,24a b =
=取等号. 所以ab 的最大值为
18. 故选:A
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用,还考查运算求解的能力,属于中档题.。