高考数学压轴专题新备战高考《不等式》难题汇编附答案解析

【最新】《不等式》专题解析
一、选择题
1．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
2．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A
【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
3．在平面直角坐标系中，不等式组20
{200
x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42
B ．4
C
．22
D ．2
【答案】B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为
．故选B ．
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
4．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该
企业每天可获得的最大利润为( )
甲乙每天原料的可用总量
A(吨)3212
B(吨)128
A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.
【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得
3212,
28,
0,
0,
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
目标函数34
z x y
=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P处取得最大值，由
28,
3212,
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得()
2,3
P，则
max
324318
z=⨯+⨯=（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
5．若实数,,
a b c，满足222
a b a b
+
+=，2222
a b c a b c
++
++=，，则c的最大值是（）A．
4
3
B．2
log3C．
2
5
D．
2
4
log
3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b +的最小值后可得2
21
a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24
log 3
c =. 故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
6．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A
．
85
5
B ．8
C ．
165
15
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
2
2
24
24512
x y x y ----=⨯
+，而
2
2
24
12
x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】
因为2
2
2424512
x y x y ----=⨯
+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=的距离的5倍，如图所示，
点44(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时
22
44243335
12d -⨯-=
=
+
所以24x y --1653
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
8．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】
圆2
2
(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，
则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m
m n =且1m n +=即12m n ==时取等号，
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简
135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，
Q
131111212
n m n m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．已知变量,x y 满足约束条件121
x y x +⎧⎨-⎩剟
…，则x y y +的取值范围是( )
A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
作出不等式
12
1
x y
x
+
⎧
⎨
-
⎩
剟
…
表示的平面区域，整理得：
x y
y
+
1
x
y
=+，利用y
x
表示点()
,x y 与原点的连线斜率，即可求得
1
1
3
x
y
-<-
…，问题得解．
【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：
x y
y
+
1
x
y
=+
易知
y
k
x
=表示点(),x y与原点的连线斜率，
当点()
,x y在()
1.3
A-处时，
y
k
x
=取得最小值-3.
且斜率k小于直线1
x y
+=的斜率-1，
故31
k
-≤<-，则
1
1
3
x
y
-<-
…，
故
2
3
x y
y
+
<….
故选B
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
13．已知函数
1
()cos2(2)sin
2
f x m x m x
=+-，其中12
m
≤≤，若函数()
f x的最大值记为()
g m，则()
g m的最小值为（）
A．
1
4
-B．1C．3
-D31
【答案】D
【解析】
【分析】
2()sin (2)sin 2
m
f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2
m
y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211
2
2(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =
-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2
(2)2
m
y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111
[0,]222
m t m m -=
=-∈，所以 (
)22112
2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
3
m =
时，等号成立. 故选：D 【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
14．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22
2122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪
+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩
，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．
1
4
π B ．12
π
C ．π
D ．
32
π 【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】
实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪
++⎨⎪-+-⎩
………的可行域如图：
可行域是扇形，
14
个圆，面积为：2
11144ππ⨯⨯=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，
M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ） A ．22⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
B ．[
)1,+∞
C ．)
2,⎡+∞⎣
D ．[)2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】
由抛物线方程知：()0,1F ，
设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，
M Q 为线段AB 的中点，12
022
x x x k +∴=
=， M Q 在直线l 上，2
00121y kx k ∴=+=+，
200211122222OM
y k k k k x k k k +∴===+≥⋅=2k =时取等号）， 即直线OM 斜率的取值范围为)
2,⎡+∞⎣. 故选：C . 【点睛】
本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.
16．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D 【解析】 【分析】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()
2
2
cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫
+=+=-
⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝
⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333C π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3
C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.
17．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||MN 的最大值是（ ）
A ．17 B
．
342
C ．32
D ．
172
【答案】A 【解析】 【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
18．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：
211x y
+= (
)212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9
故选：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
19．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．
92
D ．
112
【答案】B 【解析】 【详解】
解析：考察均值不等式2
228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪
⎝⎭，整理得
2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
20．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.
A ．128
B ．64
C ．
164
D ．
1128
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x
y =是增函数,所
以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,
30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解
得4,1.
x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6
max 264z ==.
故选：B 【点睛】
本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.。