2018届广东百校高三2模(理科)(试卷+答案)

广东省百校2018届高三第二次联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z 满足()(1)1z i i +-=，则z = （ ）
A B C 2 D ．1 2.已知222{|log (31)},{|4}A x y x B y x y ==-=+=，则A B = （ ）
A ．1(0,)3
B ．1[2,)3-
C ．1(,2]3
D ．1(,2)3
3. 下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表.
椅子该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（ ）
A ．最低温与最高温为正相关
B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月
D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大
4. 已知命题:2p x >是2log 5x >的必要不充分条件；命题:q 若sin x =
，则2cos 2sin x x =，则下列命题为真命题的上（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝ 5. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若s i n 3s i n ,A B c =，且5
c o s 6
C =
，则a =（ ）
A ．
B ．3
C ．32
D ．4
6.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为
（ ）
A
．8+ B ．64245+ C ．62225+ D
．8+
7. 将曲线1:sin()6
C y x π
=-上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
2
π
个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[,0]π-上的单调递增区间是（ ） A ．5[,]66ππ-
- B ．2[,]36ππ-- C ．2[,0]3π- D ．[,]6
ππ-- 8. 执行如图所示的程序框图，若输入的4t =，则输出的i =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．16
9. 设,x y 满足约束条件220
26020
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则2y x z x y =-的取值范围是（ ） A ．7[,1]2-
B ．7[2,]2-
C ．77[,]23--
D ．3[,1]2
- 10. 函数()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
11. 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两
点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．
B ．(2,22)+
C ．(2,2)
D ．2)(22)++∞
12. 已知函数()()23
1,ln 42
x x
f x e
g x -==
+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．
1ln 22+ B ．ln 2 C ．1
2ln 22
+ D ．2ln 2 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设平面向量m 与向量n 互相垂直，且2(11,2)m n -=-，若5m =，则n = ．
14.在二项式61
2x -的展开式中，其3项为120，则x = ．
15.如图，E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1BCF ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为 ．
16. 已知点A 是抛物线2
:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,8)
M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（一）必考题（60分）
17. 已知正项数列{}n a 满足22
1111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足
2n n S n a =+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11{}n n
a b + 的前n 项和n T .
18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画，雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已由1300多年的历史，制作工艺蛇粉复杂，它的制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程互相独立，某陶瓷厂准备仿制甲乙丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为143
,,255
，经过第二次烧制后，甲乙丙三件工艺品合格的概率依次为
412,,523
. （1）求第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，甲乙丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X ，求随机变量X 的数学期望.
19.如图，四边形ABCD 是矩形，33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面
,ABCD PE （1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.
20. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的22C 经过点
A . （1）求椭圆C 的方程；
（2）设不与坐标轴平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，22MN =l 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.
21.函数()2
ln(1)f x x m x =++ .
（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：2112()2ln 2f x x x >-+ .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (1sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=+⎩为参数）
，曲线2C 的参数方程为2cos (sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩
为参数）
（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(cos 2sin )4ρθθ-=，若1C 上的点P 对应的参数为2
π
θ=
，点Q 上在2C ，点M 为
PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值.
23.已知()2
23f x x a x a =-+++ .
（1）证明：()2f x ≥；
（2）若3()32
f -<，求实数a 的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: ACBAB 6-10: CBDAD 11、D 12：A
二、填空题
13. 5 14.2 15.
15
5
16.23
三、解答题
17.解：（1）因为22
11n n n n a a a a +++=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，
因为10,0n n a a +>>，所以10n n a a ++≠，所以11n n a a +-=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以n a n =，
当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=，当1n =时12b =也满足，所以2n b n =. （2）由（1）可知
111111
()2(1)21
n n
a b n n n n +=
=-++，
所以111111
11[(1)()()()]222334
12(1)
n n T n n n =
-+-+-++-=++. 18.解：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件123,,A A A , （1）设事件E 表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则11214211313()25525525550
P E =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为25
p =， 所以随机变量(3,0.4)X
B ，
所以()30.4 1.2E X np ==⨯
=. 19.（1）证明；设BE 交AC 于F ，
因为四边形ABCD 是矩形，33,3,2AB BC DE EC ===, 所以CE BC
CE BC AB
==,
又2
ABC BCD π
∠=∠=
，所以,ABC BCE BEC ACB ∆∆∠=∠,
因为2
BEC ACE ACB ACE π
∠=∠=∠+∠=,
所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD . 所以AC PE ⊥，而PE
BE E =，所以平面PAC ⊥平面PBE ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得(3,23,0),3,0),3,0),6)A B C P -,
则6
(0,33,0),(3,3,6),(
,0,1)AB BP CB ==--=, 设平面APB 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111330
3360
x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，
取1110,13x y z =
==，即16
(,0,1)3
n = 设平面BPC 的法向量2222(,,)n x y z =，则222230
336
x x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，
取2110,1x y z ===，即1(0,2,1)n = 设平面APB 与平面BPC 所成的二面角为θ， 则121212
5cos cos ,n n n n n n θ
⋅==
=
⋅ 由图可知二面角为钝角，所以5cos θ=.
20.解：（1）因为22a b =，所以椭圆的方程为22
2218x y b b
+=，
把点(2,
2
A 的坐标代入椭圆的方程，得221118b b +=，
所以2
2
1,8b a ==，椭圆的方程为2
218
x y +=. （2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+，
联立方程组22
18x y y kx m
⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩ 得222(18)16880k x kmx m +++-=，
由22225632(1)(18)0m m k --+>，得2
2
18m k <+，
所以2121222
1688
,1818km m x x x x k k
--+==++，
所以
22
22216881()41818km m MN k
k k --==+-⨯++
由22218k =+222
2
(81)(34)4(1)
k k m k +-=+， 令2
2
1(1)1k t t k t +=>⇒=-，所以22
328449
4t t m t
-+-=，
249
21(8)211424m t t
=-+
≤-147m ≤ 当且仅当4984t t =
，即728
t =时，上式取等号，
此时2
88k =
，2
7(322)8
m -=，满足2218m k <+， 所以m 147
21.解：函数()f x 的定义域为()222(1,),1x x m
f x x
++'-+∞=+，
（1）令()222g x x x m =++，开口向上，1
2
x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11()022g m -=-
+≥，即1
2
m ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，
②当102m <<
时，由()222g x x x m =++，得1211212222
m x x -=--=-+， 因为()10g m -=>，所以11121
1222
m x --<<--<-，当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，
当11x x -<<或2x x >时，()0g x >，即()0f x '>， 综上，当102m <<
时，()f x 在112112(2222
m m
-----+上递减，
在1(1,22--
-和112()22
m --++∞上递增，当12m ≥时，在(1,)-+∞上递增.
（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<
，且121
102
x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在1(1,)x -和2(,)x +∞上递增，
则2()(0)0f x f <=，
因为12,x x 是方程2
220x x m ++=的两根， 所以12122,2
m
x x x x +=-=
，即12121,2,x x m x x =--=， 要证2112()2ln 2f x x x >-+
又2
2
22221222()22ln(1)24ln(1)f x x m x x x x x =++=++
2
2222222224(1)ln(1)(1)2(1)ln 212(1)ln 2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，
即证2
2222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->对21
02
x -
<<恒成立，
设()2124(1)ln(1)(1)(12ln 2),(0)2
x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()44(12)ln(1)ln
x x x e ϕ'=-++- 当102x -<<时，4120,ln(1)0,ln 0x x e
+>+<>，故()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1(,0)2
-上递增， 故()11111()24ln (12ln 2)024222
x ϕϕ>=⨯-⨯⨯--=， 所以22222224(1)ln(1)(1)(12ln 2)0x x x x x -++-+->，
所以2112()2ln 2f x x x >-+.
22.解：（1）1C 的普通方程为22
(1)1x y +-=，
它表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， 2C 的普通方程为2
214
x y +=，它表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆. （2）由已知得(0,2)P ，设(2cos ,sin )Q θθ，则1(cos ,1sin )2
M θθ+
， 直线:240l x y --=，点M 到直线l
的距离为2sin()645d π
θ+-== ，
所以6510d -≤= ，即M 到直线l
的距离的最小值为655. 23.（1）证明：因为()222323f x x a x a x a x a =-+++≥++-+ 而2222323(1)22x a x a a a a ++-+=++=++≥，
所以()2f x ≥.
（2）因为222323,3334()232222,4
a a a f a a a a a ⎧++≥-⎪⎪-=+++=⎨⎪-<-⎪⎩ ，
所以234233a a a ⎧≥-⎪⎨⎪++<⎩或234
23a a a ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩
， 解得10a -<<，所以a 的取值范围是(1,0)-.。