迎春杯分类计数与数论标准答案及详解

迎春杯分类计数与数论标准答案及详解
迎春杯分类⼀计数与数论答案及详解
计数：
1. 国际象棋中“马”的⾛法如图1所⽰，位
于○位置的“马”只能⾛到标有×的格中，类
似于中国象棋中的“马⾛⽇”。

如果“马”在
8×8的国际象棋棋盘中位于第⼀⾏第⼆列（图
2中标有△的位置），要⾛到第⼋⾏第五列（图
2中标有★的位置），最短路线有
条。

（12）
2.
3.给你⼀架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是种.（天平的左右两盘均可放砝码）
【答案】94
【解析】
只有50，100两种砝码，可以组成的重量：50，100，150，即：3种，当加⼊砝码a，可以组成的重量：是50，100，150分别加减a，还有50，100，150本⾝，还要有a，所以此时有：3×3+1=10种，
再加⼊⼀枚砝码，同理：有10×3+1=31种，再加⼀枚：为31×3+1=94种.
分析教师：⾟洪涛4.将下图中的2007分成若⼲个1×2的⼩长⽅形，共有种分法.
【答案】15
【解析】
从右下⾓，观察发现，从右向上只有唯⼀的分法，右⾯的区域只有唯⼀
的情况.事实上只有左边和中间的两块有选择余地左边有5种情况，中
间有3种情况所以⼀共就有5 3=15种
5. 已知九位数2007□12□2既是9的倍数，⼜是11的倍数；那么，这个九位数
是。

200731212
6. 将0～9填⼊下⾯算式，每个数字只能⽤⼀次；那么满⾜条件的正确填法共有种。

□＋□□＋□□□＝□□□□
因为3个加数只有⼀个达到三位，所以结果的千位只能为1，各位可能的进位最多为2，所以⼗位上的和最⼤为9+8+2=19，进位不超过1，所以加数中三位数的百位只能为9，同时结果中的百位只能为0，
因为⼗位必须要向百位进⼀位，且个位三位数之和最⼩为9最⼤为21且均不满⾜题意，所以个位数必向⼗位进1。

因此⼗位的数字组合只能为（3，8）（4，7）（4，8）（5，6）（5，7）（5，8）（6，7）（6，8）（7，8）⼀⼀枚举有5组数可⾏：⼗位（3，8），个位（4，5，7）；⼗位（4，7），个位（3，5，8）；⼗位（4，8），个位（2，6，7）；⼗位（6，8），个位（2，4，7）；⼗位（7，8），个位（3，4，5）。

每组可能的组合有2×1×3×2×1=12种，故正确填法共有12×5=60种。

7. 有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中⼀个或⼏个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第⼆重的砝码最少是克。

【答案】18
【解析】
⾸先此题是⼀道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和对称原理
从最后所求进⾏分析，要求第⼆重的砝码最少，⽆法进⾏直接突破，使⽤的是最值原理的重点思路之⼀：从反⾯考虑。

第⼆重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量⼤。

分析10个砝码的总重量很显然应该是200，其中最重的砝码应该最⼤是100，因为如果有超过100克的砝码，100克的物品就⽆法称出。

这样其他9个砝码总和应该是100克。

根据对称原理，只要惩处1克的，就可以称出199克的（只要在200克中相应的拿出1克的就可以），所以只要能称出1到100克就可以称出101到199克。

同理，要能称出1到100克，只要能称出1到50克就可以，所以要称出1到50克，就应该有1克，2克，4克，8克，16克，18克，这样离200克还差51克，同时还差3个砝码，把51平均分成三份，所以每个砝码应该是17，这样就得到10个砝码，分别是1，2，4，8，16，17，17，17，18，100，所以第⼆种的砝码⾄少应该是18克。

8. ⼀些棋⼦被摆成了⼀个四层的空⼼⽅阵（右图是⼀个四层空⼼⽅阵的⽰
意图）．后来⼩林⼜添⼊28个棋⼦，这些棋⼦恰好变成了⼀个五层的空⼼
⽅阵（不能移动原来的棋⼦），那么最开始最少有个棋⼦．
【答案】
【解析】
将四层空⼼⽅阵变成五层空⼼⽅阵有三种⽅法：
1、在最外层增加⼀圈则五层⽅阵最外层⾄少有40枚棋⼦所以不符合题意；
2、在最内层增加⼀圈则最外层应有8×4+28=60枚棋⼦，最开始应有60+52+44+36=192枚棋⼦；
3、在最内层增加⼀⾏⼀列，在最外层的另外两个⽅向也增加⼀⾏⼀列，那么五层⽅阵最内层边长为x，最外层边长为
x+4×2=x+8共增棋⼦2x-3+2（x+8）-1=4x+12，所以4x+12=28，解得x=4，最外层边长4+8=12，原有棋⼦122-(4-2)2-
28=112，所以最开始最少有112个棋⼦。

9. 将5枚棋⼦放⼊右侧编号的4×4表格的格⼦中，每个格⼦最多放⼀枚，如果要求每⾏,每列都有棋⼦．那么共有种不同放法．
【解析】本题采⽤分类、分步讨论将5枚棋⼦放⼊4×4的⽅格中，可以发现不论怎么放⼀定会有2个棋⼦在⼀条直线上的情形，所以我们不妨先从这2个棋⼦开始放，选定⼀⾏有4种选法，
然后在⼀⾏中选定2个格⼦，即2列，有2
46C =种选法，故填完前2个共线棋
⼦有4×6=24种填法。

如右图⽰例，接下来我们填第三枚棋⼦，第三枚棋⼦填⼊后⼜会有2种情形出现：
(1) 第三枚棋⼦与2个△所在的列共线：
那么第三枚棋⼦共有6个格⼦可以填，即6种填法。

⽽最后2枚棋⼦只可能成对填⼊2个圆圈或2个□中，
则此类情况共121
44624662288C C C ==种
(2) 第三枚棋⼦与前2个△所在的列不共线
那么第三枚棋⼦也有6种填法，⽽最后的2枚棋⼦必须填⼊同⼀列，
共有121
446466144C C C ??=??=种
答案 288+144=432
10. 对于由1~5组成的⽆重复数字的五位数，如果它的⾸位数字不是1，那么可以进⾏如下
的⼀次置换操作：记⾸位数字为k ，则将数字k 与第k 位上的数字对换．例如，24513 可以进⾏两次置换：
24513→42513→12543．可以进⾏4次置换的五位数有个．
【答案】24 【解析】
经过4次置换后最后结果必为12345，所以可进⾏4次置换的五位数可由12345进⾏4次⾸位与其他位的调换得到，规则为从⾸位上调换出的数不能再与⾸位调换，那么这样的调换⽅法共有432124=种，即可进⾏4次置换的五位数有24个。

数论：
1.
2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
△△
△△△
○□
□
○
△△
△
△△
△
○
○
3. ⼀个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是.
36126或54189
4.在纸上写着⼀列⾃然数1，2，…，98，99.⼀次操作是指将这列数中最前⾯的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后⾯.例如⼀次操作后得到4，5，…，98，99，6；⽽两次操作后得到7，8，…，98，99，6，1
5.这样不断进⾏下去，最后将只剩下⼀个数，则最后剩下的数是.
4950
5. 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由⼩到⼤排成⼀排，其中第⼀个是⼀个完全平⽅数，倒数第⼆个也是完全平⽅数，则这18个数中最⼤的数是.
9810
6.有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。

将这18个不同的4位数由⼩到⼤排成⼀排，其中第⼀个是⼀个完全平⽅数，倒数第⼆个也是完全平⽅数。

那么这18个数的平均数是：。

6444
7. 如果两个合数互质，它们的最⼩公倍数是126，那么，它们的和是
23
8. 从1,2,3,4,5,6中选取若⼲个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有
种不同的选取⽅法．
19
取出的和的可能为3、6、9、12、18、21。

和为3的有1+2、3，共2种；和为6的有1+5、2+4、1+2+3、6，共4种；和为9的有3+6、4+5、1+2+6、1+3+5、2+3+4，共5种；于所有
数之和为21，所以和为12与和为9的情况相同（和为12的数即为除和为9之外的数）共5种，同理 3的情况相同，共2种，和为21的有1种，因此共有2+4+5+5+2+1=19种。

9. 将数字4,5,6,7,8,9各使⽤⼀次，组成⼀个被667整除的6位数，那么，这个6位数除
以667的结果是．
【答案】
【解析】
+++++=是3的倍数
因为45678939
所以此六位数是3和667的公倍数，且3×667=2001，所以此六位数是2001的倍数
我们发现六位数中2001倍数的特征为：前三位是后三位的2倍。

所以下⾯将六位数分成2段，根据倍数关系验证即可，结果为956478.
10. 200名同学编为1⾄200号⾯向南站成⼀排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学
⾯朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，⾯向东的同学有名．
【答案】8
【解析】
因为开始所有⼈⾯向南，最后的结果是⾯向东，所以转3、7、11……次的⼈即为所求。

根据题意，编号有⼏个约数就向右转⼏次，那么最后⾯向东⾯的数必是奇数个数的倍数，即这个数的约数是奇数个，且个数为4n+3。

哪些数的约数是奇数个呢？由于是奇数个约数，这些数⼀定是平⽅数。

如：4的约数有1、2、4三个；9的约数有1、3、9三个；25的约数有1、5、25三个，……64的约数有1、2、4、8、16、32、64七个……
但是：如平⽅数16既是1、4、16的倍数，还是2、8的倍数，即16的约数有5个，不符合个数为4n+3这⼀要求。

所以要删除。

以下这些数是最后⾯向东⾯的同学：4、9、25、49、64、121、144、169。

共8位同学。

11. 在算式(A□B)△(C○D)中，□,△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D是4个互不相同的⾮零阿拉伯数字．如果⽆论□,△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，(A□B)△(C○D)的计算结果都是整数．那么，四位数ABCD 是．
【答案】9321
【解析】
本题中主要会出现⾮整数的原因就是÷的位置，所以只需要考虑÷出现在什么地⽅。

当□是÷时，就需要A⼀定是B的倍数，同理C⼀定是D的倍数，最后只要A□B的结果也是C○D的倍数即可。

本题严密的推理论证过程相对复杂，因为数字⽐较⼩，不妨采⽤符合前⼀组条件的数枚举尝试便容易得到答案
12. 如果⼀个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的最⼤值是．
【答案】75531
【解析】
根据题意，设原数为ABCDE ，那么⼀定有25()A B C D E A B C D E =?++++ 说明左边的乘积是25的倍数，那么原来的5个数字中⼀定有2个数字是5.
原式化为：10A B C A B C ??=+++，为了求出最⼤值，那么可以让原数中含有9，不妨假设A=9，那么919BC B C =++，经验证没有符合条件的整数B 和C 使得左边式⼦成⽴同理可验证A=8时也没有解，当A=7时，有717BC B C =++，此时有
B=1，C=3，所以原式最⼤值为75531。