云南省曲靖市一中高2021届高2018级高三上学期高考复习质量监测理科数学试题三及参考答案

秘密★启用前
曲靖一中高考复习质量监测卷三
理科数学
注意事项：
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i 是虚数单位,复数z 满足
121i
i z
-=+,则z =( )
A.
2
B.
2
C.2
2.25sin 6π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
( ) A.12-
B.
12
C. 3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若35S S =,17a =,则5a =( ) A.1- B.2- C.1
D.2
4.已知向量(cos ,sin )a θθ=,(1,2)b =,若a 与b 的夹角为56
π
,则a b -=( )
A.2
D.1
5.给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：“1122x
y
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是
“ln ln x y <”的充要条件,那么下列命题中为真命题的是( ) A.p q ∧
B.p q ∨
C.()p q ⌝∧
D.()p q ⌝∨
6.设函数()
2()ln 1f x x =-,集合{}()A x y f x ==,{}
()B y y f x ==,则图中的阴影部分表示的集合为( )
A.[]1,0-
B.(1,1)-
C.(,1]
(0,1)-∞- D.(,1)
(0,1)-∞-
7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,已知函数()y f x =,[]2,2x ππ∈-的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可能为( )
A.3sin 2()e x
x x f x += B .()
3()sin 2x
f x x x e =+
C.3
sin 2()e
x
x x f x += D.()
3()sin 2e x f x x x =+
8.设1
5
1log 3a =,21
log 3
b =,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<
D.0ab a b <<+
9.将函数()sin 25f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度后得到函数()y g x =的图象,对于函数()y g x =有以下四个判断：
①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；
④该函数在区间,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增. 其中,正确判断的序号是( ) A.②③
B.①②
C.②④
D.③④
10.基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：()e rt
I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t (单位：天)的变化规律,指数增长率r 与0R ,T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天,6T =.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,基本再生数0R 的值约为(ln 20.69≈)( ) A.2.98
B.3.08
C.3.28
D.3.48
11.在ABC △中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC △的面积为S
,)
2224S a c b =+-,
2AB BC ⋅=-,且满足sin sin 2sin A C B +=,则该三角形的外接圆的半径R 为( )
D.2
12.已知函数2
()22x
x
f x x -=++,若不等式()
2(1)2f ax f x -<+对任意x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A.()
-
B.(-
C.(-
D.(2,2)-
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.
已知
(11
1d x -=⎰________.
14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且(4)(2)f x f x +=-.若当[]3,0x ∈-时,()2x
f x -=,则(2020)f =________.
15.已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈,若221
1
log log n n n b a a +=
⋅,则数列{}n b 的
前n 项和n S =________.
16.如果两个函数存在零点,分别为α,β,若满足n αβ-<,则称两个函数互为“n 度零点函数”.若
2()log (3)f x x =-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”,则实数a 的取值范围为________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1
sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=,且a b >. (1)求角B 的值；
(2)若6
A π
=
,且ABC △的面积为求BC 边上的中线AM 的长.
18.(本小题满分12分)
已知向量cos
sin ,2sin 222x x x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,cos sin 222x x x b ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,函数()f x a b =⋅. (1)求函数()f x 的最大值,并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； (2)若α,β为锐角,12cos()13αβ+=,6()5
f β=,求6f πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
19.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且233n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设32log (1)n
n n b a n =+-⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.(本小题满分12分)
已知函数3
()(2)f x x a x b =-+++,3
2
()ln g x x x a x =-++. (1)当1a =时,若()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为10,求实数b 的值； (2)若对任意[]1,e x ∈,都有()()g x b f x +≥恒成立,求实数a 的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数1()e
cos x f x x -=,2()e x g x +=.
(1)求函数()f x 在(,)ππ-上的单调区间； (2)证明：对任意的实数1x ,211,
2x ⎛
⎫
∈- ⎪⎝⎭
,12x x <,都有()()()()121222g x g x f x f x ->-恒成立.0请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为325
425x t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2282cos ρθ=
-,点P
的极坐标为4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
(1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
(2)设直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,线段MN 的中点为Q ,求PQ . 23.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()212f x x x =+--. (1)解不等式：()7f x ≤；
(2)已知实数0x 满足：对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥,若a ,b ,c R +∈且()00a b c f x +++=,求149
a b c
++最小值.
曲靖中高考复习质量监测卷三
理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
【试题解析】 1.12(12)(1)13122
i i i i
z i -----=
==
+,所以z =,故选C. 2.251sin sin 662ππ⎛⎫
-
=-=- ⎪
⎝⎭
,故选A. 3.设该等差数列的公差为d ,根据题中的条件可得450a a +=,即1270a d +=,得2d =-,所以
514781a a d =+=-=-,故选 A.
4.因为(cos ,sin )a θθ=,()
1,2b =,所以1a =,3b =.又()
2
2
22a b
a b
a a b
=-=-⋅-22
2
53
2cos 123376b a a b b π+=-+=+⨯=,所以7a b -=,故选B.
5.题p ：空间任意三个向量都是共面向量,为假命题；命题q ：“1122x y
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“ln ln x y <”的充要
条件,为假命题；故p q ∧,p q ∨,()p q ⌝∧为假命题,()p q ⌝∨为真命题,故选D. 6.由题意(
){
}{}
{}2
2
ln 11011A x y x
x x
x ==-=->=-<<,(){}
{}
2ln 1ln1B y y x y y ==-=≤{}0y y =≤,图中阴影部分表示：()A B C A B ,又(,1)A B =-∞,(]1,0A B =-,∴
(]()(),10,1A B C A B =-∞-,故选C.
7.由已知,图象关于原点对称,故函数()f x 为奇函数,排除A,D ；又3
4
sin 244e f π
π
ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫
⎝⎭= ⎪⎝⎭
33273111919191646440.5e 2.8 2.8 2.864179.2182
π+++>>===>=⨯,排除B,故选C. 8.∵1
5
1log 3a =,21log 3b =,∴31log 5a =,31log 2b =-,∴333115
log 5log 2log 2
a b +=-=, ∴1101a b <
+<,即01a b ab
+<<,又∵0a >,0b <,∴0ab <,即0ab a b <+<,故选B. 9.由函数sin 25y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
10
π
个单位长度之后的解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤
⎛⎫=-
+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,选项①错误；令2x k π=,k Z ∈,求得2k x π
=,k Z ∈,故函数的图象关于点,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称,令1k =,故函数的图象关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭对称,选项②正确；则函数的单调递增区间满足：222()2
2
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈,即()4
4
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈,令0k =可得函
数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
,选项③正确,④错误,故选A. 10.设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为1.8天,则( 1.8)
e 2e r t rt +=,所以
1.8e 2r =,所以1.8ln 2r =,所以ln 20.69
0.381.8 1.8
r =
≈≈,又01R rT =+,所以01160.38 3.28R rT =+=+⨯=,故选C.
11.由题意
,)
2224S a c b =+-,
即1
4sin 2cos 2
ac B ac B ⨯
=,
得tan B =又(0,)B π∈,所以
3
B π
=
.又因为1
cos()22
AB BC ac B ac π⋅=-=-
=-,所以4ac =.由余弦定理得2
2
2
2cos b a c ac B =+-,又因为sin sin 2sin A C B +=,所以2a c b +=,所以
2
2()()34a c a c ac +=+-,所以23()124a c +=,所以4a c +=,所以2b =,
所以22sin sin 3
b R B π===
所以R =,故选B. 12.因为函数2
()22x
x
f x x -=++是R 上的偶函数,又当0x ≥时,()
()2ln 2220x x f x x -'=+-≥,所以函数
()y f x =在[)0,+∞上是增函数.不等式()
2(1)2f ax f x -<+对任意x R ∈恒成立,即212ax x -<+,即
2213x ax x --<<+对任意x R ∈恒成立.①当0x >时,不等式化为max min 13x a x x x ⎛⎫⎛
⎫--<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
解得
2a -<<0x =时,不等式恒成立,a R ∈；③当0x <时,不等式化为
max min
31x a x x x ⎛⎫⎛
⎫+<<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
解得2a -<<,综上所述,(2,2)a ∈-,故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20
分) 【试题解析】
13.由定积分的运算性质和定积分的几何意义得：(111
1
1
1d 1d a x x x
---=
=+⎰⎰⎰
1
222
x π
-=+=+
⎰
.
14.因为(4)(2)f x f x +=-,则()(6)f x f x =+,所以函数()f x 的周期为6,所以
2(2020)(33664)(4)(2)24f f f f =⨯+==-==.
15.因为()23*1232222n n a a a a n n N +++
+=∈,所以231123122221n n a a a a n --+++
+=-(2)n ≥,
两式相减得21(2)n
n a n =≥,当1n =时也满足,故1
2n n
a =
,2211log log n
n n b a a +=⋅111(1)1n n n n ==-++,故111
11111223
111
n n
S n n n n =-+-+
+
-=-=
+++. 16.函数()y f x =有唯一的零点2,由题意知函数()y g x =的零点0x 满足021x -<,即013x <<.因为
2
e 0x x a -=,所以020e x x a =,设2()e x x h x =,则2
2()e x
x x h x -'=,(1,3)x ∈,当(1,2)x ∈时,()0h x '>,()h x 是增函数；当(2,3)x ∈时,()0h x '<,()h x 是减函数,所以max 24()(2)e h x h ==
,又1(1)e h =,39(3)e
h =,所以实数a 的取值范围为214,e e a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.
三、解答题(共70分,解答应写岀文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)
解：(1)因为1sin cos sin cos 2
a B C c B A
b +=
, 由正弦定理得1
sin sin cos sin sin cos sin 2
A B C C B A B +=, 整理得1sin cos sin cos 2
A C C A +=, 即1sin()2A C +=
,得1sin 2
B =. 又a b >,所以02
B π
<<,所以6
B π
=
.………………………………………………………………(6分)
(2)由(1)知6
B π
=,若6A π
=
,
则2112sin sin 223
ABC
S ab C a π===△ 所以4a =,4a =-(舍).
又在AMC △中,22222cos
3
AM AC MC AC MC π
=+-⋅, 所以2
222211212cos 42242282232AM AC AC AC AC π⎛⎫⎛⎫
=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
所以AM =…………………………………………………………………………………………(12分) 18.(本小题满分12分) 解
(1)2
2()cos
sin cos cos 2sin 22226x x x x f x x x x π⎛
⎫=-+==+ ⎪⎝
⎭, 令26
2
x k π
π
π+
=
+,得23
x k π
π=
+,k Z ∈,
所以最大值为2,此时x 的取值集合为2,3x x k k Z π
π⎧⎫
=
+∈⎨⎬⎩
⎭
.……………………………………(4分) (2)由α,β为锐角,12cos()13αβ+=
,得5
sin()13
αβ+=,
∵02
π
β<<
,∴
26
6
3
π
π
πβ<+
<
,
又31sin ,6522πβ⎛⎛⎫
+
=∈ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
, ∴
6
6
4
π
π
π
β<+
<
,∴4cos 65
πβ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭, ∴cos cos ()66ππααββ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-
=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦ 63cos()cos sin()sin 6665ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫=+++++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, ∴1262sin 2sin 2cos 6326665f πππππαααα⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.………………………(12分) 19.(本小题满分12分)
解：(1)当1n =时,1112233S a a ==-,所以13a =； 当2n ≥时,因为233n n S a =-,所以11233n n S a --=-, 两式作差得13n n a a -=,即
1
3n
n a a -=, 因为13a =,所以数列{}n a 是首项为3,公比为3的等比数列,
故3n
n a =.…………………………………………………………………………………………………(6分) (2)32log 3(1)2(1)n n n
n b n n n =+-⋅=+-⋅,
当n 为偶数时,前n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22n n n n n
T n n +⋅=⋅
+-++-++-⋅=+
； 当n 为奇数时,前n 项和2(1)11
2222
n n n n n T n n +⋅--=⋅+-=+
, 则223, 2
1, 2
n n
n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数,为奇数.…………………………………………………………………………(12分)
20.(本小题满分12分)
解：(1)当1a =时,由3()(2)f x x a x b =-+++,得2
()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-,
令()0f x '=,得1x =-或1x =.
当x 变化时,()f x ',()f x 在[)3,2x ∈-的变化情况如下表：
所以()f x 在[)3,2x ∈-上的最大值为(3)1810f b -=+=,得8b =-.……………………………(5分) (2)由()()g x b f x +≥,得2
(ln )2x x a x x -≤-,
因为[]1,e x ∈,ln 1x x ≤≤且等号不能同时取得,所以ln x x <,即ln 0x x ->,
所以22ln x x
a x x -≤-恒成立,即2min
2ln x
x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭.
令22()ln x x h x x x -=-,[]1,e x ∈,则2
(1)(22ln )
()(ln )x x x h x x x -+-'=-,
当[]1,e x ∈时,ln 1x ≤,22ln 0x x +->,从而()0h x '≥, 所以()h x 在[]1,e 上为增函数,所以min ()(1)1h x h ==-,
所以1a ≤-.………………………………………………………………………………………………(12分) 21.(本小题满分12分) (1)解：11()e
(cos sin )sin 4x
x f x x x x π--⎛
⎫'=-+=+ ⎪⎝
⎭,
当,4x ππ⎛
⎫
∈--
⎪⎝
⎭
或3,4x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时,()0f x '>； 当3,44
x ππ
⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时,()0f x '<, 所以,函数()f x 的单调递增区间是,4ππ⎛⎫--
⎪⎝
⎭,3,4π
π⎛⎫
⎪⎝⎭
,单调递减区间是3,
44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.………(4分) (2)证明：因为12x x <,2
()e
x g x +=在11,
2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数, 所以不等式()()()()()()()()121221122222g x g x f x f x g x g x f x f x ->-⇔->-, 即()()()()221122g x f x g x f x +>+恒成立.
设2
1()()2()e
2e cos x x h x g x f x x +-=+=+,即证函数()h x 在11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上是增函数,
即证2
1()e 2e (cos sin )0x x h x x x +-'=-+≥,
即证21e 04x x π+⎛
⎫
-+
≥ ⎪⎝
⎭在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
上恒成立.
令()e (1)x
u x x =-+,()e 1x
u x '=-,
()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增,min ()(0)0u x u ==.
所以()0u x ≥,即e 1x x ≥+.
因为11,2x ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭
,所以21e 22x x +≥+.
所以要证21
e
04x x π+⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立,只需证2204x x π⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭,
令()14v x x x π⎛⎫
=+-+
⎪⎝
⎭
,11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,
()14v x x π⎛
⎫'=+ ⎪⎝
⎭
当(1,0)x ∈-时,()0u x '<,()u x 递减；当10,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0u x '>,()u x 递增.
min ()(0)0v x v ==,所以2204x x π⎛
⎫+-+≥ ⎪⎝
⎭,
即2
1()e
2e (cos sin )0x x h x x x +-'=-+≥在11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上恒成立,所以原命题成立.…………………(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】 解：(1)C ：222222
2
82cos 802802cos x y ρρρθθ
=
⇒--=⇒+-=-, 所以,曲线C 的直角坐标方程是2
2
280x y +-=.
点P 的极坐标为4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
,化为直角坐标得(2,2)P .………………………………………………(5分)
(2)将直线l 的参数方程32,542,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入22
280x y +-=中,
整理得2412201000t t ++=,22204411000∆=-⨯⨯>,此方程有不等实数根. 直线l 经过定点(2,2)P .
设有向线段PM ,PN 与实数1t ,2t 对应,则1t ,2t 就是上述方程的两个实根,12220
41
t t +=-. 已知Q 是线段MN 的中点,PQ 对应于参数取值12
02
t t t +=, 所以12110
241
t t PQ +=
=.………………………………………………………………………………(10分) 23.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】 解：(1)()2127f x x x =+--≤等价于①1,2(1)(2)7x x x ≤-⎧⎨
-++-≤⎩或②12,
2(1)(2)7x x x -<≤⎧⎨++-≤⎩
或③
2,
2(1)(2)7,
x x x >⎧⎨
+--≤⎩ 解得①111111x x x ≤-⎧⇒⇒-≤≤-⎨≥-⎩；②12
127
3x x x -<≤⎧⎪
⇒⇒-<≤⎨≤⎪⎩
；③2233x x x >⎧⇒⇒<≤⎨≤⎩. 合并得到不等式()7f x ≤的解集:{}
113x x -≤≤.……………………………………………………(5分) (2)已知对x R ∀∈都有()0()f x f x ≥,则()0min ()()f x f x x R =∈.
4,1,
()2123,12,4,2,x x f x x x x x x x --<-⎧⎪
=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩
则()f x 在(,1)-∞-上是减函数,在(1,)-+∞上是增函数. 所以min ()(1)3f x f =-=-.
()00a b c f x +++=,即3(,,0)a b c a b c ++=>,
则
222
2
2
2
14913a b c ⎡⎤⎡⎤++=⋅
++++⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
2
1
12
3
≥⋅=,
当且仅当
23
b c
a==时取等号,与3
a b c
++=联立解得
1
2
a=,1
b=,
3
2
c=,说明不等式中的等号确实能够取到,
所以,
min
149
12
a b c
⎛⎫
++=
⎪
⎝⎭
.……………………………………………………………………………(10分)。