周期数列详解

周期数列
一、周期数列的定义：
类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数
T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0
n 项起的周期为T 的周期数列。

若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称
数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。

若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。

二、 周期数列的性质
1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。

3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。

4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。

特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。

若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。

特别地：数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；
数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3 数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2； 数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3
6、若数列}{n a 满足,11d
ca b
aa a n n n --=
--a+d=0,则数列}{n a 是周期T=2；
例：数列}{n a 满足,3
7
311--=
--n n n a a a 则数列}{n a 是周期T=2；；
三、周期数列性质的简单应用 1、求数列的通项公式
（1）数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式 解析：原数列可构造成：
2123-，2123+，2123-，2123+，2
123-，2
1
23+，…… ， 它的通项公式可以写成：2
1
)1(23⨯-+=
n n a (n∈ N)， 或者写成：)2sin(2123ππ
n a n -+=
( n∈ N)， 又或者写成：πn a n cos 2
1
23+=
(n∈ N)， 总结：一般的数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成：
πn a b b a a n cos )(2
1
)(21-++=
( n ∈ N) （2）1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式
解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数x y tan = 进行改造，使它们能发生
联系。

事实上，当 x 分别为3π-
，0，3π，3
2π，π，34π，……时，x tan 的值分别为
3-，0，3，3-，0，3，……
这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：
π)2tan(3
1-n
所以，原数列的通项公式为 π)2tan(3
12-+
=n b n (n ∈N )
（3）数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式 解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……
再减去平均数5得到：3-，1-， 1， 3，3-，1-， 1， 3，……
分解成两个数列：(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……
(2) 2-，2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，……
(1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，
1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2-。

以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：
)4
1
21sin(21ππ-=
n c n (n∈N)，
∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为：
)4
1
21
sin(222ππ-
-=n c n (n∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为：
)4
1
21sin(22)1(3ππ---=n c n
n (n∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：
)]4
1
21sin(22)1(5[21ππ---+=
n c n n (n∈N)。

（4）}{n c ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式
乘以(－4)得：
4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……，
加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：
)]4
1
21sin(22)1(5[21'ππ---+=
n c n n
又)4(4'++-=n c c n n 化简整理得：
]4
1
21sin(22)1(32[81ππ-+--+=
n n c n n (n∈N)。

2、求数列中的项
例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）． A ．-5 B ．-2 C ．2 D ．3．
解析：由性质（2）知，数列}{n a 是以6为周期的周期数列，而533462009+⨯=，再由性质（3）可得5)(3233452009-=--=-==a a a a a a a ，故选A ．
例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{n a 满足a a =1（a 为实数），1
1313---+=
n n n a a a (+∈N n )，求2000a ．
解：1
1313---+=n n n a a a (+∈N n )可变形为1133133---+
=n n n a a a ．我们发现1
13
3133
---+
=n n n
a a a 与三角式6
tan
tan 16tan tan )6
tan(π
π
π
x x x -+=
+
十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系
的原型．通过运算，发现本题中可取n a =6tan πn ，6
)1(tan 1π-=-n a n ．显然此数列的周期是6．而263332000+⨯=，再由性质（3），得a
a a a -+==31
322000．
3、求周期数列的前n 项和
例5、设数列}{n a 中，21321===a a a ，，且对N n ∈，有321+++n n n n a a a a =
321++++++n n n n a a a a （121≠++n n n a a a ）成立，试求该数列前100项和100S ．
解：由已知条件，对任何自然数+N ，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a ，把式中的n 换成1+n ，得4321++++n n n n a a a a = 4321+++++++n n n n a a a a ．两式相减得，
44321)(+++++-=-n n n n n n n a a a a a a a ．因为1321≠+++n n n a a a ，所以
n n a a =+4)(+∈N n ．所以}{n a 是以4为周期的周期数列，而254100⨯=，再由性质
（3），得200)4211(25254100=+++⨯==S S ．
例6（上海08质检题）、若数列}{n a 满足n n n a a a -=++12)(+∈N n ，n S 为}{n a 的前
n 项和，且20082=S ，20103=S ，求2008S ．
解析：由n n n a a a -=++12及性质（2），可知所以数列}{n a 是以6为周期的周期数列．由20082=S ，20103=S ，知200821=+a a ，2010321=++a a a ，再结合
123a a a -=，可求得10031=a ，10052=a ，23=a ；由递推关系式可进一步求得
10034-=a ，10055-=a ，26-=a ．因为433462008+⨯=，由性质（3），得
100710070334334462008=+⨯=+=S S S ．
4、求周期数列的极限
例7、（06北京）在数列}{n a 中，1a ，2a 是正整数，且21---=n n n a a a ，
5,4,3=n ，则称}{n a 为“绝对差数列”．若“绝对差数列”}{n a 中，320=a ，
021=a ，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ， 3,2,1=n ，分别判断当n →∞时，数列}{n a 和}{n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．
解析：因为在绝对差数列}{n a 中320=a ，021=a ．所以自第20项开始，该数列是
320=a ，021=a ，322=a ，323=a ，024=a ，325=a ，326=a ，027=a …．即自
第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n →∞时，n a 的极限不存在．当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞
=．。