北京市第十四中学2020-2021学年八年级(下)期中数学试题

北京市第十四中学2018~2019学年八年级（下）期中数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是
A B C D 2．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．2，3, 4
B ．5, 12, 13
C ．6,8,12
D ．√3 ,√4,√5
3．在ABCD 中，∠A ：∠B:∠C ：∠D 的度数比值可能是（ ） A ．1:2:3:4
B ．1:2:2:1
C ．1:1:2:2
D ．2:1:2:1
4．下列运算正确的是（ ）
A
B 13
C D
5．如图，双曲线y=8
x
的一个分支为( )
A ．(1)
B ．(2)
C ．(3)
D ．(4)
6．如图，正方形ABCD 中,以对角线AC 为一边作菱形AEFC,则∠FAB 等于( ).
A ．22.5°
B ．45°
C ．30°
D ．135°
7．若函数y=-(m+2)x m 2−5是反比例函数，则
m 的值为( )
A ．土2
B ．-2
C ．2
D ．-1
8．已知点()12,A y - 、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4
y x
=的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 3<y 2<y 1
C ．y 3<y 1<y 2
D ．y 2<y 1<y 3
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，
若点A的坐标为(12，13)，则点C的坐标是( )
A．(0，-5) B．(0，-6) C．(0，-7) D．(0，-8) 10．如图，四边形ABCD中AD∥BC, ∠B=60°，AB=AD=BO=4cm，OC=8cm, 点M从B点出发，按从B→A→D→C的方向，沿四边形BADC的边以1cm/s的速度作匀速运动，运动到点C即停止.若运动的时间为t，△MOD的面积为y,则y关于t的函数图象大约是( )
A．B．
C．D．
二、填空题
11x的取值范围是___．
12．(1)化简
13．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为
_____．
14．已知一个菱形的两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，该菱形的面积为______cm 2． 15．平行四边形ABCD 的周长为60cm,对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm, 则AB 的长为_________cm 。

16．如图，△ABC 的周长为16, G 、H 分别为AB ．AC 的中点，分别以AB ．AC 为斜边向外作Rt △ADB 和Rt △AEC,连接DG.GH,EH,则DG+GH+EH 的值为__________.
17．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直， A 1B 1C 1D 1, 是四边形ABCD 的中点四边形，如果AC=8, BD=10,那么四边形A 1B 1C 1D 1,的面积为_________.
18．函数()124
0(0)y x x y x x
=≥=
>，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A 的坐标为()22，
； ②当2x >时， 21y y >； ③当1x =时， 3BC =； ④当x 逐渐增大时， 1y 随着x 的增大而增大， 2y 随着x 的增大而减小．
其中正确结论的序号是_______．
19．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为 .
20．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝
k
x
在第一象限的图象经过点B ．若OA 2﹣AB 2＝12，则k 的值为______．
三、解答题 21．计算
（1）
-
（2）⎛÷ ⎝22．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．求证：AE ＝CF ．
23．已知,求代数式x 2 +xy +y 2的值． 24．用描点法画出函数y=
6
x
的图象，并回答下列问题： (1)当x=-3时， y=_________.
(2)当1≤x≤4时，y 的取值范围是_________.
25．如图，平行四边形ABCD中，∠C=60°, BC=6, DC=3, E是AD 中点，F是DC边上任意一点，M, N分别为EF和BF中点。

求MN的长。

(x>0)的图象相交于A, B两点，与x轴、y轴26．已知直线l过点P(2, 2),且与函数y=k
x
分别交于点C, D,如图所示，四边形OFBM为矩形，面积为3.
(1)求k的值；
(2)当点B的横坐标为3时，求直线l的解析式及线段BC的长.
27．如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________.
28．某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形其边长分别为多少时面积最大请将他们的探究过程补充完整．
(1)列函数表达式：若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y=_________．
(2)上述函数表达式中，自变量x的取值范围是____________;
(3)列表：
写出m=__________;
(4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
(5)结合图象可得:x=_______时，矩形的面积最大：写出该函数的其它性质(一条即可)：_______________________________________.
29．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．
参考答案
1．B
【详解】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
==，属于最简二次根式.故选B.
3
3
2．B
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项正确；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、(√3)2+(√4)2≠(√5)2，故不是直角三角形，故此选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的两组对角分别相等判定即可
【详解】
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的两组对角分别相等这一性质是解题的
关键．
4．A
【解析】
A. ，正确；故B选项错误；C. 不是同类
二次根式，不能合并，故C选项错误；D. ，故D选项错误，
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键.
5．D
【解析】
【分析】
此题可直接根据反比例函数的图象性质作答．
【详解】
中，k=8＞0，
解：∵在y=8
x
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当x=2时，y=4，排除③；
所以应该是④．
故选：D
【点睛】
的图主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=k
x
象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6．A
【解析】
【分析】
根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，
故选A．
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
7．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义知m2-5=-1，且m+2≠0，据此可以求得m的值．
【详解】
解：∵y=-(m+2)x m2−5是反比例函数，
∴m2-5=-1，且m+2≠0，
∴（m+2）（m-2）=0，且m+2≠0，
∴m-2=0，即m=2，
故选：C.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=k
x
（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．8．D
【解析】
【分析】
分别把各点坐标代入反比例函数y=4
x
，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．
【详解】
∵点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=4
x
的图象上，
∴y1=-2，y2=-4，y3=4
3
，
∵-4＜-2＜4
3
，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．A
【分析】
根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出OC的长，即可求出点C的坐标.
【详解】
∵点A的坐标为(12，13)，
∴CD=AD=13，OD=12，
∴5
=,
∴C（0，-5） .
故选A.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 10．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定与性质，可得OD=AB=4cm，根据∠DOC=∠B=60°，OC=2OD，可得△OCD的形状，根据勾股定理，可得DC长，根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】
解：M在BA上运动时，面积不变是4√3；
M在AD上运动时，面积变小；
M在DC上运动时，面积变大，在C点时，面积最大，最大面积是8√3；
故选：C．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论是解题关键．
≥
11．x2
x﹣2≥0，解得x≥2．
故答案是x≥2．
【点睛】
考点：二次根式有意义的条件．
12
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化进行化简即可；（2）利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
；
（1
（2
故答案为：
，
3
【点睛】
本题主要考察二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握规则方法是解题的关键.
13．（x﹣3）2+64＝x2
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可
【详解】
解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为（x﹣3）2+64＝x2
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
14．20
【分析】
根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．
【详解】
由已知得,菱形面积=
12
×5×8=20cm 2. 故答案为20.
【点睛】
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握运算公式.
15．19
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，结合△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，则AB-BC=8；再根据平行四边形的对边相等，结合平行四边形ABCD 的周长为60cm ，得AB+BC=30，从而求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，OB=OD ，
又平行四边形ABCD 的周长为60cm ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，
∴{AB +BC =30AB −BC =8
， 两个方程相加，得AB=19，故答案为：19.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边相等、平行四边形的对角线互相平分.
16．8
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=0.5AB，EH=0.5AC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=0.5BC，然后求出DG+GH+EH的值为
△ABC的一半．
【详解】
解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形，
∴DG=0.5AB，EH=0.5AC，
∴GH为△ABC的中位线，
∴GH=0.5BC，
∴DG+GH+EH=0.5（AB+AC+BC）=0.5×16=8，故答案为：8.
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键．
17．20
【解析】
【分析】
此题要能够根据三角形的中位线定理证明四边形A1B1C1D1是矩形，从而根据矩形的面积进行计算．
【详解】
解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1=0.5BD=0.5×10=5
同理可得A1B1=0.5AC=4
根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形
那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20，故答案为：20.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，是经常出现的知识点，注意：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．
18．①③④
【详解】
①由一次函数与反比例函数的解析式得124y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
， 解得，22x y =⎧⎨=⎩
或22x y =-⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴A （2，2），故①正确；
②由图象得x ＞2时，y 1＞y 2；故②错误；
③当x=1时，B （1，3），C （1，1），∴BC=3，故③正确；
④一次函数是增函数，y 随x 的增大而增大，反比例函数k ＞0，y 随x 的增大而减小．故④正确．
∴①③④正确．
故答案为①③④..
19．3或32
． 【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x ，则EB′=x ，CE=4-x ，然后在Rt △CEB′中运用勾股定理可计算出x ．
②当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得
3
x
2 =，
∴BE=3
2
；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为3
2
或3．
故答案为：3
2
或3．
20．6
【分析】
设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA AC，AB
AD，OC=AC，AD=BD，将OA2-AB2=12变形为AC2-AD2=6，利用平方差公式得到
（AC+AD）（AC-AD）=6，所以（OC+BD）•CD=6，则有a•b=6，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k=6．
【详解】
设B点坐标为(a,b)，
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA AC ，AB AD ，OC =AC ，AD =BD ，
∵OA 2−AB 2=12，
∴2AC 2−2AD 2=12,
即AC 2−AD 2=6，
∴(AC +AD )(AC −AD )=6，
∴(OC +BD )⋅CD =6，
∴a ⋅b =6，
∴k =6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平方差公式，等腰直角三角形的性质.利用点B 的坐标，将OA 2−AB 2=12转化为a ⋅b =6，是解题的关键所在.
21．（1）（2）
143 ； 【解析】
【分析】
（1）化简根式，去括号，再进行二次根式加减即可；
（2）化简根式，二次根式加减，再根据根式的除法法则运算即可.
【详解】
解：（1）
-
=+-
=((+-
=+
=
（2）⎛÷ ⎝
=⎛
+÷ ⎝
=⎛÷ ⎝
=143
. 【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的除法法则，
22．见解析．
【分析】
根据已知条件利用SAS 来判定△ABE ≌△DCF ，从而得出AE =CF ．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴∠ABE ＝∠CDF ，
在△ABE 和△DCF 中，
AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CDF （SAS ），
∴AE ＝CF ．
【点睛】
此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
23．15
【分析】
先计算x+y 与xy ，再利用完全平方公式得到x 2+xy+y 2=（x+y ）2-xy ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：22x y =-=+，
∴4431x y xy +==-=， ,
∴22x xy y ++
=2()x y xy +-
=241-
=15 .
【点睛】
本题主要考察了完全平方公式、平方差公式和整体代入的计算技巧，熟练的掌握运算技巧是解题的关键.
24．（1）-2；（2）1.5≤y≤6；
【解析】
【分析】
（1）根据题意，作出y=6x
的图象，当x=-3时，代入函数即可得出答案； （2）观察函数图像，当1≤x≤4时，代入函数即可得出y 的取值范围.
【详解】
解： 知道函数图象经过点（-6，-1），（-3，-2），（-2，-3），（-1，-6），（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），图象为：
（1）当x=-3时，代入函数解析式可得y=-2；
（2）当x=1时，代入函数解析式可得=6，
当x=4时，代入函数解析式可得y=1.5，
∵观察函数图象可知当1≤x≤4时，y 随x 增大而减小，
∴1≤x≤4时，y 的取值范围是1.5≤y≤6.
本题考查反比例函数的图象的作法与图象的运用，较为简单，容易掌握．
25．1.5
【解析】
【分析】
首先证明△ABE是等边三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.
【详解】
解：连接BE，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，DC=AB=3，
∠A=∠C=60°，
∵E是AD中点，
∴AE=0.5AD=3，
∴AE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=3，
∵M，N分别为EF和BF中点，
∴MN=0.5BE=1.5.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
26．（1）k=3；（2）直线l解析：y=-x+4，BC=√2；
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求出B、C两点坐标，求出直线BC的解析式即可解决问题.
解：（1）设点B 的坐标为（x ，y ），由题意得：BF=y ，BM=x ，
∵矩形OMBF 的面积为3，
∴xy=3，
∵B 在双曲线y ＝k x 上，
∴k=3；
（2）∵点B 的横坐标为3，点B 在双曲线上，
∴点B 的坐标为（3，1），
设直线l 的解析式为y=ax+b ，
∵直线l 过点P （2，2），B （3，1），
∴{2a +b =23a +b =1
解得{a =−1b =4 , ∴直线l 的解析式为y=-x+4，
∵直线l 与x 轴交于点C （4，0），
∴BC ＝√2 .
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数比例系数k 的几何意义，平行四边形的判定和性质等知识.
27．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）根据正方形的判定和性质解答即可．
【详解】
（1）∵AE ∥BD ，BE ∥AC ，
∴四边形AEBO 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB ．
∵OE=CD ，
∴OE=AB ，
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）正方形，面积为2；理由如下：
过点B作OE的垂线段BF交OE于点F
因为OE＝CD＝AD＝2，
0E:BF＝2BF
所以矩形AOBE的面积为2x1
2
当AB与OE垂直时，BF长达到最大值，
即AB长的一半，此时矩形的面积为2
当AB与0E垂直时平行四边形ABCD是正方形..
【点睛】
此题考查菱形的判定和性质，解本题的关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答. 28．（1）-x2+4x；（2）0<x<4；（3）1.75；（4）见解析；（5）2，当0<x<2时，y随x增大而增大.
【分析】
（1）根据矩形的周长=2（长+宽），矩形的面积=长×宽，即可列出函数表达式；
（2）根据y=-x2+4x，-x2+4x＞0即可得出答案；
（3）把x=3.5代入解析式计算即可得；
（4）根据表格中的坐标描点画图即可；
（5）结合图象可得x=2时，y有最大值，再根据函数的解析式及图象写出一条性质即可. 【详解】
（1）∵矩形的周长=2（长+宽），矩形的面积=长×宽，
又∵矩形的周长为8，面积为y，矩形的一边长为x，
∴由题意：y=x（4-x）=-x2+4x；
（2）∵y=-x 2+4x ，
∴x ＞0，且-x 2+4x ＞0，
又∵-x 2+4x ＞0解得x ＞0，x ＜4，
则自变量x 的取值范围是0＜x ＜4；
（3）x=3.5时，y=1.75，
∴m=1.75；
（4）函数图象如图所示：
（5）∵y=-（x-2）2+4，
∴x=2时，y 有最大值，
性质：当0＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．（答案不唯一）.
【点睛】
本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
29．（1）①45；②△ADE≌△ECF，理由见解析；（2）【分析】
（1）①根据矩形的性质得到90ABC BCD ∠=∠=︒，根据角平分线的定义得到45EBC ∠=︒，根据三角形内角和定理计算即可；
②利用ASA 定理证明ADE ECF ≅；
（2）连接HB ，证明四边形NBEH 是矩形，得到NE BH =，根据勾股定理求出BH 即可.
【详解】
（1）①∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠EBC=45°，
故答案为45；
②△ADE≌△ECF，
理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC ．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF=90°．
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠FEC=∠EAD，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠BEC=45°．
∴∠EBC=∠BEC．
∴BC=EC．
∴AD=EC．
在△ADE 和△ECF 中，
DAE CEF AD EC
ADE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE≌△ECF；
（2）连接HB ，如图2，
∵FH∥CD，
∴∠HFC=180°-∠C=90°．
∴四边形HFCD 是矩形．
∴DH=CF，
∵△ADE≌△ECF，
∴DE=CF．
∴DH=DE．
∴∠DHE=∠DEH=45°．
∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴四边形NBEH是平行四边形．
∴四边形NBEH是矩形．
∴NE=BH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAH=90°．
∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，
【点睛】
本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.。