河南省师范大学附属中学高中数学 第二单元 数列章末归纳总结同步练习 理(普通班)选修2-1

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第二单元 数列章末归纳总
结同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1
一、选择题
1．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15
，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线
的距离之和的最小值为( ) A.172
B ．3 C. 5 D.92 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB
的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
4．过原点的直线l 与双曲线x 24－y 2
3＝－1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－32，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ 5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和
直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.3716
6．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3
，则|AB |与|CD |的大小关系是( )
A ．|A
B |>|CD | B ．|AB |＝|CD |
C ．|AB |<|C
D | D ．|AB |≠|CD |
二、填空题
7．设P 是双曲线x 2－y 2
3
＝1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知A (3,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为________．
8．如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是
抛物线的焦点．
(1)抛物线的方程为________；
(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线
和圆于A 、B 、C 、D 四点，则|AB |＋|CD |＝________.
三、解答题
9．在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝1.如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，求这个椭圆的焦距．
10．如图所示，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示的方法进行折叠，使每次折叠后B都落在AD边上，此时将B记为B′(图中EF为折痕，点F也可落在边CD上，)过B′作B′T∥CD交EF于点T，求点T的轨迹方程．
章末归纳总结
一、选择题
1．[答案] D
[解析] 将双曲线9y 2－m 2x 2＝1化为标准方程得
91－m21＝1，
不妨取顶点31，一条渐近线3y －mx ＝0，
由题意知3＝51，解得m ＝4.
2．[答案] A
[解析] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P
点，(0,2)点，和抛物线的焦点，01三点共线时距离之和最小．
所以最小距离d ＝21＝217.
3．[答案] B
[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则中点(2x1＋x2，2y1＋y2)，∴2y1＋y2＝2，＝2px2 ②2①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒
x1－x2y1－y2＝y1＋y22p ＝2y1＋y2，∴k AB ＝1＝2p ⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选
B.
4．[答案] B
[解析] 双曲线的焦点在y 轴上，渐近线的斜率为±23，利用数形结合的方法易得直线l 的斜
率的取值范围是，＋∞3∪23.
5．[答案] A
[解析] 如图|PA |＋|PB |＝|PF |＋|PB |
∴所求最小值为点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离
d ＝
5|4×1－0＋6|＝2，故选A. 6．[答案] A
[解析] 由抛物线的焦点弦公式l ＝sin2θ2p 知，
|AB |>|CD |，故选A.
二、填空题
7．[答案] －2
[解析] 设双曲线的另一个焦点为F ′，则有F ′(－2，0)，F (2,0)，连结AF ′交双曲线的右支于点P 1，连结P 1F ，则|P 1F ′|－|P 1F |＝2a ＝2.
于是(|PA |＋|PF |)min ＝|P 1A |＋|P 1F |
＝|P 1A |＋(|P 1F ′|－2)＝|AF ′|－2＝－2.
8．[答案] (1)y 2＝8x (2)6
[解析] (1)圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，知圆心坐标为(2,0)，即抛物线的焦点为F (2,0)，
∴p ＝4.
∴抛物线方程为y 2＝8x .
(2)由题意知直线AD 的方程为y ＝2(x －2)，
即y ＝2x －4，代入y 2＝8x ，
得x 2－6x ＋4＝0.
设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6.
∴|AD |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10.
又圆直径|BC |＝4，
∴|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |＝10－4＝6.
三、解答题
9．[解析] 如图，设F 、C 分别是椭圆的左、右焦点，由定义|AC |＋|AF |＝|BC |＋|BF |，
∵|AC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝1，|BC |＝，
∴|AF |＝22，
∴焦距|FC |＝＝26.
10．[解析] 以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．
因为|BT |＝|B ′T |，B ′T ⊥AD ，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分．
设T (x ，y )，由|AB |＝4知抛物线的方程为x 2＝－8y .
在折叠中，线段AB ′长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，
而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4.
故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．。