高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的基本定理学案 新人教B版选修21

3.1.2 空间向量的基本定理
1．了解共线或平行向量的概念，向量共面的意义，掌握它们的表示方法．
2．了解空间向量共线、共面和分解定理，会选择适当基底表示空间向量．
3．会用本节知识解决简单的立体几何中的问题．
1．共线向量定理
两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________的实数x，使________．
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数x使a＝x b；②存在唯一实数x，使a＝x b⇒a∥b.
【做一做1】m＝a＋b，n＝－3b－3a，则m与n共线吗？
2．共面向量定理
(1)向量a平行于平面：向量a的基线平行于平面α或________，则称向量a平行于平面α，记作________．
(2)共面向量定义：__________的向量，叫做共面向量．
【做一做2－1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．
(3)共面向量定理．
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：________的一对实数x，y，使______________．
(4)三个向量共面，又称这三个向量________．
(1)a∥α是指a的基线在平面α内或平行于平面α.(2)共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面．(3)共面向量的定理给出了平面的向量表示，说明任意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便向量的运算．(4)利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等．【做一做2－2】若向量a，b不共线，p＝2b，m＝a＋b，n＝a－b，那么p，m，n共面吗？
3．空间向量分解定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个______的有序实数组x，y，z，使p＝__________.这时不共面的三个向量a，b，c叫做空间向量的一个______，记作________．
【做一做3】已知空间向量的一个基底{a，b，c}，m＝a＋b，n＝a－b，则a，b，c中能与m，n构成空间向量的一个基底的是__________．
(1)用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
(4)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
1．如何理解共线向量定理与共面向量定理？
剖析：(1)共线向量定理中注意b≠0，否则当b＝0时，若a≠0，显然a∥b，但是不存在唯一的实数x，使a＝x b，从而“存在唯一的实数x，使a＝x b”不再是a∥b的充要条件．
(2)向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
(3)共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
(4)空间中任意两个向量一定是共面向量．零向量与任意向量共面．
2．如何理解空间向量分解定理？
剖析：(1)只有三个向量a，b，c不共面，其线性组合x a＋y b＋z c才能生成所有的空间向量，否则，若向量a，b，c共面，由数乘向量和向量加法的几何意义，可知其线性组合x a＋y b＋z c表示的只是与a，b，c共面的向量，而不是空间的任意向量．
(2)零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量．
(3)注意区分基底与基向量，一个基底{a，b，c}中的a，b，c都叫基向量．
(4)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量；每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的．
(5)对空间任一点O，若OP＝x OA＋y OB＋z OC，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x＋y＋z＝1.
题型一空间向量的共线共面概念
【例1】下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面
C．若向量a，b是非零向量，则a＋b可成为空间向量的一个基向量
D．若存在唯一的一对实数x，y，使p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b共面
反思：注意理解空间向量共线、共面的意义，重视零向量与任意向量共线、共面，弄清构成空间向量的一个基底的条件．
题型二判定空间向量共面
【例2】如图所示，设E，F为AB，CD的中点，求证：EF与AD，BC共面．
分析：在图中找封闭的四边形，建立向量相等的关系式．
反思：判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
题型三空间向量分解定理
【例3】已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG ＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，试求向量OG在基底{a，b，c}下的分解式．分析：在△OMG中，将OG用OM和MG表示出来，然后再逐步将OM和MG用向量a，b，c来表示．
反思：要求某向量m在给定基底{a，b，c}下的分解式，就是要找到一组有序实数x，y，z，使m＝x a＋y b＋z c，一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形，通过向量的线性运算，先建立向量的关系式，将目标向量初步表示出来，然后再逐步将各个向量用给定的基向量a，b，c来表示即可．
1．已知向量a ，b 不共线，p ＝k a ＋b ，q ＝a －k 2
b ，若p ，q 共线，则k 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2
2．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线 D ．无法确定
3．在四面体ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，BE ＝1
2
EC ，则DE ＝( )
A ．－a ＋23b ＋1
3c
B ．a ＋23b ＋13c
C ．a －23b ＋13c
D ．23a －b ＋13
c 4．如图，ABCD –A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( )
A ．存在唯一的实数对x ，y ，使得1AC ＝x A
B ＋y AD B ．存在唯一的实数对x ，y ，使得A
C ＝x AB ＋y AD
C ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得1AC ＝x AB ＋y A
D ＋z 1AA D ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得AC ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA
5．已知a ＝i ＋k －2j ，b ＝－i ＋2k ＋3j ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面． 答案：
基础知识·梳理 1．存在唯一 a ＝x b
【做一做1】解：∵存在唯一的实数x ＝－13，使m ＝－1
3n ，
∴m∥n ，∴m 与n 共线．
2．(1)在平面α内 a ∥α (2)平行于同一平面
【做一做2－1】解：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．
例如：对于空间四边形ABCD ，AB →，AC →，AD →
这三个向量就不是共面向量．
(3)存在唯一 c ＝x a ＋y b (4)线性相关
【做一做2－2】分析：利用向量共面的条件，存在唯一的一对实数x ＝1，y ＝－1，使
p ＝x m ＋y n .
解：由于p ＝m －n ，所以p ，m ，n 共面． 3．唯一 x a ＋y b ＋z c 基底 {a ，b ，c } 【做一做3】c 典型例题·领悟
【例1】D 对于选项A ，当b ＝0时，a 与b 共线，b 与c 共线，但a 与c 未必共线； 对于选项B ，直线共面是指直线在同一平面内，而向量共面其基线可平行于平面α而不在平面α内，即其基线可以是异面直线；
对于选项C ，当a ＝－b 时，a ＋b ＝0，不能成为空间向量的一个基向量；
选项D 符合共面向量定理．特别地，如果向量a ，b 共线，则p 与向量a ，b 共线，仍有p 与向量a ，b 共面．
【例2】证明：由题意知，EF →＝EA →＋AD →＋DF →
，① 又EF →＝EB →＋BC →＋CF →
，②
∵E ，F 为AB ，CD 的中点，∴EA →＝－EB →，DF →＝－CF →
， ∴①＋②得：2EF →＝AD →＋BC →
，
即EF →＝12AD →＋12BC →，∴EF →与AD →，BC →
共面．
【例3】解：如图所示，
由线段中点的向量表达式，得 OG →
＝OM →＋MG →＝OM →＋2
3
MN →＝12
OA →＋23
(MO →＋OC →＋CN →)＝12
a ＋23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12
a ＋c ＋
1
2
b －
c ＝16a ＋13b ＋13
c . 随堂练习·巩固
1．C 若p ，q 共线，则存在唯一的实数x ，使p ＝x q ，k a ＋b ＝x a －xk 2
b .⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝x
1＝－xk 2
⇒
k ＝－1.
2．A 3．A
4．A 若选项A 中命题为真，则可得到AC 1→，AB →，AD →共面．而由图可知AC 1→，AB →，AD →
不共面．
5．证明：∵a ＝i ＋k －2j ，b ＝－i ＋2k ＋3j ，c ＝－3i ＋7j ，
∴c＝－2a＋b，故a，b，c这三个向量共面．。