高三数学三轮复习《导数》各类题型方法总结教案新人教版(K12教育文档)

高三数学三轮复习《导数》各类题型方法总结教案新人教版(word版可编辑修改)
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导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴(重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题"以及“充分应用数形结合思想"，创建不等关系求出取值范围。

最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步:令0)('=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值—————用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0，<0） 第二种:变更主元（即关于某字母的一次函数)---—-（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2012省统测2）
例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
432
3()1262
x mx x f x =--
（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-
- 2()3g x x mx ∴=--
（1）
()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数",
则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间［0，3］上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
(0)030
2(3)09330
g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩
解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时， 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立， 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x
->=-的最大值(03x <≤）恒成立，
而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==
2m ∴>
（2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立
变更主元法
再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(
2)0230
11(2)0230
F x x x
F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=
请同学们参看2012第三次周考：
例2：设函数),10(3231
)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围。

（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=--- 01a <<
令,0)(>'x f 得)(x f 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ,+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
3
3b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b 。

（Ⅱ）由|)(x f '｜≤a ,得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a
g x a
≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a << 12a a a a +>+=（放缩法)
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
(
∴
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤⎧≤≤⎨
+=-+≥-⎩解得 又,10<<a ∴
.15
4
<≤a 点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间)与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征:)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，
32
6()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+-++>
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
(Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：(Ⅰ）/2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩
， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩
(Ⅱ）由（Ⅰ)知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减
又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-
（Ⅲ)令2()()()(1)3[1,4]2
t
h x f x g x x t x x =-=-++-∈
思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值
二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间(即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在(m ，n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． 2x a =
[]1,
2a a ++
(Ⅰ)如果函数)()(x f x g '=是偶函数,求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ)如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
解：)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . (Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a 。

此时x x x f 3121)(3-=，34
1
)(2-='x x f ，
令0)(='x f ，解得：32±=x 。

列表如下：
x
（－∞,－
23)
－23
（－23，
23)
23
（23,+∞) )(x f ' + 0 － 0 + )(x f
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . (Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，
∴2
1()(1)(41)04
f x x a x a '=
++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221
(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.
综上,a 的取值范围是}20{≤≤a a .
例5、已知函数3211
()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =+-+-≥
（I ）求()f x 的单调区间;
（II ）若()f x 在［0，1]上单调递增,求a 的取值范围.子集思想 (I ）2()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++- 1、20,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立
当且仅当1x =-时取“=”号,()(,)f x -∞+∞在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且
单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a -- （II ）当
()[0,1],f x 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子
集：
1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意
2、[]()0,11,a ⊆-+∞,10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上，a 的取值范围是［0，1］.
三、题型二:根的个数问题
题1函数f(x ）与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步:解不等式（组）即可；
例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3
1
)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解:(1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法)
即x k <+1恒成立，又2>x ,∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h
令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ,
①当1=k 时,0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表:
由于02
1<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实
根，故需0312623>-+-k k ,即0)22)(1(2
<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0
2212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k
根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321
()22
f x ax x x c =+-+
（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点,求()f x 的极值；
（2）若21
()2
g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()
f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

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解：(1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x ax x '=+-， 又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-
2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=
3()(1)2f x f =-=
极大值 222()()37
f x f ==-极小值
（2）设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同交点， 等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根,即：1
(1)(1)(1)2
f g d b -=-⇒=--
322111
2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得:
即：3211
(1)(1)022
x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
（计算难点来了：）3211
()(1)(1)022
h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，
则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式,故用添项配凑法因式分解，
3x 22x x +-211
(1)(1)022
b x x b ---+-=
2211(1)(1)(1)022x x b x x b ⎡⎤
+-++--=⎢⎥⎣⎦
22
1(1)(1)2(1)02x x b x x b ⎡⎤+-++--=⎣
⎦
十字相乘法分解:[]()21
(1)(1)(1)102
x x b x b x +-
+--+= 211(1)(1)(1)022x x b x b ⎡⎤
+-++-=⎢⎥⎣⎦
3211
(1)(1)022
x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
等价于211
(1)(1)022
x b x b -++-=有两个不等于—1的不等实根。

2
211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022
b b b b ⎧∆=+-⨯->⎪⎪⇒⎨
⎪-+++-≠⎪⎩(,1)(1,3)(3,)b ⇒∈-∞-⋃-⋃+∞ 题2:切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求:(1)()f x 的解析式;（2)若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
（1）由题意得:2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<
∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①,'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③
由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，∴32()69f x x x x =-+-
(2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-
232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-
222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=
令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，
求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根.
需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩1611m m <⎧⇒⎨
>-⎩
故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-
题3：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f （x )＝ 错误!x 3－错误!x 2
＋10x ，
()f x '＝x 2
－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <.
令()0f x '< ， 解得25x <<
可知函数f （x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5． （Ⅱ）()f x '＝x 2
－（m ＋3)x ＋m ＋6，
要使函数y ＝f （x ）在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '⇒＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞) 根分布问题：
则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2
m m f m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3
例9、已知函数232
13)(x x a x f +=
，)0,(≠∈a R a (1）求)(x f 的单调区间；(2）令()g x ＝14x 4
＋f
（x)（x∈R）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解:（1）)1()(2'+=+=ax x x ax x f
当0>a 时，令0)('>x f 解得01>-<x a x 或，令0)('<x f 解得01
<<-x a
，
所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞ a
，递减区间为)0,1
(a -。

当0<a 时,同理可得)(x f 的递增区间为)10(a -，，递减区间为),1
()0,(+∞--∞a。

（2）43211
3)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
⇒223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <-
1
方程210x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ∆=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11。

(Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ)若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围。

解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-
令'()f x =0，得[]124
0,2,13
x x ==∉-
因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-，
即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）
（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）
等价于0432≤+-tx x x ， 令x x xt t g 43)(2-+=,则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时,求实数x 的取值范围，
为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10
)1(（g g ,即⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x ,
解得10≤≤x ,所以所求实数x 的取值范围是[0,1]。

2、（根分布与线性规划例子） （1）已知函数3
22()3
f x x ax bx c =
+++ （Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平
行， 求)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时， 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1：3的两部分， 求直线L 的方程。

解： (Ⅰ）。

由2()22f x x ax b '=++， 函数()f x 在1=x 时有极值 ，
∴ 220a b ++=
∵ (0)1f = ∴ 1c =
又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行,
∴ (0)3f b '==- 故 12a = ∴ 3221()3132
f x x x x =+-+ ……………………。

7分
(Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩ 令(,
)M x y , 则 21x b y a =-⎧⎨=+⎩
∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,0)A -， (2,1)B --， (2,2)C -， (0,1)D -, 3(0,)2
E -, 2ABC S ∆= 同时DE 为△ABC 的中位线， 13
DEC ABED S S ∆=四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为： 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1：3的两部分， 设直线L 方程为y kx =，它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >， 1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点F 的横坐标为: 221F x k =-+
由 460
y kx y x =⎧⎨++=⎩ 得点G 的横坐标为： 641G x k =-+ ∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121k k =⨯⨯
-⨯+⨯=+即 216250k k +-= 解得: 12k = 或 58k =- （舍去) 故这时直线方程为: 12
y x = 综上，所求直线方程为： 0x =或
12
y x = 。

……………。

………….12分 （Ⅱ） 解法二: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值，
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩ 令(,
)M x y , 则 21
x b y a =-⎧⎨=+⎩ ∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20220460x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC ，
易得(2,0)A -， (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -， 3(0,)2
E -, 2ABC S ∆= 同时DE 为△ABC 的中位线, 13
DEC ABED S S ∆=四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 12
y x =， 设直线BO 与AC 交于H , 由 12220y x y x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩
得直线L 与AC 交点为： 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 1112222
DEC S ∆=⨯⨯=， 11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB ∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2y x =
3、（根的个数问题)已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=,
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

解：由题知：2f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =⎧⎨++--=⎩⇒⎩⎨⎧==0
3c d （Ⅱ）依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ） = 5
124323846435a b a b a b a b +--=-⎧⎨+--+=⎩ 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – （ 3a + 2b ）x + 3 （ a ＞0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a ①
若方程f （ x ） = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足f （ 5 ）＜8a ＜f ( 1 ） ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒111＜a ＜3 所以 当11
1＜a ＜3时，方程f （ x ） = 8a 有三个不同的根.………… 12分 4、（根的个数问题）已知函数321()1()3
f x x ax x a R =--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值,且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间；
（2）若12a <，讨论曲线()f x 与215()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2()21f'x x ax =--
12122,1x x a x x ∴+=⋅=-
122x x ∴-===
0a ∴=………………………………………………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或
令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分
（2)由题()()f x g x =得3221
15
1(21)326x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=--
令()0x ϕ'=得2x a =或1x =……………………………………………7分 12a <
当22a ≤-即1a ≤-时
此时，9
802a -->，0a <，有一个交点；…………………………9分
当22a ≥-即1
1
a -<<时，
2
(32)036a a -+>，
∴当9
802a -->即9
116a -<<-时，有一个交点；
当9
8002a a --≤≤，且即9
016a -≤≤时，有两个交点；
当1
02a <<时，9
802a --<，有一个交点．………………………13分
综上可知,当916a <-或102a <<时，有一个交点； 当9016
a -≤≤时,有两个交点．…………………………………14分 5、（简单切线问题）已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bx g x f x a
=-+． （Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式;
（Ⅱ) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．。