北京市2018届高三数学文一轮复习 3.5 两角和差的正弦、余弦和正切公式课件 精品

所以 cos2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos(α＋β)cos(α－β)－ sin(α＋β)·sin(α－β)＝153×35－1123×－45＝6635。
答案：6635
跟踪训练
4.若 sinA＝ 55，sinB＝ 1100，且 A，B 均为钝角，求 A＋B 的值。
解析：∵A、B 均为钝角且 sinA＝ 55，
A．4
B．2
os 310°－sin 1170°＝cos 310°－sin110°
＝ 3ssiinn1100°°·－cosco1s01°0°＝2sin110°－30°＝－12sin 20°＝－4.
2sin 20°
2sin 20°
【答案】 D
考点分类突破
3．计算 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析答案
真题再现
4.【2016高考课标3】若
，则
A . 24 B . 48 C . 1 D . 16
25
25
25
【解析】由
，得
或
()
，所以 【答案】A
真题再现
5.(2016北京)已知函数f ( x) 2sinx cosx cos 2x( 0)的最 小正周期为 . (1)求的值;(2)求f ( x)的单调递增区间.
解析答案
真题再现
2. 【2015高考四川】
.
【答案】
.
真题再现
3.(2015·重庆)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β 等于( A )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D6
解析
tanα＋β－tan α tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1＋tanα＋βtan α
＝1＋12－12×13 13＝17.
(1) f ( x) 2sin x cos x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
2
sin
2
x
4
所以f ( x)的最小正周期T
2
,
,
1
2
真题再现
5.(2016北京)已知函数f ( x) 2sinx cosx cos 2x( 0)的最 小正周期为 . (1)求的值;(2)求f ( x)的单调递增区间.
sinB＝ 1100，∴cosA＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5
5
5，
cosB＝－
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
1010，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3
1010－
55×
1100＝
22①
又∵π2＜A＜π，2π＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π。②
由①②知，A＋B＝74π。
cos(α∓β)＝___c_o_s_α_c_o_s_β_±__s_i_n_α_s_i_n_β_； tan α±tan β
tan(α±β)＝____1_∓_t_a_n_α_t_a_n_β________.
知识梳理 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α_
2 .
考点分类突破
(2)①因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝ 2sin2x＋π4＋1，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝__2_c_o_s_2α_－__1__＝___1_－__2_s_in_2_α_； tan 2α＝__1_－2_ta_tna_n_α2_α__
名师点睛
1．必会结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
【解析】
2csionsα2＋α π4＝
2
cos2α－sin2α
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝cos
α－sin
α，
∵sin α＝35，α∈π2，π，
∴cos α＝－45，
∴原式＝－75. 【答案】 －75
考点分类突破
2．设 sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则 tan 2α 的值是________．
【解析】 sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又 α∈π2，π，∴sin α＝ 23，tan α＝－ 3. ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－－－2 332＝ 3.
【答案】 3
跟踪训练
1．已知 sinα＝35，且 α∈π2，π，那么scions22αα的值等于(
●命题角度 1 给值求值 1．若 cosα2＝ 36，则 cos 2α＝________.
【解析】 cos α＝2cos2α2－1＝2×23－1＝13， cos 2α＝2cos2α－1＝2×19－1＝－79.
【答案】 －79
考点分类突破
●命题角度 2 给角求值
2． cos 130°－sin 1170°＝( )
3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考纲解读
考试内容 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式
要求层次
A
B
C
√
√
北 京 近 五 年 主 要 考 查．
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的 正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能利用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式，但不要求记忆).
真题再现
1.(2014课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的 最大值为____1____.
解析： 因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，
－1≤sin(x－φ)≤1， 所以 f(x)的最大值为1.
∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－34π.
【答案】 －34π
跟踪训练
1．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°＝________.
【解析】 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝1t－ant2an0°2＋0°ttaann4400°°， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝ 3－ 3tan 20°tan 40°， ∴原式＝ 3－ 3tan 20°tan 40°＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.
【答案】 D
归纳升华
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1．一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使用公式． 2．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，
常见的有“切化弦”． 3．三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
考点分类突破
考点二
三角函数的条件求值
【答案】 3
跟踪训练
2.若 θ∈[4π，π2]，sin 2θ＝387，则 sin θ 等于( D )
3
4
7
3
A.5
B.5
C. 4
D.4
解析 由 sin 2θ＝387和 sin2θ＋cos2θ＝1 得
(sin θ＋cos θ)2＝387＋1＝(3＋4 7)2，
又
θ∈[π4，π2]，∴sin
θ＋cos
)
A．－34
B．－32
3 C.4
3 D.2
解析：∵sinα＝35，且 α∈π2，π，∴cosα＝－45， scions22αα＝2sicnoαsc2αosα＝2csoisnαα＝2－×5435＝－32。
答案：B
跟踪训练
2.
cos2α－sin2α
1
2tanπ4－αcos2π4－α＝ __________。
【答案】 1
考点分类突破
●命题角度 3 给值求角
4．已知锐角 α，β 满足 sin α＝ 55，cos β＝31010，则 α＋β 等于( )
3π A. 4 C．－34π
π B. 4
5π D. 4
【解析】 ∵α，β 为锐角，∴cos α＝ 1－ 552＝255，
sin β＝ 1－cos2β＝
1－3 10102＝
①求 f(x)的最小正周期；
②求 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值． 【解析】 (1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1
＝1－c2os 2x＋12sin 2x＋1＝23＋ 22sin2x－π4. 故最小正周期 T＝22π＝π.
当 sin2x－π4＝－1 时，
f(x)取得最小值为32－ 22＝3－2
3＋ θ＝ 4
7 .
3－ 同理，sin θ－cos θ＝ 4
7，∴sin θ＝34.
跟踪训练
3．已知 α、β∈0，π2。若 cos(α＋β)＝153，sin(α－β)＝－45， 则 cos2α＝__________。
解析：由 α、β∈0，π2，得 α＋β∈(0，π)，α－β∈－π2，0。 故 sin(α＋β)＝1123，cos(α－β)＝35，
归纳升华
三角函数求值有三类 1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，
解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的 关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求 角的范围、确定角．
考点分类突破
考点三 三角变换的简单应用
(1)函数 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 的最小正周期是________，最小值是________．
(2)已知函数 f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
解析：原式＝2csoisnπ4c4πo－－s2ααα－·csoisn22απ4－α ＝2sinc4πos－2αα－csoisn2π4α－α ＝sincoπ2s－2α2α＝ccooss22αα＝1。
跟踪训练
3．已知 tan α＝3，则scions22αα的值等于(
)
A．2
B．3
C．4 D．6
【解析】 scions22αα＝2sincoαsc2αos α＝2tan α＝2×3＝6.
【解析】
tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13>0.
∴0<α<π2，又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2.∴tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ＝1－43＋43×17 17＝1，
【解析】
sin 50°(1＋
3tan 10°)＝sin 50°1＋
sin 10° 3cos 10°
＝sin
50°×cos
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
50°×212cos
10°＋
3 2 sin
cos 10°
10°
＝2sinc5o0s°1c0o°s 50°＝scions11000°°＝ccooss 1100°°＝1.
10 10 .
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－ 55× 1100＝ 22，
又 α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝4π.
【答案】 B
考点分类突破
5．已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则 2α－β＝________.
(2) 由(1)知f ( x)
2
sin
2
x
4
,
函数f
( x)的递增区间为 2k
2
,
2k
2
(k
)
由2k 2x 2k , k Z ,
2
4
2
得 : k 3 x k , k Z
8
8
所以f
(
x)的单调递增区间为 k
3
8
,
k
8
(k
Z
)
知识梳理
知识点 三角恒等变换公式 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝___s_in__α_c_o_s_β_±__c_o_s_α_s_i_n_β_
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sin φ＝
a2b＋b2，cos φ＝
a a2＋b2.
2．必清误区
(1)利用辅助角公式 asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)其中tan
φ＝ba转化时，
一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．
(2)计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，应先求 ωx＋φ 的
范围，不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的范围混淆．
考点分类突破
考点一
三角函数式的化简
1.已知 sin α＝35，α∈π2，π，则 2scionsα2＋α 4π＝________.