第十二章全等三角形专题4与中点有关的问题

第十二章 全等三角形 专题4 与中点有关的问题
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一、解答题
1．如图，在ABC V 中，D 为BC 的中点．
(1)求证：2AB AC AD +>；
(2)若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．
2．如图，在ABC V 中，O 为BC 的中点，M 为AB 上一点，ON OM ⊥交AC 于点N ，连接MN ．求证：BM CN MN +>．
3．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，
求证：DE ＝2AM.
4．如图，AD 是ABC V 的中线，点E 在BC 的延长线上，,CE AB BAC BCA =Ð=Ð，试说明：2AE AD =．
5．如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF AC =，求证：DFE DAC Ð=Ð．
6．如图，AD 为ABC V 的中线，E 为AD 上一点，BE AC =，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：CAE AEF Ð=Ð．
7．如图．∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F ．
(1)求证：点F 是ED 的中点；
(2)求证：S △ABC ＝2S △BEF ．
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)14
AD <<【分析】（1）延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE ，证明ADC EDB ≌△△，得出AC EB =，根据AB BE AE +>可以证明2AB AC AD +>；
（2）根据三角形三边关系得出AB BE AE AB BE -<<+，即可得出2AB AC AD AB AC -<<+，根据5AB =，3AC =，求出结果即可．
【详解】（1）证明：延长AD 至点E ，使DE AD =，连接BE ，
∵D 为BC 的中点，
∴CD BD =，
又∵AD ED =，ADC EDB Ð=Ð，
∴ADC EDB ≌△△，
∴AC EB =，
∵AB BE AE +>，
∴2AB AC AD +>．
（2）解：∵AB BE AE AB BE -<<+，
∵ADC EDB ≌△△，
∴AC EB =，
∴2AB AC AD AB AC -<<+，
∵5AB =，3AC =，
∴228AD <<，
∴14AD <<．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明ADC EDB ≌△△．
2．见解析
【分析】延长NO 至点P ，使OP NO =，连接MP ，BP ，证明()SAS BOP CON △≌△，则PB CN =，由三角形三边关系即可完成．
【详解】证明：如图，延长NO 至点P ，使OP NO =，连接MP ，BP ．
O Q 为BC 的中点，
BO CO \=．
在BOP △和CON V 中，,,
,OP ON BOP CON BO CO =ìïÐ=Ðíï=î
()SAS BOP CON \△≌△，
PB CN \=．
MO PN ⊥Q ，
90MOP MON ÐÐ\==°．
又OP ON =，MO MO =，
MON MOP \△≌△，
MN MP \=．
BM BP MP +>Q ，
BM CN MN \+>．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的不等关系，倍长中线是解题的关键．
3．见解析.
【分析】延长AM 至N ，使MN=AM ，证△AMC ≌△NMB ，推出AC=BN=AD
，求出
∠EAD=∠ABN ，证△EAD ≌△ABN 即可．
【详解】延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN ，
∵点M 为BC 的中点，
∴CM=BM ，
在△AMC 和△NMB 中
AM MN AMC NMB CM BM ïÐïî
Ðìí＝＝＝ ∴△AMC ≌△NMB （SAS ），
∴AC=BN ，∠C=∠NBM ，
∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD ，
在△EAD 和△ABN 中
∵AE AB EAD ABN AD BN ïÐïî
Ðìí＝＝＝，
∴△ABN ≌△EAD （SAS ），
∴DE=AN=2MN ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN=AM ，再只证AN=DE 即可，这就是“中线倍长”，实质是“补短法”．
4．见解析
【分析】延长AD 至F ，使得DF AD =，证明ABD FCD △≌△（SAS ）
，进而证明
ACE ACF Ð=Ð，证明ACF ACE △≌△（SAS ）即可得证．
【详解】证明：如图，延长AD 至F ，使得DF AD =，
∵D 是BC 的中点，
∴BD DC =，
在ABD △与FCD V 中，
BD CD ADB FDC AD FD =ìïÐ=Ðíï=î
，
∴ABD FCD △≌△（SAS ），
∴,FC AB B FCD =Ð=Ð，
∵AB CE =，
∴FC CE =，
BAC BCA Ð=ÐQ ，
,ACE B BAC ACF ACB FCD Ð=Ð+ÐÐ=Ð+ÐQ ，
ACE ACF \Ð=Ð,
在ACE △与ACF △中，
AC AC ACF ACE FC EC =ìïÐ=Ðíï=î
，
∴ACF ACE △≌△（SAS ），
AE AF \=，
∵2AF AD =，
∴2AE AD =．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，三角形的外角的性质，
倍长中线是解题的关键．
5．见解析
【分析】过点C 作CM AD ⊥于点M ，过点E 作EN AD ⊥，交AD 的延长线于点N ，首先根据全等三角形的判定得出DCM DEN ≌△△，进而得出=MC EN ，即可得出
Rt FEN Rt ACM V V V ≌，进而得出DFE DAC Ð=Ð．
【详解】证明：如下图，过点C 作CM AD ⊥于点M ，过点E 作EN AD ⊥，交AD 的延长线于点N ，
在DCM △和DEN V 中，
CMD END CDM EDN
DC DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î
\V V ≌DCM DEN ，
MC EN \=，
在Rt FEN △和Rt ACM V 中，
EF AC EN CM
=ìí=î\Rt FEN Rt ACM V V V ≌，
DFE DAC ÐÐ\=．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
6．见解析
【分析】过点B 作BM AD ⊥，交AD 的延长线于点M ，过点C 作CN AD ⊥于点N ，根据三角形的中线的定义可得BD CD = ，证明BDM CDN ≌△△
，根据全等三角形对应边相等
可得BM CN =，再证明Rt Rt V V ≌ACN EBM ，根据全等三角形对应角相等可得
ÐÐ=CAN BEM ，然后得出CAE AEF Ð=Ð．
【详解】证明：如下图，过点B 作BM AD ⊥，交AD 的延长线于点M ，过点C 作CN AD ⊥于点N ，
AD Q 为ABC V 的中线，
BD CD \=，
在BDM V 和CDN △中，
90M CND BDM CDN
BD CD ÐÐÐÐ==°ìï=íï=î
\V V ≌BDM CDN ，
BM CN \=，
在Rt ACN △和Rt EBM V 中，
AC EB CN BM
=ìí=îRt Rt \V V ≌ACN EBM
CAN BEM ÐÐ\=，
AEF BEM ÐÐ=Q ，
CAE AEF \Ð=Ð．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，证明BDM CDN ≌△△是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，过点E 作EM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，证明EBM A Ð=Ð，
再证明
△ABC ≌△BEM （AAS ），可得BD ＝EM ，再证明△EMF ≌△DBF （AAS ），从而可得结论；（2）由△ABC ≌△BEM ，△EMF ≌△DBF ，可得S △ABC ＝S △BEM ，S △EMF ＝S △DBF ，再利用三角形中线的性质可证结论．
【详解】（1）证明：如图，过点E 作EM ⊥CF 交CF 的延长线于M ，
∵BE ⊥AB ，
∴∠EBM +∠ABC ＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C ＝90°，
∴∠A +∠ABC ＝180°﹣90°＝90°，
,EBM A \Ð=Ð
在△ABC 和△BEM 中，
∵90A EBM C M AB BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î
，
∴△ABC ≌△BEM （AAS ），
∴BC ＝EM ，
∵BD ＝BC ，
∴BD ＝EM ，
在△EMF 和△DBF 中，
∵90M DBF EFM DFB EM BD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î
，
∴△EMF ≌△DBF （AAS ），
∴EF ＝DF ，
∴点F 是ED 的中点；
（2）证明：∵△ABC ≌△BEM ，△EMF ≌△DBF
，
∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵点F是ED的中点，
∴S△BEF＝S△DBF
1
2
=S△BEM
1
=
2
S△ABC，
∴S△ABC＝2S△BEF．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．。