2017-2018北京东城高二上期末【理】

东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学 (理科)
本试卷共4页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共36分）
一、选择题: （本大题共12小题，每小题3分，共36分． 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．若A ，B 两点的纵坐标相等，则直线AB 的倾斜角为（ ）．
A ．0
B ．
4
π
C ．
2
π D ．π
1.【答案】C
【解析】两点纵坐标相等，说明直线应为x m =，此时倾斜角为π
2
． 故选C ．
2．已知命题:p 0x ∃∈R ，0lg 0x <，那么命题p ⌝为（ ）． A ．x ∀∈R ，lg 0x > B ．0x ∃∈R ，0lg 0x >
C ．x ∀∈R ，lg 0x ≥
D ．0x ∃∈R ，0lg 0x ≥
2.【答案】C
【解析】由命题的否定定义可知，C 正确． 故选C ．
3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则边AB ，AC 所在的斜率之和为（ ）．
A ．-
B ．1-
C ．0
D ．3.【答案】C
【解析】正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，
60ABC ACB ==︒∠∠，所以AB 和AC 所在直线的倾斜角为60︒和120︒，
所以斜率和为0． 故选C ．
4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，且n α⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.【答案】D
【解析】当m n ∥，n α⊂，当m α⊂时，也成立，所以不充分， 当m α∥，m 与面内的直线还可能异面，所以不必要． 故答案为D ．
5．结晶体的基本单位称为晶胞，如图食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为
1
2
的小正方体堆积成的正方体），期中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子，建立空间直角坐标系Oxyz 后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）． A ．11,,122⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()0,0,1
C ．11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．111,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.【答案】A
【解析】用图可知该点的横坐标为12，纵坐标为1
2
，竖坐标为1． 故答案为A ．
6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B CD -在面11AA D D 上的正投影图形为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
6.【答案】A
【解析】四面体向11AA D D 的正投影中，
B 点投影到A 点，
C 点投影到
D 点，1B 点投影到1A ．
所以投影为A ． 故选A ．
7．设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，线段12F F 被点,02b ⎛⎫
⎪⎝⎭分成3:1
的两段，则此椭圆的离心率为（ ）．
A ．1
3
B ．
12
C
D
7.【答案】C
D 1
C 1
B 1
A 1
B
C
D
A
【解析】依题意，122F F c =，被,02b ⎛⎫
⎪⎝⎭
分成3:1两段，
所以322b b c c ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，解得c b =，
又222a b c =+，故离心率e c a ==
． 故选C ．
8．已知直线l ，m 和平面α，β，且l α⊥，m β∥，则下列命题中正确的是（ ）． A ．若αβ⊥，则l m ∥ B ．若αβ∥，则l m ⊥
C ．若l β∥，则m α⊥
D ．若l m ⊥，则αβ∥
8.【答案】B
【解析】对于A ,l 与m 可能异面， 对于C ，m 可能与α平行， 对于D ，两平面可能相交． 故选B ．
9．若半径为1的动圆与圆22(1)4x y -+=相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）． A ．22(1)9x y -+=
B ．22(1)3x y -+=
C ．22(1)9x y -+=或22(1)1x y -+=
D ．22(1)3x y -+=或22(1)5x y -+=
9.【答案】C
【解析】设动圆圆心为(),x y ，
21=+，解得()2
219x y -+=，
21-，解得()2
211x y -+=．
故选C ．
10．已知双曲线C ：22
221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为10，点()2,1P 在C 的一条渐近线
上，则C 的方程为（ ）．
A ．22
12080x y -=
B ．22
1520x y -=
C ．22
18020x y -=
D ．22
1205
x y -=
10.【答案】C
【解析】依题意得，210c =，渐近线方程为b
y x a =±，
点()2,1P 在渐近线上，解得2a b =， 由222c a b =+，解得280a =，220b =，
故方程为22
18020x y -=．
故选C ．
11．平面上动点P 到定点F 与定直线l 的距离相等，且点F 与直线l 的距离为1，某同学建立直角坐标系
后，得到点P 的轨迹方程为221x y =-，则它的建系方式是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 11.【答案】B
【解析】依题意，轨迹为抛物线，若顶点为原点，开口向上
则方程应为22x y =，焦点坐标为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭，准线方程为12y =-．
某同学得到的轨迹方程为221x y =-，
说明将上述方程向下移动1
2
个单位，
故抛物线的顶点坐标变为()0,0，准线方程为1y =-． 故选B ．
12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 为棱11A D ，AB 上的动点，且3MN =，则线段MN 中点P 的轨迹为（ ）． A ．线段 B ．圆的一部分 C ．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 12.【答案】B
【解析】(),0,2M x ，()1,,0N y ，所以()1,,,,122x y P a b c +⎛⎫
= ⎪⎝⎭． 所以21x a =-，2y b =，（[]0,2
x ∈，[]0,2y ∈）
由3MN =，所以()2
2149x y -++=， 解得()2
222449a b -++=，()2
25
14
a b -+=． 所以轨迹为圆的一部分． 故选B ．
x
A 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．在空间直角坐标系中，点(2,1,1)P -在yOz 平面内的射影为(,,)Q x y z ，则
x y z ++=________．
13.【答案】2-
【解析】点P 在在yOz 平面内的射影， 横坐标取相反数，纵坐标和竖坐标不变， 所以2x =-，1y =-，1z =， 解得2x y z ++=-． 故答案为2-．
14．若直线l 与直线210x y --=垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：__________．
14.【答案】1
12y x =--
【解析】直线l 得到斜率为1
2
-，
不经过第一象限，则y 轴截距应小于等于0，
所以其中一个为1
12y x =--．
故答案为1
12
y x =--．
15．已知直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则m =__________，AB =__________．
15.【答案】2，16
【解析】抛物线的焦点坐标为()2,0，所以2m =． 直线和抛物线相交，28160y y --=， 根据8A B y y +=， 416A B AB x x =++=．
故答案为2，16．
16．将圆
22
(1)2x y -+=绕直线0kx y k --=旋转一周所得的几何体的表面积为__________． 16.【答案】8π 【解析】圆心为
()1,0，直线过()1,0，
故表面积为2
4π8πR =．
故答案为8π．
17．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ,N 分别是棱1BB ，11B C 的中点，若90CMN =︒∠，则异面直线1AD 与DM 所成的角为__________． 17.【答案】90︒ 【解析】
建立空间直角坐标系， 设AB a =，BC b =，1BB c =， 则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2b N c ⎛⎫
⎪⎝⎭，()0,,0C b ，
(),0,0A a ，()1,,D a b c ，(),,0D a b ，
则0,,2c MC b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,,22b c MN ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
由90CMN =︒∠，可知22
024
b c MC MN ⋅=-=，解得222b c =．
所以2211
AD DM b c ⋅=-+=，所以异面直线1AD 与DM 所成的角为90︒．
给出下列关于曲线C 的描述：
①曲线C 关于坐标原点对称；
②对于曲线C 上任意一点(,)M x y 一定有6x ≤； ③直线y x =与曲线C 有两个交点； ④曲线
C 与圆2216x y +=无交点．
其中所有正确描述的序号是_______．
18.【答案】①④
【解析】依题意，M 到两条直线的距离之积为12．
12=，解得
2
21182
x y -=． 故2213618x y -=或2213618
x y -+=． ①(),x y --在曲线上，所以曲线C 关于坐标原点对称，故正确；
②对于2213618
x y -=，可得
6x ≥，故错误；
③将y x =代入曲线，对于22
13618x y -=，方程无解，
对于22
13618x y -+=，6x =±，6y =±，故交点有4个；
④将2216x y +=代入曲线，方程无解，故正确．
故答案为①④．
三、解答题：本大题共4个小题，46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本题满分10分）
已知直线l 过点A (0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1． （Ⅰ）求直线l 的方程．
（Ⅱ）若直线1l 与直线l 平行，且1l 与l 间的距离为2，求直线1l 的方程． 19.【解析】
（1）依题意，可得直线斜率存在，设l ：4y kx =+，
在x 轴上截距为4
k -，在y 轴上截距为4，
由441k -+=，解得43k =．
故直线方程为4
43
y x =
+． （2）直线1l 与直线l 平行，所以斜率为43
， 设1l ：4
3
y x b =
+，化为一般式方程：4330x y b -+=， 直线l 为43120x y -+=，
两直线距离2d =
=，
解得23b =或223
b =，所以直线方程为4233y x =+或42233y x =+．
20．（本题满分11分）
已知圆22:1010340C x y x y ++++=． （Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径．
（Ⅱ）若圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程．
（Ⅲ）过点()0,2P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于E ，F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程． 20.【解析】
（1）将圆化为标准方程()()2
2
5516x y +++=．
圆心坐标为()5,5--，半径4r =．
（2）设圆D 的圆心()5,b -，圆方程为()()2
2
25x y b r ++-=， 两圆外切，()54b r --=+
被x 轴解得的弦长为10
，故10． 解得，13r =，12b =，
故圆D 为()()2
2
512169x y ++-=．
（3）由题意可知，DM EF ⊥，设(),M x y ，
2EF PM y k k x -==
，12
5
DM y k x -=+， 由()()
()
21215EF DM y y k k x x --⋅=
=--，
解得22514240x y x y +--+=．
21．（本题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，Q 为AD 的中点．
（Ⅰ）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定实数t 的值，使PA ∥平面MQB ． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角
M BQ C --的大小． 21.【解析】
（1）若PA PD =，Q 为AD 的中点， 所以PQ AD ⊥，
底面ABCD 为菱形，60BAD =︒∠，所以BQ AD ⊥． 又PQ BQ Q =，
所以AD ⊥面PQB ，又AD ⊂面PAD ， 所以面PQB ⊥面PAD ．
（2）当1
3
t =
时，PA ∥面MQB ． 连接AC ，BQ 交于N ，连接MN ． D
Q
A
B
C
M
P
因为AQ BC ∥，
所以12AN AQ NC BC ==．
因为PA ∥面MQB ，PA ⊂面PAC ， 面MQB 面PAC MN =， 所以MN PA ∥．
所以
12PM AN MC NC ==，所以1
3
PM PC =． （3）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
又BQ AD ⊥，BQ ⊂面ABCD ， 所以BQ ⊥面PAD ． 以Q 为原点，QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， ()0,0,0Q
，(P
，()
B ，
()
C -
，M ⎛- ⎝⎭
． 易得，面BQC
的法向量为(QP =， 设面MBQ 的法向量为(),,n x y z =．
()QB =
，(1,0,PA =， 00QB n PA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，0
x =-=⎪⎩， 解得0y =，令1z =
，所以x = 所以(
)
3,0,1n =
． 31
cos ,2
3QB n QB n QB n
⋅=
=
=⋅⋅， 由图可知二面角M BQ C --为锐角， 所以二面角M BQ C --的大小为60︒．
22．（本题满分13分）
N
P
M
C
B
A
Q
D
已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的焦点在圆223
x y
+=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若FAB
△为直角三角形，求直线l的方程．
22.【解析】
（1）圆223
x y
+=与x
轴交点为)
，故c=，
，解得2
a=，故1
b=．
故椭圆方程为
2
21
4
x
y
+=．
（2
）依题意，)
F，
当直线l斜率不存在时，()
0,1
A，()
0,1
B-，0
FA FB
⋅≠，不合题意，舍，当直线l斜率存在时，设方程为y kx
=，
联立
2
21
4
x
y
y kx
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得()22
144
k x
+=，所以2
2
4
14
x
k
=
+
，
2
2
2
4
14
k
y
k
=
+
由FAB
△为直角三角形，故0
FA FB
⋅=，
解得
2
22
44
30
1414
k
k k
-+-=
++
，所以2
1
8
k=，
故k=，
直线l
为
4
y x
=±．。