贵州省毕节地区2019-2020学年高考数学考前模拟卷(2)含解析

贵州省毕节地区2019-2020学年高考数学考前模拟卷（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a b ⨯r r 为a r 与b r 的“向量积”，且a b ⨯r r
是一个向量，它的长度
sin a b a b θ⨯=r r r r ，若()2,0u =r ，(1,u v -=r r ，则()u u v ⨯+=r r r
（ ）
A ．B
C ．6
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
先根据向量坐标运算求出(u v +=r r
和cos ,u u v +r r r ，进而求出sin ,u u v +r r r ，代入题中给的定义即
可求解. 【详解】
由题意()(v u u v =--=r r r r ，则(u v +=r r ，cos ,2
u u v +=r r r ，得1sin ,2u u v +=r r r ，由定义
知()
1
sin ,22
u u v u u v u u v ⨯+=⋅++=⨯=r r r r r r r r r ，
故选:D. 【点睛】
此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 2．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68
(2)a a +-=（ ）
A ．256
B ．-256
C ．32
D ．-32
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】
由1371352S a ==，74a =，得()()68
8
22256a a +-=-=.选A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.
3．函数cos 1ln(),1,
(),1x x x f x x
e
x π⎧
->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】
当1x >时，()1
ln()f x x x
=-，
由1
,y y x x =-
=在()1,+∞递增， 所以1
t x x
=-在()1,+∞递增
又ln y t =是增函数，
所以()1ln()f x x x
=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x
f x e
π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈
所以cos t x π=在()0,1递减，而t
y e =是增函数
所以()cos x
f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误
故选：A 【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.
4．若双曲线22
214
x y a -=3 ）
A
．B ．C ．6 D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以2
24
13e a
=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于3
2
x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】C 【解析】 【分析】
依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于3
2
x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】
解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，
(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于3
2
x =
对称， 又1123()3(3)
x f x x x x x -'=
-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】
本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.
6．如果实数x y 、满足条件10
{1010
x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选
B
7．给出下列三个命题：
①“2
000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；
②在ABC V 中，“30B ︒>”是“3
cos 2
B <
”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π
个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】
对于命题①,因为()2
2
0002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,
即①是假命题;
对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即31cos 2
B -<<
,即可得到3
cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC
V
中,0180B ︒︒<<,
若cos 2
B <
,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛
⎥⎫+ ⎪
⎝⎝
⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
8．
()7
12x x
-的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．84-
B ．84
C ．280-
D ．280
【答案】C 【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k
k n T a b -+=，得()7
12x -展开式的通项为
()17
2k
k k
k T C x
+=-，则
()7
12x x
-展开式的通项为()1
172k
k k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求
2x 的系数为()3
3
72280C -=-.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式
1C r n r r r n T a
b -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
9．不等式组20
1230
x y y x x y -≥⎧⎪⎪
≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）
A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>
B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>
C ．(),x y ∀∈Ω，2
31y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，
2
51
y x +>- 【答案】D
根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设122
2,1
y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案. 【详解】
解：根据题意，不等式组201230
x y y x x y -≥⎧⎪⎪
≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，
其中()2,1A ，()1,2B ，
设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122z
x y =-+在y 轴上的截距的2倍， 由图可得：当122
z
x y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，
当122
z
x y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥，
故AB 错误； 设22
1
y z x +=
-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率， 由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】
本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.
10．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，
且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．
22
B 21
C ．322-
D 31
【分析】
根据题意可得易知2p c =，且222222222
4
44p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22
222234212a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，再利用22
2c e a =即可求解. 【详解】
易知2p c =，且222
2222222222
2234
4
21442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧+=
⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩
故有2
2
2322c e a
==-，则32221e =-=-
故选：B 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题
11．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．
的是( )
A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，
…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【详解】
对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为
1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻
两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D. 【点睛】
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A ．25
B ．4
C ．2
D ．22
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==
所以2SC DC ==，
所以
2,SA SB ====
所以该几何体的最长棱的长为 故选：D 【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过直线43100x y +-=上一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值是______. 【答案】3
2
【解析】 【分析】
由切线的性质，可知=u u u r u u u r PA PB ，切由直角三角形PAO ，PBO ，即可设,PA x APO u u u r
α=∠=，进而表示cos α，由图像观察可知O l PO d -≥进而求出x 的范围，再用,x α的式子表示PA PB ⋅u u u r u u u r
，整理后利用换元
法与双勾函数求出最小值. 【详解】
由题可知，=u u u r u u u r PA PB ，设,PA x APO u u u r
α=∠=
，由切线的性质可知PO =
2
2
2cos 1x x αα=
=+
显然2O l PO d -≥=
=
2x ≥⇒≥
x ≤
因为()222222
1cos cos 22cos 11
x PA PB PA PB APO x x x x u u u r u u u r u u u r u u u r αα-⋅=⋅∠==⋅-=⋅+ ()()2222222
22222
2122222121311111x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫=⋅-=-=-=+-=++- ⎪+++++⎝⎭
令2
1,4t x t =+≥，则23PA PB t t
u u u r u u u r ⋅=+-，由双勾函数单调性可知其在区间[)4,+∞上单调递增，所以
()
min 234342
PA PB u u u r u u u r ⋅=+-=
故答案为：32
【点睛】
本题考查在以直线与圆的位置关系为背景下求向量数量积的最值问题，应用函数形式表示所求式子，进而利用分析函数单调性或基本不等式求得最值，属于较难题.
14．若函数32,0()log ,0
x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则411
[(log )]33f f 的值为______.
【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式求出41(log )3
f 的值，进而计算可得答案． 【详解】
根据题意，函数3
2,0,
()log ,0.x x f x x x -⎧=⎨>⎩…，
则4421
(log )(log 3)(log 3)33
f f f =-=-= 则4311331[
(log )](log 33332
f f f ===-； 故答案为：1
2
-. 【点睛】
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
15．已知关于x 的不等式3ln 1x e
x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为
_________． 【答案】(],3-∞- 【解析】 【分析】
先将不等式3ln 1x
e x a x x --≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,转化为3ln 1ln x x e x a x ---…任意(1,)x ∈+∞恒成
立，设()3ln 1
ln x x e x f x x
---=，求出()f x 在()1,+∞内的最小值,即可求出a 的取值范围.
【详解】
解：由题可知，不等式3ln 1x
e x a x x
--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，
即33ln 3ln 31111ln ln ln ln x
x x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x
-----------===…， 又因为(1,)x ∈+∞，ln 0x >，
3ln 1
ln x x e x a x ---∴…
对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设()3ln 1
ln x x e x f x x
---=，其中()1,x ∈+∞，
由不等式1x e x ≥+，可得：3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，
则()3ln 13ln 11
3ln ln x x e x x x x f x x x
----+--=≥=-，
当3ln 0x x -=时等号成立，
又因为3ln 0x x -=在()1,+∞内有解，
()min 3f x ∴=-，
则()min 3a f x ≤=-，即：3a ≤-， 所以实数a 的取值范围：(],3-∞-. 故答案为：(],3-∞-. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
16．已知函数()()()2
02ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值
范围为_________.
【答案】(),16ln 224-∞- 【解析】 【分析】
确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求
()()12f x f x +的取值范围．
【详解】
函数()()2
2ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛
⎫'=-+= ⎪⎝⎭
，
依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <）， 则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>， 所以
()()()()()
22
121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2
222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦
，
令()()2
2ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()212
2a h a a a
-''=
-=
， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<， 所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-. 因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-. 故答案为：(),16ln 224-∞-. 【点睛】
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将
()()
12f x f x +的取值范围转化为以a 为自
变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数，记
的最小值为.
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若正实数，满足
，求证：
.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（Ⅰ）①当时，，即，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，即，
∴.
综上所述，原不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，
当且仅当时，等号成立.
∴的最小值.
∴，
即，
当且仅当即时，等号成立.
又，∴，时，等号成立.
∴.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检
测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[
)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 [)15,20
[)20,25
[)25,30
[)30,35
[)35,40
[)40,45
频数
2
18
48
14
16
2
（1）求图中实数a 的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.080a =（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出a 值； （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,236
.，选2件产品，支付的费用X 的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】
解：（1）据题意，得0.00850.032550.02450.03650.02051a ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯= 所以0.080a =
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,236
. 随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.
()111
2406636P X ==⨯=
()1
2111300369P X C ==⨯⨯=
()1
211115360263318P X C ==⨯⨯+⨯=
()1
2111420233P X C ==⨯⨯=
()111
480224
P X ==⨯=
随机变量X 的分布列为
所以()11511
2403003604204804003691834
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
19．已知抛物线M ：22x py =（0p >）的焦点F 到点(1,2)N --. （1）求抛物线M 的方程；
（2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A ，B ，点A 、B 分别在第一和第二象限内，求ABN ∆的面积.
【答案】（1）2
4x y =（2）27
2
【解析】 【分析】
（1）因为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得||FN == （2）分别设NA 、NB 的斜率为1k 和2k ，切点()11,A x y ，()22,B x y ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：(1)2y k x =+-，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0∆=，求得1k ，
2k ，进而求得切点A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得||AN ，根据点到直线距离公式求得点B 到切
线AN 的距离d ，进而求得ABN ∆的面积.
【详解】 （1）Q 0,
2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴||FN == ∴解得2p =，
∴抛物线M 的方程为24x y =.
（2）由题意可知，NA 、NB 的斜率都存在，分别设为1k 和2k ，切点()11,A x y ，
()22,B x y ，
∴过点N 的抛物线的切线l ：(1)2y k x =+-，
∴由2(1)2
4y k x x y
=+-⎧⎨=⎩,消掉y ,
可得24480x kx k --+=，
Q 21616320k k ∆=+-=，即220k k +-=，
∴解得11k =，22k =-，
又Q 由2
4x y =， 得1
2
y x '=
， ∴1122x k ==，2
2111114
y x k =
==， ∴同理可得2224x k ==-，2
224y k ==，
∴(2,1)A ，(4,4)B -，
∴||AN ==， ∴切线AN 的方程为10x y --=，
∴点B 到切线AN 的距离为
2d =
=，
∴127
222
ABN S ∆=⨯=，
即ABN ∆的面积为27
2
. 【点睛】
本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式
20．如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，
AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.
（1）证明：DF //平面BCE.
（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）证明见解析（2）7
25
- 【解析】 【分析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF ，然后根据勾股定理计算可得BF ＝DE ，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF 的一个法向量为n r ，平面CDF 的法向量为m r
，然后利用向量的夹
角公式以及平方关系，可得结果. 【详解】
（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ， 因为AD ＝4，AE ＝5，DE ＝3，同理BF ＝3， 又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， 所以DE//BF ，又BF ＝DE ， 所以平行四边形BEDF ，故DF//BE ， 因为BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE 所以DF//平面BCE ；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （4，0，0）， C （0，4，0），F （4，3，﹣3），
()()0,4,0,4,3,3DC DF ==-u u u r u u u r
，
设平面CDF 的法向量为m x y z =r
（，，），
由40
4330
m DC y m DF x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩u u u v r u u u v r ，令x ＝3，得()3,0,4m =u r ，
易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =r
，
所以3
5
m n =
r r
cos ＜，＞， 故2
7cos 22cos 125
θθ=-=-. 【点睛】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.
21．为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.
订单：（单位：万件）
[)3,5 [)5,7 [)7,9 [)9,11
（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.
（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从
正态分布2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表），σ的值已求出，
约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X 为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X 的数学期望；
②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
附：①参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
②若2
(,)Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元. 【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算2K 的观测值，即可结合临界值作出判断.
（2）①先根据所给数据求得样本平均值x ，根据所给今年3月订单数区间，并由x 及σ求得
2 4.88μσ-=，15.8μσ+=.结合正态分布曲线性质可求得(4.8815.8)P Z <<，再由二项分布的数学
期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有[)3,5和[
)5,7两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解. 【详解】
（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为()1000.10.050.040.01240⨯+++⨯=， 对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为202010252+++=. 由以上数据完善列联表如下图，
且2K
的观测值为
2200(40486052) 2.899 2.70610010092108
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. （2）①样本平均数
40.0460.0680.10100.10120.30140.20160.10180.08200.0212.16
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=212.162 3.64 4.88μσ∴-=-⨯=，
12.16 3.6415.8μσ+=+=
故(4.8815.8)(2)P Z P Z μσμσ<<=-<<+
=
11
(22)()22P Z P Z μσμσμσμσ-<≤++-<≤+ =1
(0.68260.9544)0.81852
+=， ~(6,0.8185)X B ∴，
X 的数学期望()60.8185 4.911E x =⨯=，
②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间[
)35，内的有2
100405
⨯=（个），
每月订单数在区间[]67，内的有3100605
⨯=（个）， 若不开展营销活动，则一个月的利润为404560652600⨯⨯+⨯⨯=（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为()1009522700⨯⨯-=（万元），
这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算2K 的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.
22．在平面四边形ACBD (图①)中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2AB =，∠30BAD =︒，∠45BAC =︒，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ABD '-，且使C D '=2.
（1）求证：平面C AB '⊥平面DAB ；
（2）求二面角A C D B -'-的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）10535
-
【解析】
【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接,O C O D '，证得D C O O '⊥，从而证得C′O ⊥平面ABD ，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面C AB '⊥平面DAB ；
（2）以O 为原点，AB ，OC 所在的直线为y 轴，z 轴，建立的空间直角坐标系，求得平面AC D '和平面BC D
'的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
(1)取AB 的中点O ，连接C O '，DO ，
在Rt △AC B '和Rt △ADB 中，AB=2，则C O '=DO=1，
又2 ，所以222C O DO C D ''+=，即C O '⊥OD ，
又C O '⊥AB ，且AB∩OD=O ，,AB OD ⊂平面ABD ，所以C O '⊥平面ABD ，
又C′O ⊂平面C AB '，所以平面C AB '⊥平面DAB
（2）以O 为原点，AB ，OC 所在的直线为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)， 31D ,,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以(0,1,1)AC
'=u u u u r ，(0,1,1)BC '=-u u u u r ，31,,12C D '⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面AC D '的法向量为1n =(111,,x y z )，
则11i n AC n C D -⎧⊥⎨⊥'⎩， 即1100n AC n C D ⋅=⎧⎨⋅=''⎩，代入坐标得1111103102
2y z x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令11z =，得11y =-，13x =，所以1(3,1,1)n =-，
设平面BC D '的法向量为2n =（222,,x y z ），
则22i n BC n C D ⎧⊥⎨⊥'⎩， 即2200n BC n C D ⋅=⎧⎨⋅=''⎩， 代入坐标得2222203102
2y z x y z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令21z =，得21y =，233x =，所以23,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以1233(1)1111053cos ,}1731111533
n n ⨯
+-⨯+⨯〈===++⋅++⋅， 所以二面角A-C′D -B 的余弦值为105-
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
23．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；
（Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．
（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为
2121，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；27；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为
2121
. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O
为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，
OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121
，设EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】
（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，
ABC ∆Q 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， //EF MP =
∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/Q 平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，
//EM ∴平面ACF ．
（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，
Q 在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，
//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，
FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，
以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0B ，1，0)
，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)，
BC =u u u r 1-，0)，(0BE =u u u r ，0，1)，(0BF =u u u r ，1-，1)，
设平面BCE 的法向量(n x =r ，y ，)z ，
则·0·
0n BC y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩u u u v r u u u v r ，取1x =，得(1n =r
，0)， 设平面BCF 的法向量(m a =r ，b ，)c ，
则·0·
0m BC b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u v r u u u v r ，取1a =
，得m =r ， 设二面角E BC F --的平面角为θ，
则||cos ||||m n m n θ==r r g r r g ． ∴二面角E BC F --
． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF
所成的角正弦值为21
，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)
，(CN =u u u r 1t -，1)，平面BCF
的法向量m =r ，
|||cos ,|||||CN m CN m CN m ∴<>===u u u r r u u u r g r u u u r r g ，
解得12
t =-， ∴线段EF 上是存在一点N
，||1EN =CN 与平面BCF
所成的角正弦值为21
．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。