广东专用2024版高考数学大一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式1.4一元二次不等式与几类重要不
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【点拨】在给定区间上的恒成立，常可用分离参数的方法转化为函数值域问题，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中： 恒成立 </m> ； 恒成立 </m> .
变式7 若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是__________；若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是_ ________.
解： 等价于 或 ，即 或 .对于 ，
（方法一）零点分段法，当 时， ;当 时， ,无解；当 时， .综上， 的解集为 .（方法二）利用几何意义，即借助数轴及绝对值定义求解.故填 ; .
【点拨】① ， 或 .②解绝对值不等式的关键在于去绝对值符号，常用方法有：零点分段法、平方法、定义法等.
A. B. C. D.
解:由 ，得 ，又 表示不大于 的最大整数，所以 .故选C.
√
（2） 已知不等式 Biblioteka 的解集是 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
√
解：因为不等式 的解集为 ，所以 即 所以不等式 变形得 ，即 ，解得 ，则 的解集为 .故选A.
×
（2） 若二次不等式 的解集为 ,则必有 . ( )
√
（3） 不等式 恒成立，则 且 .( )
×
（4） 的解集是 .( )
×
（5） 的解集是 .( )
×
2.（2023届湖湘名校高三联考）设集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4 一元二次不等式（与几类重要不等式）的解法
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
解：原不等式可化为 ，等价于 或 解得 ,或 ，即 .故填 .
【点拨】解无理不等式的关键在于将其转化为有理不等式（组）求解.
变式4 不等式 的解集是______.
解：由题意得 解得 .故填 .
命题角度4 含绝对值不等式的解法
例5 不等式 的解集为___________________; 的解集为_ __________________.
A. B. C. D.
解：根据题意，要使附加税不少于128万元，则 ，整理得 ，解得 .所以 的取值范围是 .故选A.
√
考点一 一元二次不等式的解法
例1 （1） 设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解：因为 , ,所以 .故选B.
变式2 （2023年辽宁名校联考）不等式 的解集为_______________.
解：由 得， ，整理，得 ， ，解得 ,又因为 ，所以解集为 .故填 .
命题角度2 高次不等式的解法
例3 不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：原不等式可化为 ,即 ,等价于 .
解：当 时， ，当 时， ，而 在 上单调递减，所以 .由题可得 对于 恒成立，因为 的图象开口向上，所以只需 解得 .故填 ； .
命题角度3 给定参数范围的恒成立
例8 对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式6 若函数 的图象恒在直线 上方，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：因为函数 的图象恒在直线 上方，则 ， 成立，即 恒成立，当 时， 恒成立，则 可以为0.当 时，必有 ，且 ，解得 .综上得 .故选B.
√
命题角度2 在给定区间的恒成立
3.三个“二次”的对应关系
没有实数根
___________________
_ ___________
___
_______________
___
___
续表
【常用结论】
4.一元二次不等式恒成立
（1） 恒成立 注意：若 ,则恒成立的充要条件为 , .
（2） 恒成立 注意：若 ,则恒成立的充要条件为 , .
5.单、双变量恒成立、有解、无解的转化
（1）单变量①对任意的 ， 恒成立 fmax(x)；若存在 ， 有解fmin(x)；若对任意 ， 无解 fmin(x).②对任意的 ， 恒成立 fmin(x)；若存在 ， 有解 fmax(x)；若对任意 ， 无解fmax(x).
A. B. C. D.
解：原不等式可化为 ，即 .当 时，原不等式可化简为 ，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集由 和 的大小决定，当 时， ;当 时， 当<m>时</m> , <m>;当</m>；;；；当<m>时</m> , <m>;当</m>；;；.
所以不等式的解集为：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .
变式3 设 ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解： 且 ,即 ，即 且 ,由穿根法得解集为 .而 且 ,即 或 .故选A.
√
命题角度3 无理不等式的解法
例4 不等式 的解集是_________.
【点拨】①解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解，常需要分类讨论，分类标准有：二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.
变式1.（1） 对于实数 ，规定 表示不大于 的最大整数，那么使不等式 成立的 的取值范围是( )
√
（2） （2023届哈尔滨高三质检）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：因为不等式 的解集为 ，故 ，且 与 为方程 的两根，故 解得 故不等式 ，即 ，解得 或 .故选D.
√
（3） 解关于 的不等式 .
解：设 ，由 在 上恒成立，得 解得 所以 或 ，所以 的取值范围是 .故选B.
√
【点拨】给定参数范围的恒成立，常采用变更主元的方法,转化为一次函数 在 上恒成立问题：若 恒成立 即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零；同理，若 恒成立
考点二 其他几类重要不等式的解法
命题角度1 分式不等式的解法
例2 不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：由 得 ,即 ,解得 .故选B.
√
【点拨】分式不等式解法:①化分式不等式为标准型.（方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式.）②将分式不等式转化为整式不等式求解. ； ；
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
【教材梳理】
1.一元二次不等式
名称
一元二次不等式
定义
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的__________是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式
最高次数
2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数 的零点.
变式8 已知集合 ，对于任意 ，使不等式 恒成立的 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：由 ，得 ，所以 .不等式 对 恒成立，即不等式 对 恒成立，即不等式 对 恒成立，
√
所以只需 或 对 恒成立，所以只需 或 对 恒成立.因为 ，所以 或 .另解：构造 ，由 且 得, 或 .
例7 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：（方法一）当 时， .故原不等式变为 ,当 时， ，从而 .
√
（方法二）若对于任意的 ， 恒成立,即 在 上恒成立,令 ，则对称轴为 .当 时， 恒成立;当 时， 的图象开口向下且在 上单调递减，所以在 上, ，得 ,故有 ；当 时， 的图象开口向上且在 上单调递增，所以在 上, ，所以 .综上，实数 的取值范围为 .故选A.
故选B.
【巩固强化】
1.已知两个集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由题意得 ， ，故 .故选B.
√
2.使不等式 成立的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解： ，解得 或 .故选A.
√
3.已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为( )
解：由题得 则 ， ， .故选 C.
3.当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：由题意，当 时，不等式 恒成立，故 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .故选A.
√
√
4.（教材题改编）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为 （即每销售100元征税 元），若年销售量为 万件，要使附加税不少于128万元，则 的取值范围是( )
如图,由穿根法得 或 ,所以原不等式的解集为 .故选C.
√
【点拨】解高次不等式的基本思路：先因式分解，再用穿根法.注意因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.穿根法的一般步骤为：第一步，在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根标为实点，等号不成立的根标为虚点;第二步，自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）；第三步，数轴上方曲线对应区域使“＞”成立，下方曲线对应区域使“＜”成立.
命题角度1 在 上的恒成立
例6 对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解：依题意，当 ，即 时， 恒成立，满足题意；当 时，要使不等式恒成立，需 即 解得 .综上可得，实数 的取值范围为 .故选A.
【点拨】在 上的恒成立，结合本节常用结论处理即可，注意讨论二次项系数.
变式5 不等式 的解集为________;不等式 的解集为______.
解： ,解得 .对于 ,（方法一）当 时， ，得 ；当 时， ，得 .故 的解集为 .（方法二） ,得 .（方法三）显然 ,两边平方得 .故填 ; .
考点三 与一元二次不等式有关的恒成立问题
（3） 已知不等式 的解集为 .
（Ⅰ） 求 ， ；
解：因为不等式 的解集为 ，所以方程 的根为 ， ，所以 解得
（Ⅱ） 解不等式 .
解：由（Ⅰ）知 所以原不等式可化为 ，即 .因为原不等式对应的方程 的根为 ， ，所以原不等式的解集由 和 的大小决定.当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ;当 时，原不等式的解集为 .
（2）双变量①对任意的 ，不等式 恒成立，需 .②存在 ，不等式 成立，只需 ③对任意 ， ，不等式 恒成立，只需 .④存在 ， ，不等式 成立，只需 .⑤对任意 ，存在 ，不等式 成立，只需 .
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 的解集为 .( )
变式7 若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是__________；若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是_ ________.
解： 等价于 或 ，即 或 .对于 ，
（方法一）零点分段法，当 时， ;当 时， ,无解；当 时， .综上， 的解集为 .（方法二）利用几何意义，即借助数轴及绝对值定义求解.故填 ; .
【点拨】① ， 或 .②解绝对值不等式的关键在于去绝对值符号，常用方法有：零点分段法、平方法、定义法等.
A. B. C. D.
解:由 ，得 ，又 表示不大于 的最大整数，所以 .故选C.
√
（2） 已知不等式 Biblioteka 的解集是 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
√
解：因为不等式 的解集为 ，所以 即 所以不等式 变形得 ，即 ，解得 ，则 的解集为 .故选A.
×
（2） 若二次不等式 的解集为 ,则必有 . ( )
√
（3） 不等式 恒成立，则 且 .( )
×
（4） 的解集是 .( )
×
（5） 的解集是 .( )
×
2.（2023届湖湘名校高三联考）设集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4 一元二次不等式（与几类重要不等式）的解法
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
解：原不等式可化为 ，等价于 或 解得 ,或 ，即 .故填 .
【点拨】解无理不等式的关键在于将其转化为有理不等式（组）求解.
变式4 不等式 的解集是______.
解：由题意得 解得 .故填 .
命题角度4 含绝对值不等式的解法
例5 不等式 的解集为___________________; 的解集为_ __________________.
A. B. C. D.
解：根据题意，要使附加税不少于128万元，则 ，整理得 ，解得 .所以 的取值范围是 .故选A.
√
考点一 一元二次不等式的解法
例1 （1） 设集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解：因为 , ,所以 .故选B.
变式2 （2023年辽宁名校联考）不等式 的解集为_______________.
解：由 得， ，整理，得 ， ，解得 ,又因为 ，所以解集为 .故填 .
命题角度2 高次不等式的解法
例3 不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：原不等式可化为 ,即 ,等价于 .
解：当 时， ，当 时， ，而 在 上单调递减，所以 .由题可得 对于 恒成立，因为 的图象开口向上，所以只需 解得 .故填 ； .
命题角度3 给定参数范围的恒成立
例8 对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式6 若函数 的图象恒在直线 上方，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：因为函数 的图象恒在直线 上方，则 ， 成立，即 恒成立，当 时， 恒成立，则 可以为0.当 时，必有 ，且 ，解得 .综上得 .故选B.
√
命题角度2 在给定区间的恒成立
3.三个“二次”的对应关系
没有实数根
___________________
_ ___________
___
_______________
___
___
续表
【常用结论】
4.一元二次不等式恒成立
（1） 恒成立 注意：若 ,则恒成立的充要条件为 , .
（2） 恒成立 注意：若 ,则恒成立的充要条件为 , .
5.单、双变量恒成立、有解、无解的转化
（1）单变量①对任意的 ， 恒成立 fmax(x)；若存在 ， 有解fmin(x)；若对任意 ， 无解 fmin(x).②对任意的 ， 恒成立 fmin(x)；若存在 ， 有解 fmax(x)；若对任意 ， 无解fmax(x).
A. B. C. D.
解：原不等式可化为 ，即 .当 时，原不等式可化简为 ，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集由 和 的大小决定，当 时， ;当 时， 当<m>时</m> , <m>;当</m>；;；；当<m>时</m> , <m>;当</m>；;；.
所以不等式的解集为：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .
变式3 设 ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解： 且 ,即 ，即 且 ,由穿根法得解集为 .而 且 ,即 或 .故选A.
√
命题角度3 无理不等式的解法
例4 不等式 的解集是_________.
【点拨】①解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解，常需要分类讨论，分类标准有：二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.
变式1.（1） 对于实数 ，规定 表示不大于 的最大整数，那么使不等式 成立的 的取值范围是( )
√
（2） （2023届哈尔滨高三质检）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：因为不等式 的解集为 ，故 ，且 与 为方程 的两根，故 解得 故不等式 ，即 ，解得 或 .故选D.
√
（3） 解关于 的不等式 .
解：设 ，由 在 上恒成立，得 解得 所以 或 ，所以 的取值范围是 .故选B.
√
【点拨】给定参数范围的恒成立，常采用变更主元的方法,转化为一次函数 在 上恒成立问题：若 恒成立 即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零；同理，若 恒成立
考点二 其他几类重要不等式的解法
命题角度1 分式不等式的解法
例2 不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解：由 得 ,即 ,解得 .故选B.
√
【点拨】分式不等式解法:①化分式不等式为标准型.（方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式.）②将分式不等式转化为整式不等式求解. ； ；
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
【教材梳理】
1.一元二次不等式
名称
一元二次不等式
定义
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的__________是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式
最高次数
2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数 的零点.
变式8 已知集合 ，对于任意 ，使不等式 恒成立的 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：由 ，得 ，所以 .不等式 对 恒成立，即不等式 对 恒成立，即不等式 对 恒成立，
√
所以只需 或 对 恒成立，所以只需 或 对 恒成立.因为 ，所以 或 .另解：构造 ，由 且 得, 或 .
例7 设函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：（方法一）当 时， .故原不等式变为 ,当 时， ，从而 .
√
（方法二）若对于任意的 ， 恒成立,即 在 上恒成立,令 ，则对称轴为 .当 时， 恒成立;当 时， 的图象开口向下且在 上单调递减，所以在 上, ，得 ,故有 ；当 时， 的图象开口向上且在 上单调递增，所以在 上, ，所以 .综上，实数 的取值范围为 .故选A.
故选B.
【巩固强化】
1.已知两个集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由题意得 ， ，故 .故选B.
√
2.使不等式 成立的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解： ，解得 或 .故选A.
√
3.已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为( )
解：由题得 则 ， ， .故选 C.
3.当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：由题意，当 时，不等式 恒成立，故 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .故选A.
√
√
4.（教材题改编）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为 （即每销售100元征税 元），若年销售量为 万件，要使附加税不少于128万元，则 的取值范围是( )
如图,由穿根法得 或 ,所以原不等式的解集为 .故选C.
√
【点拨】解高次不等式的基本思路：先因式分解，再用穿根法.注意因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.穿根法的一般步骤为：第一步，在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根标为实点，等号不成立的根标为虚点;第二步，自右向左、自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）；第三步，数轴上方曲线对应区域使“＞”成立，下方曲线对应区域使“＜”成立.
命题角度1 在 上的恒成立
例6 对 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解：依题意，当 ，即 时， 恒成立，满足题意；当 时，要使不等式恒成立，需 即 解得 .综上可得，实数 的取值范围为 .故选A.
【点拨】在 上的恒成立，结合本节常用结论处理即可，注意讨论二次项系数.
变式5 不等式 的解集为________;不等式 的解集为______.
解： ,解得 .对于 ,（方法一）当 时， ，得 ；当 时， ，得 .故 的解集为 .（方法二） ,得 .（方法三）显然 ,两边平方得 .故填 ; .
考点三 与一元二次不等式有关的恒成立问题
（3） 已知不等式 的解集为 .
（Ⅰ） 求 ， ；
解：因为不等式 的解集为 ，所以方程 的根为 ， ，所以 解得
（Ⅱ） 解不等式 .
解：由（Ⅰ）知 所以原不等式可化为 ，即 .因为原不等式对应的方程 的根为 ， ，所以原不等式的解集由 和 的大小决定.当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ;当 时，原不等式的解集为 .
（2）双变量①对任意的 ，不等式 恒成立，需 .②存在 ，不等式 成立，只需 ③对任意 ， ，不等式 恒成立，只需 .④存在 ， ，不等式 成立，只需 .⑤对任意 ，存在 ，不等式 成立，只需 .
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 的解集为 .( )