北师大版初中数学九年级上册期中测试题(2018-2019学年湖北省黄冈市

2018-2019学年湖北省黄冈市
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α
3．（3分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC ＝40°，则∠D的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5根的情况是（）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
5．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若
+＝4m，则m的值是（）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在
6．（3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
8．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A 与点B关于原点O对称，则ab＝．
11．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c有最小值﹣1，则一元二次方程x2+bx+c＝0的根的情况是．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为．
13．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是．
15．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元．
16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为cm．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程（请选择合适的方法）：
（1）2x（x﹣5）+4＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝12．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．
19．（9分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．
20．（8分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
21．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
22．（8分）“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．
（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；
（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？23．（12分）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜3）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，△PDE的面
积最大，并求出这个最大值；
②当t＝2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请你
求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年湖北省黄冈市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（3分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC ＝40°，则∠D的度数为（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠D＝，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5根的情况是（）
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3＝2x﹣5，
则x2﹣4x+2＝0，
（x﹣2）2＝2，
解得：x1＝2+＞3，x2＝2﹣，
故有两个正根，且有一根大于3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若
+＝4m，则m的值是（）
A．2B．﹣1C．2或﹣1D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合+＝4m，即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵+＝4m，
∴＝4m，
∴m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．
6．（3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数
表达式h＝﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）
A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B．点火后24s火箭落于地面
C．点火后10s的升空高度为139m
D．火箭升空的最大高度为145m
【分析】分别求出t＝9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．
【解答】解：A、当t＝9时，h＝136；当t＝13时，h＝144；所以点火后9s和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t＝24时h＝1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；
C、当t＝10时h＝141m，此选项错误；
D、由h＝﹣t2+24t+1＝﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE＝AO+OE即可得出AE的长度．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝3cm，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长
度是解题的关键．
8．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为2021．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2018＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A 与点B关于原点O对称，则ab＝12．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O 对称，
∴a＝﹣4，b＝﹣3，
则ab＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．11．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c有最小值﹣1，则一元二次方程x2+bx+c＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．
【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c有最小值﹣1，可得出＝﹣1，再根据根的判别式b2﹣4ac判断一元二次方程x2+bx+c＝0的根的情况即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c有最小值﹣1，
∴＝﹣1，
∵a＝1，
∴4c﹣b2＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝b2﹣4c＝4＞0，
∴一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
故答案为有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，函数有最小值﹣1时＝﹣1．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为3．
【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．
【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，
∵DE＝EF，
∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝3，
则AB＝AE＝3，
故答案为：3
【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．13．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为2．
【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，则OC＝3，由于OC为△ABE的中位线，则BE＝2OC＝6，再根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．
14．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为
，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．
所以方程ax2＝bx+c的解是x1＝﹣2，x2＝1
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．15．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为25元．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【解答】解：设利润为w元，
则w＝（x﹣20）（30﹣x）＝﹣（x﹣25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则Q点运动的路径为2 cm．
【分析】当点P与C重合时，所构成的等边三角形APQ，当P与B重合时，所构成的等边三角形为△APQ′，线段QQ′的长就是Q点运动的路径，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，
∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，
∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，
∵∠BAC＝90°，
∴∠QAQ′＝90°，
由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，
∴Q点运动的路径为2cm；
故答案为：2．
【点评】本题考查了动点运动的轨迹、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，找出Q点运动的路径是本题的关键，根据等边三角形和等腰直角三角形的特殊角求出△AQQ′是等腰直角三角形是突破口．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程（请选择合适的方法）：
（1）2x（x﹣5）+4＝0；
（2）（x﹣1）（x+3）＝12．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣5）+4＝0，
∴2x2﹣10x＝﹣4，
∴x2﹣5x＝﹣2，
∴x2﹣5x+＝，
∴（x﹣）2＝，
∴x＝；
（2）∵（x﹣1）（x+3）＝12，
∴x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．
【分析】（1）由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，再结合完全平方公式的变形，代入求解即可．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2k+1）2﹣4k2＞0，解得k＞﹣；
（2）当k＝1时，原方程为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣3）2﹣2＝7．
【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．
19．（9分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．
【分析】（1）将A、B、C分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，顺次连接即可得出△A1B1C1，即可得出写出C1点的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A2B2C2，即可写出C2点的坐标；
（3）根据关于原点对称的性质，找到各点的对应点，顺次连接可得出△A3B3C3，即可写出C3点的坐标．
【解答】解：（1）如图1，C1（1，﹣2）
（2）如图2，C2（﹣1，1）
（3）如图3，B3（﹣3，﹣4）
【点评】本题考查了旋转作图及平移作图的知识，解答此类题目的关键是就是寻找对应点，要求掌握旋转三要素、平移的特点．
20．（8分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理，得到＝，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E＝∠O，据此即可求出∠DEB的度数；
（2）由垂径定理可知，AB＝2AC，在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理求AC 即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°；
（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC＝BC，即AB＝2AC，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，
则AB＝2AC＝8．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆周角定理．关键是由垂径定理得出相等的弧，相等的线段，由垂直关系得出直角三角形，运用勾股定理．
21．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB ＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，
∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
由（1）得：AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2＝2AB2，即BD＝2，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．
【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
22．（8分）“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．
（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；
（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？
【分析】（1）设2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x，根据2015年及2017年中国在线教育市场产值，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2018年中国在线教育市场产值＝2017年中国在线教育市场产值×（1+增长率），列式计算即可得出结论．
【解答】解：（1）设2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x，根据题意得：1600（1+x）2＝1600+900，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）．
答：2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率为25%．
（2）（1600+900）×（1+25%）＝3125（亿元）．
答：预计2018年中国在线教育市场产值约为3125亿元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
23．（12分）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+160；
（2）由题意可得，w＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200，
即w与x之间的函数表达式是w＝﹣2x2+200x﹣3200；
（3）∵w＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60，
∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大；
当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；
当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1800元
即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
24．（12分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜3）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，△PDE的面
积最大，并求出这个最大值；
②当t＝2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，找出当时间为t秒时，点D、E的坐标，利用平行线的性质结合三角形的面积公式，即可找出S△PDE＝﹣t2+3t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
②找出t＝2时，点P、E的坐标，结合图形可知：若△EFP为直角三角形只有∠PEF＝90°和∠EPF＝90°两种情况，设F的坐标为（5，q），根据点P、E的坐标可找出EF2、PE2、FP2的值，利用勾股定理即可得出关于q的一元一次方程，解之即可得出q的值，进而即可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（4，0）、B（6，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3．
（2）①设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（6，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
当y＝t时，有﹣x+3＝t，
解得：x＝6﹣2t，
∴点D的坐标为（6﹣2t，t）．
∵ED∥x轴，
∴S△PDE＝S△ODE＝（6﹣2t）•t＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+．
∵﹣1＜0，
∴当t＝时，S△PDE取最大值，最大值为．
②存在点F，使△EFP为直角三角形，理由如下：
当t＝2时，点P的坐标为（4，0），点E的坐标为（0，2）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝5．
∵点F在直线x＝5上，
∴∠EFP不可能为90°，
∴只有∠PEF＝90°和∠EPF＝90°两种情况．
设F的坐标为（5，q），
∵P（4，0），E（0，2），
∴FP2＝（5﹣4）2+（q﹣0）2＝q2+1，EF2＝（5﹣0）2+（q﹣2）2＝q2﹣4q+29，PE2＝（4﹣0）2+（0﹣2）2＝20．
当∠PEF＝90°时，EF2+PE2＝FP2，即q2﹣4q+29+20＝q2+1，
解得：q＝12，
此时点F的坐标为（5，12）；
当∠EPF＝90°时，PE2+FP2＝EF2，即20+q2+1＝q2﹣4q+29，
解得：q＝2，
此时点F的坐标为（5，2）．
综上所述：F的坐标为（5，12）或（5，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、平行线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）①根据平行线的性质结合三角形的面积，找出S△PDE关于t的函数解析式；②分∠PEF＝90°和∠EPF＝90°两种情况，利用勾股定理找出关于q的方程．。