第4章：多自由度系统的振动

k3 x2
F2 (t)
c3 x2
平衡条件: F1(t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 m1x1
F2 (t) k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k3x2 c3x2 m2x2 (4.1.1)
矩阵形式:
m1
0
0 m2
x1 x2
k12
k21
k22 p2m2
m1m2
2 1
p2
2 2
p2
解出：
X1
(k22
m1m2
(
2 1
p2m2 )F1
p2
)
(
2 2
p2)
X2
k21F1
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.31)
频响函数：
H11( p)
X1 F1
(k22 p2m2 )
m1m2
(
2 1
p2
)
(
2 2
p2)
(4.1.32)
齐次方程:
k11 2m11 k21 2m21
k12 k22
2m12 2m22
A1 A2
0 0
(4.1.9)
非零解条件 :
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k22 2m22
0
频率方程:
第4章 多自由度系统的振动
a4 b2 c 0
(4.1.10)
a m11m22 m122 , b k11m22 k22m11 2k12m12 , c k11k22 k122
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
A12 A22
sin(2t sin(2t
2 ) 2 )
(4.1.14)
令：
x(t) xx12((tt))
φ φ1
φ2
A11 A21
A12 A22
q(t
)
sin( sin(
1t 2t
12))
矩阵形式： x(t) φ q(t) (4.1.16)
H2F1
m1m2
(
2 1
p2)
(
2 2
p2)
第4章 多自由度系统的振动
H11
H 21
反共振点
1
2
1
2
k2 / m2
p
k2 / m2
p
幅频响应曲线
全解 =齐次解 + 特解
xx12((tt))
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
A12 A22
k2 k2
xx12
F1e j 0
p
t
稳态解 :
( 4.1.37)
x1(t) X1 e jp t , x2 (t) X 2 e jp t (4.1.38)
F1—复激振力的力幅 ； X1 , X2—响应的复幅值 。 式(4.1.38)代入(4.1.37)，得
k1 k2 p2m1 j(c1 c2) p
解：
m11 m22 m
m12 m21 0 k11 k22 2k
F1 (t )
F2 (t)
k1
x1(t) k2
x2 (t) k3
m1
m2
c1
c2
c3
k12 k21 k
(a)
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
特征方程：
第4章 多自由度系统的振动
2k 2m
k
k
2k 2m
0
m24 4km2 3k 2 0
频率方程关于 2的n个根，即系统的固有频率。
第4章 多自由度系统的振动
性质1.
动能T正定，即M正定，且M和K对称，则
2 i
必为实根；
证明：设满足方程(4.2.6)的某个特征对= 2 和A为复数，则有
K M A 0
ATK A ATM A 0
K M A 0
AT K A AT M A 0
第4章 多自由度系统的振动
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统；
能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。
研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
动能：
sin(2t sin(2t
2 ) 2 )
X1 sin X2 sin
pt pt
四个待定常数仍由初始条件(4.1.17)确定！
(4.1.33)
第4章 多自由度系统的振动
4.1.3 双自由度系统的有阻尼受迫振动 动力消振器
动力消振器模型 无阻尼情况：
m2
x2 (t)
m1
0
0 m2
x1 x2
第4章 多自由度系统的振动
4.1.2 双自由度系统的无阻尼受迫振动
运动方程:
M x K x F(t) (4.1.26)
图示系统，运动方程为： mm12xx12kk1211xx11kk122x2x22F01 sin pt
设解: x1F X1 sin pt x2F X 2 sin pt (4.1.28)
)p m2
2
)
第4章 多自由度系统的振动 单自由度系统
X1
双自由度系统
1
2
p
图4.1.3 单自由度系统的幅频曲线和动力消振器响应谱
结论 :
① 阻尼的存在，主质量的振幅不可能抑制到零，但可控制在一个较小的范围； ② 原系统只有一个固有频率和共振峰；现在有两个固有频率和两个共振峰；
③ 起消振作用的频率范围很窄，在主系统的固有频率ω附近。
x1 x2
T
k k
k k
xx12
x1 (t )
k
m
x2 (t)
2m
图4.1.2 半正定的双自由度系统
m
0
0 2m
x1 x2
k k
k k
x1 x2
0 0
k m 2 k
0
k k 2m 2
2m24 3m k2 0
1
0 ,
φ1
1 1
,
1
3k 2m
,
φ2
1 0.5
2
A22 A12
k11
2 2
m1
1
k12
2 2
m1
2
k21 22m21 k22 22m22
第4章 多自由度系统的振动
固有模态：φ1
A11 A21
A11
1
1
,
φ2
A12 A22
A12
1
2
(4.1.13)
叠加法—求多自由度系统的自由振动响应的通用方法
xx12((tt))
M和K为对称矩阵 ATK A ATM A 0
以上二式相减 : AT M A 0 (4.2.11)
M正定 : AT M A 0
证毕 #
性质2. 若势能V也是正定，即K正定，即系统具有足够
的约束，不会发生刚体位移
，则
2 i
必为正的实根；
证略。
第4章 多自由度系统的振动
设系统的 n 个特征值互异: 1, 2 ,, i ,, n
第4章 多自由度系统的振动
4.1.2 双自由度系统的无阻尼自由振动
运动方程:
M x K x 0
(4.1.6)
一般形式:
mm1211xx11
m12x2 m22x2
k11x1 k12x2 0 k21x1 k22x2 0
(4.1.7)
设解:
xx12
A1 A2
s
in(
t
)
(4.1.8)
F1(t) F1 sin pt
x1 (t )
x2 (t)
m1
m2
k1
k2
k3
两个自由度系统的受迫振动
k11
p k21
2m1
k22
k12 p
2m2
X1 X2
0F1
(4.1.29)
第4章 多自由度系统的振动
设系统的固有频率为ω1和ω 2，系数矩阵可表示为：
D k11 p2m1
F1 (t )
F2 (t)
k1
x1(t) k2
x2 (t) k3
m1
m2
c1
c2
c3
(a)
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
第4章 多自由度系统的振动
k1 x1
c1 x1
k2 (x2 x1) c2 (x2 x1)
m1 x1
m1
m2 x2
m2
(b)
k2 (x2 x1)
F1 (t )
c2 (x2 x1)
图4.1.4 动力消振器
系数行列式： (k1 k2 m1 p2 ) (k2 m1 p2 ) k22
动力消振原理： k2 / m2 p时， X1 0
有阻尼情况：
第4章 多自由度系统的振动
m 1 0
0 m
2
xx12
c1 c2 c2
c2 c2
x1 x2
k1 k2 k2
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第4章
多自由度系统的振动
第4章 多自由度系统的振动
选择动力自由度的原则:
抓住要点，力求简单！ 本章重点：
多自由度系统的动力特性，振型的概念！
§4-1 双自由度系统的振动
最简单的多自由度系统 研究多自由度系统振动的基础 工程实例
4.1.1 运动方程的建立
k2 jc2 p
k2
k2 jc2 p2m2
p jc2
p
X1 X2
F01
第4章 多自由度系统的振动
X X
1 2
[k1 [k1
k2 k2
p 2 m1 p 2 m1
F1(k2 p2m2 jc2 p) j(c1 c2 ) p](k2 p2m2
F1(k2 jc2 p) j(c1 c2 ) p](k2 p2m2
—无阻尼固有频率
—初相角
齐次方程组 ： K 2M A 0 (4.2.6)
特点： ① 无法确定A中的所有元素，但可确定其相对比值；
② A中的 n-1个未知元素和 , 可由方程(4.2.6)唯一确定。 特征值问题： 为特征值，A为特征矢量。 非零解条件 —频率方程： K 2 M 0 (4.2.7)
1 k / m 2 3k / m
1
A11 A21
2k
k
2 1
m
1,
2
A12 A22
2k
k
22m
1
φ1
1 1
,
φ
2
1 1
第4章 多自由度系统的振动
【例4.1.2】试求图示系统的固有频率与振型。
解:
T
1 2
x1 T
x2
m 0
0 x1
2m
x2
V
1 2
k ( x2
x1 ) 2
1 2
jc2 jc2
p) p)
(k2 (k2
jc2 jc2
p)2 p)2
振幅 ： X1
k2 p2m2 2 p2c22
a2 b2
X2
k22 p2c22 a2 b2
a b
(k1 c1 p
p (k2
2 m1 )(k2 p2m2
p2m2 ) ) c2 p (k1
(m2 p
k2 c1c2 2m1 p2
T
1 2
x T M
x
势能：
V
1 2
xTK
x
拉格朗日广义函数
：
L
1 2
(
x T
M
x
xTK
x)
(4.2.2)
d dt
L x
L x
0
M x K x 0 (4.2.3)
第4章 多自由度系统的振动
4.2.2 固有频率和固有振型
自由振动解 ： x Asin( t ) (2.4.5)
x —位移矢量
A—振幅矢量
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k k2
2
k3
x1 x2
F1(t) F2 (t)
简记为:
第4章 多自由度系统的振动
M x C x K x F (t) (4.1.3)
M—质量矩阵， C—阻尼矩阵， K—刚度矩阵
用粘滞阻尼系统的拉格朗日方程来建立系统的运动方程:
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F1
sin 0
pt
F1 sin pt
k2 m1
c2
x1 (t )
稳态解：
k1
c1
x1(t) X1 sin pt , x2 (t) X 2 sin pt (4.1.35)
X1 F1(k2 m2 p2 ) / , X2 F1 k2 /
k11
m2
i 11
k21
m2
i 21
k31
m2
i 31
kn1
m2
i n1
k12
m2
i 12
k22
m2
i 22
k32
m2
i 32
kn2
m2
i n2
特征根—固有频率:
2
1
1, 2 2a
b
b2 4ac
(4.1.11)
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
1
A21 A11
k11 21m11 k12 21m12
k21 21m21 k22 21m22
2—第二阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： A11 A12 1 2
x1(0) x10 , x1(0) x10 四个初始条件： x2 (0) x20 , x2 (0) x20
可以 定解！
【例4.1.1】 图示双自由度系统， k1=k2= k3= k , m1=m2=m，求固有频率和固有振型。
矢量形式 :
d dt
L q
L q
R q
F
*
F * —除阻尼力以外的非保守力。
(4.1.4)
q
x
xx12((tt))
F *(t) F (t) FF12((tt))
L
T
V
1 2
x T M
x
1 2
xTK
x
,
R
1 2
x TC
x
(4.1.5)
代入式(4.1.4):
M x C x K x F *(t) F (t)
i
K
2 i
M
Ai
0
(4.2.12)
系数矩阵奇异，矩阵的秩= n－1。
计算A i 的具体过程 ：
① 任选 n－1个方程; ② 取A i 中某个元素为单位1，化为 n－1阶非齐次方程组; ③ 求解得A i ，作归一化处理得归一化振型 i 。
n 个特征对：
1, 2,, i,, n φ1, φ 2,, φi ,, φ n