河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考文数试题

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知全集R U =，集合{}
120|<<=x x A ，{}0log |3>=x x B ，则()=B C A U （ ） A ．{}1|>x x B ．{}0|>x x C ．{}10|<<x x D ．{}0|<x x 【答案】D
考点：集合的运算.
2.下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若012
=-x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则012
≠-x ” B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件
C ．若集合{}
044|2
=++=x kx x A 中只有一个元素，则1=k
D ．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝::p ⌝，均有012
≥++x x
【答案】C 【解析】
试题分析：命题“若012=-x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则012
≠-x ”，正确；
当1=x ，能得到0232=+-x x ，但0232
=+-x x ，得到1=x 或2=x ，故正确；当0
=k 时，方程0442=++x kx 只有一个根，故错误，对于命题R x p ∈∃:，使得012
<++x x ，则R x p ∈∀⌝::p ⌝，均有012
≥++x x ，正确，故答案为C.
考点：1、四种命题的关系；2、充分条件、必要条件.
3.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1
,1
,122x ax x x x f x ，若()[]a f f 40=，则实数a 等于（ ）
A ．9
B ．2
C ．21
D ．5
4
【答案】
B
考点：分段函数的应用.
4.已知9.0log 8.0=a ，9.0log 1.1=b ，9
.01.1=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】C 【解析】
试题分析：8.0log 9.0log 1log 8.08.08.0<<，因此10<<a ，1log 9.0log 1.11.1<，因此0<b ，
11.11.109.0=>，
1>c ，因此c a b <<，故答案为C.
考点：指数函数和对数函数性质.
5.已知数列{}n a 为等比数列，满足274=+a a ，892-=⋅a a ，则131a a +的值为（ ） A ．7 B ．17 C ．217- D ．17或2
17- 【答案】D 【解析】
试题分析： 274=+a a ，892-=⋅a a ，∴274=+a a ，874-=⋅a a ， 所以⎩⎨
⎧=-=4274a a 或⎩⎨⎧-==2
4
74a a
当⎩⎨⎧=-=4274a a 时，17131=+a a ；当⎩⎨⎧-==247
4a a ，217131-=+a a ，故答案为D.
考点：等比数列的性质.
6.在ABC ∆中，若点D 满足2=，则=（ ）
A ．
AB AC 3231+ B ．AC AB 3235- C ．AB AC 3132- D ．AB AC 3
1
32+ 【答案】D 【解析】
试题分析：由2=，得()
-=-2，因此+=23，因此
3
1
32+=
，故答案为D. 考点：平面向量的应用.
7.已知函数()1
1
2
2+++=x x x x f ，若()32=a f ，则()a f -（ ） A ．
32 B ．32- C ．34 D ．3
4
- 【答案】C
考点：偶函数的应用.
8.函数()1
93cos 3-⋅=x x x x f 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D 【解析】
试题分析：函数的定义域{}0|≠x x ，由于()1
93cos 3-⋅=x x x
x f ，
()()193cos 3--⋅=-∴--x x x x f x x x 913cos 3-=()x f -=，因此函数()1
93cos 3-⋅=x x x
x f 是奇函数，所以排除A ，
当x 从大于0的方向接近0时，0>y ，排除B ；当x 无限接近∞+时，y 接近于0，故选D. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的图象. 9.已知5
3
4sin =⎪⎭⎫
⎝
⎛
-πα，则()απ2sin +等于（ ） A ．25
7-
B ．257
C ．259
D ．2516
【答案】
A
考点：1、三角函数的倍角公式；2、三角函数的化简求值. 10.已知函数()2
3
ln 212
+-
=x x x f 在其定义域内的一个子区间()1,1+-a a 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-
23,21 B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛-45,43 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1
【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数()2
3
ln 212
+-
=x x x f 在区间()1,1+-a a 上不单调，所以 ()x
x x x x f 21
42122-=-='在区间()1,1+-a a 上有零点，
由()0='x f ，得21=x ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧+<<-≥-121
10
1a a a ，得231<≤a ，故答案为D. 考点：函数的单调性与导数的关系.
11.对任意实数a ，b 定义运算 “⊗”：⎩⎨
⎧<-≥-=⊗1
,1,b a a b a b b a ，设()()
()x x x f +⊗-=412
，
若函数()k x f y +=有三个零点，则k 的取值范围是（ ）
A ．[)1,2-
B ．[]1,0
C ．[)0,2-
D ．()1,2- 【答案】A 【解析】
试题分析：当--12x ()x +41≥时，3≥x 或1≤x ；当--12
x ()x +41<时，31<<x ，
()⎩⎨⎧<<-≤≥+=∴3
1,11
3,42
x x x x x x f 或，图象如图所示，若函数()k x f y +=有三个零点可转化为()x f y =与k y -=有三个不同的交点，由图可知12,21k k -<-≤∴-≤<，故答案为A.
考点：1、函数的零点；2、函数图象的应用.
12.设()x f 是定义在R 上的函数，其导函数为()x f '，若()()1<'-x f x f ，()20160=f ，则不等式()12015+⋅>x
e x
f （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．()()+∞∞-,00,
B ．()+∞,0
C ．()+∞,2015
D ．()()+∞∞-,20150, 【答案】B
考点：1、构造新函数；2、函数的单调性与导数的关系.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.求值：_____167sin 73sin 13cos 17sin 0000=+ . 【答案】
2
1 【解析】 试题分析：
=+0000167sin 73sin 13cos 17sin 000013sin 73sin 13cos 73cos +2
160cos 0=
=. 考点：两角差的余弦公式.
14.设函数()x f 在()+∞,0内可导，且()12
13++=x
x
e
x e f ，则()______1='f .
【答案】
2
7
考点：求导数值.
15.已知点()1,1-A ，()2,1B ，()1,2--C ，()4,3D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为_____.
【答案】
2
2
3. 【解析】
试题分析：()1,2=AB ，()5,5=CD ，向量AB 在CD 方向上的投影为
=
=
⋅θ
cos
2
2
3
2
5
15
=，故答案为
2
2
3
.
考点：1、向量的坐标运算；2、投影的求法.
16.若函数()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
>
+
=
1
,2
3
2
1
,
log
x
x
a
x
a
x
x
f
a
为R上的增函数，则实数a的取值范围是____. 【答案】6
3<
≤a.
【解析】
考点：分段函数的单调性.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知
n
S是等差数列{}n a的前n项和，且π8
6
=
S，
2
7
3a
a=．（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）设
n
n
a
b cos
=，
n
T是数列{}n b的前n项和，求2015
T的值．
【答案】（1）
6
3
π
π+
=
n
a
n
；（2）
2015
T
2
3
-
=.
考点：1、等差数列的基本运算；2、数列求和.
18.（本小题满分12分）设命题:P 函数()⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-=16lg 2
a x ax x f 的值域为R ；命题:q 不等式a x x <-93对一切R x ∈均成立．
（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）20≤≤a ；（2）4
1
0≤
≤a 或2>a .
②由⎪⎩
⎪
⎨⎧≥⨯->016410
a
a a ，得⎩⎨⎧≤≤->220a a ，20≤<∴a 因此所求实数a 的取值范围20≤≤a
（2）命题q 是真命题，不等式a x x <-93对一切R x ∈均成立，令x t 3=，2
t t y -=，0>t ，
当2
1
=
t ， 4
1
4121max
=-=y ，41>∴a
若命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，则q p ,一真一假
①若p 真q 假，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤41
2
0a a ，得410≤≤a ②若p 假q 真，则⎪⎩
⎪
⎨⎧>><41
2
0a a a 或，得2>a 综上，实数a 的取值范围4
1
0≤
≤a 或2>a . 考点：1、命题逻辑连结词；2、集合的运算.
19、（本小题满分12分）已知向量⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=43,sin x ，()1,cos -=x ．
（1）当//时，求x x 2sin cos 2
-的值；
（2）设函数()()
b b a x f ⋅+=2，已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、
c ，
若3=a ，2=b ，36sin =B ，求当30π≤≤x 时，()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=62cos 4πA x f x g 的取值
范围．
【答案】（1）58；（2）⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡--212,123
.
（2）()()
x f ⋅+=221cos 2cos sin 22
+
+=x x x 2342sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx 由正弦定理得
36
2
sin sin 3=
=B b A ，得22sin =A 4
π
=
∴A 或43π=
A ，a b > ，4
π=∴A 因此()()⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
+=62cos 4πA x f x g 2142sin 2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx
3
0π
≤
≤x ，12
114
24
π
π
π
≤
+
≤∴
x ， 2122142sin 2123-≤-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤-∴
πx 即()∈x g ⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡--212,12
3.
考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域. 20.（本小题满分12分）已知函数()n mx x x x f +++=
2
32
131以()a ,0为切点的切线方程是022=-+y x ．
（1）求实数m ，n 的值； （2）若方程()b x x f +=2在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
3,23上有两个不等实根，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）2,2=-=n m ；（2）
619411<≤b 或2
134≤<-b .
由方程
b x x x =+--22213123在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-3,23上有两个不等实根，得619411<≤b 或2134≤<-b
故方程
b x x x =+--22213123在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-3,23上有两个不等实根，实数b 的取值范围619411<
≤b 或2
1
34≤<-
b . 考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数的单调性、极值；3、函数与方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()ax x
x x f ++
=1
ln ． （1）若函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）已知函数()x
x x g 1
+
=，对于任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g x f ≤成立，求正实数a 的取值范围．
【答案】（1）0≥a 或41-
≤a ；（2）e
a 1
10-≤<.
（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔.
试题解析：（1）()a x x x f +-='2112
21
x x ax -+=，[)+∞∈,1x ，
由于函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，()0≥'∴x f 或()0≤'x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立， 即012
≥-+x ax 或012
≤-+x ax 对任意[)+∞∈,1x 恒成立，
x x a 112-≥
∴或x
x a 1
12-≤对任意[)+∞∈,1x 恒成立 令x t 1=，由于[)+∞∈,1x ，(]1,0∈∴t ，设()t t t h -=24
1212
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t
因此()04
1≤≤-
t h ，所以实数a 的取值范围为0≥a 或41-≤a
（2）由（1）知，当0>a 时，函数()x f 在[]e ,1上为增函数， 故()()()e f x f f ≤≤1，即()e
ae x f a 1
11+
+≤≤+ ()2221
11x
x x x g -=-=' ，∴当[]e x ,1∈，()0≥'x g ，
所以函数()x g 在[]e ,1上是单调递增函数
()()()e g x g g ≤≤∴1，即()e
e x g 1
2+≤≤
对任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g x f ≤成立， 可知()()max 2max 1x g x f ≤，所以e ae 11++e e 1+≤，即e
a 11-≤，
故所求正实数a 的取值范围e
a 110-
≤<.
考点：1、函数的导数；2、函数的应用；3、恒成立的问题. 22.（本小题满分12分）已知函数()()
x a a x x a x f 22
3
2
1ln +-+
=()R a ∈，()x x x x x g --=222ln 3．
（1）判断()x g 在区间[]4,2上单调性；
（2）若2≥a ，函数()x f 在区间[]4,2上的最大值为()a G ，求()a G 的解析式，并判断()a G 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：7.02ln 69.0<<）．
【答案】（1）()x g 在区间[]4,2上单调递增；（2）()⎪⎩
⎪
⎨⎧>+--≤≤--=)4(8442ln 2)42(2
1ln 2323
3a a a a a a a a a a G ；()a G 有最小值，没有最大值
.
试题解析：（1）证明：()x x x x x g --=2
2
2ln 3 ，()1ln 6--='∴x x x x g
设()1ln 6--=x x x x h ，则()5ln 6+='x x h ，
∴当42<<x 时，()0>'x h ，()x h ∴在区间()4,2上单调递增 ()()012ln 432>-=h ，∴当42<<x 时，()()02>>h x h ， ()x g ∴在区间[]4,2上单调递增
（1）()()
x a a x x a x f 22
3
2
1ln +-+
= ，
()()23
a a x x
a x f +-+=
'∴，()+∞∈,0x ，即()()()x a x a x x f --='， 2≥a ，2a a <∴，当x 变化时，函数()()x f x f ',变化情况如下表：
因此当42≤≤a 时，42
≥a ，()x f 在区间[]4,2上的最大值()23
3
2
ln a a a a a f -
-= 当4>a 时，()x f 在区间[]4,2上的最大值为()8442ln 2423+--=a a a f
即()⎪⎩
⎪⎨⎧>+--≤≤--=)4(8442ln 2)
42(2
1ln 2323
3a a a a a a a a a a G
考点：1、判断函数的单调性；2、求函数的解析式和最值.。