福建省南安第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题

南安一中2015～2016上学期高二年期末考数学（文）试卷
本试卷考试内容为：人教版选修1—1（1，2章），选修1—2（1章）。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

（2）,)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
其中为样本容量。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）
1. 一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回 归模型为，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A. 身高在145.75cm 以上 B. 身高在145.75cm 左右 C. 身高一定是145.75cm D. 身高在145.75cm 以下 2．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．原命题“若，则”的逆否命题．．．．
是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 4．当时，认为事件与事件（ ）
A ．有的把握有关
B ．有的把握有关
C ．没有理由说它们有关
D ．不确定
5．直线与圆9)2()1(2
2
=-+-y x 相交于A 、B 两点，则AB 的长度等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．1 6. “”是“”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．已知焦点在x 轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（ ）
A ．
22
181
94x y += B ． C ．
22
18194
x y += D ．
8． 已知是椭圆的两个焦点, 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点, 若△是正三角形, 则这个
椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.
B .
C . D.
10.设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动， 且|AB|=4，点M 是线段AB 的中 点，则点M 的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．直线与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形
APQB 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．椭圆：上的一点A 关于原点的对称点为B ，为它的右焦点，
若A ⊥B ，则三角形△AB 的面积是（ ） A ． 15 B ． 32 C ． 16 D ． 18
第Ⅱ卷（非选择题共90二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）
13．命题的否定是 . 14．抛物线的焦点坐标是 ．
15．如果实数x ，y 满足，则的最大值是 。

16．已知，是平面上的两点，若曲线上至少存在一点，使，则称曲线为“黄金曲线”．下列五条曲线： ①； ②； ③； ④； ⑤
其中为“黄金曲线”的是 .（写出所有．．“黄金曲线”的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知直线和01)1(:2
2=-+-+a y a x l .
（Ⅰ）若, 求实数的值;（Ⅱ）若, 求实数的值.
18.（12分） 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2. （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若直线与抛物线相交于A ，B 两点，求AB 的长度．
19．（12分）已知命题,0],2,1[:
2
”“≥-∈∀a x x p 命题：关于x 的方程有解。

若命题“且”是真命题, 求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：
通过分析，发现销售量y （Ⅰ）求销售量y 对奶茶的价格x 的回归直线方程； （Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少?
注：在回归直线中，∑∑==--=n
i i
n
i i
i x n x
y
x n y
x b
1
2
21
ˆ，＝－．
5.14675.65.5522224
1
2=+++=∑=i i
x
21. （小题满分12分）设分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右顶点，双曲线的实轴长为，
焦点到渐近线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
22．（本小题满分14）如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于，两个不同点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．
南安一中2015～2016上学期高二年期末考数学（文）试卷
参考答案
1-6 BDCBAB 7-12 DCCBAC 13. 14. 15. 16. ②⑤
17 (1) 若, 则.3
2
0)1(21=
⇒=-+⨯a a a ................6分 (2) 若, 则(1)1201 2.a a a ⋅--⨯=⇒=-或.....................10分 经检验,时,与重合.时, 符合条件........12分
18.解（1）由题意可知p=2。

……2分∴抛物线标准方程为：x 2
=4y …………5分
（2）直线l ：y =2x+l 过抛物线的焦点，设 联立得x 2
－8x －4=0………………8分 ∴x 1+x 2=8……………10分
∴204)(2212122212121=++=++++=++=x x x x y y AB ……………12分 19.解:……………………………………………………4分
.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………8分
∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 都是真命题………………………10分 “p 且q ”是真命题时, 实数的取值范围是………12分 20. 解：（Ⅰ）
分11824
1
=∑=i
i i y
x 分28,6 ==y x
分45.2424
1
2 =-∑=x x i i 分，632ˆˆ4-ˆ =-==x b y a b 分故回归直线方程为7324ˆ +-=x y
（Ⅱ）分令913324- =+x
分元答：商品的价格定为1275.4
21. （Ⅰ）双曲线的渐近方程为，焦点为，焦点到渐近线的距离为，…………………………………2分 又，双曲线的方程为．…………………………………4分 （2）设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y
由22
231123y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：，…………………………………6分
121212)412x x y y x x ∴+=+=
+-=…………………………………8分
，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++
，有0012x t y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
………………10分 又点在双曲线上
，22
12()1123
t t ∴
-=,解得，点在双曲线的右支上，，，此时点．………………………………12分
22（Ⅰ）设椭圆的方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，
…………………………………1分 …………………………………2分 …………………………………3分 所以，椭圆的方程为： …………………………………4分
（Ⅱ）法一：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知.
①当直线的斜率不存在时，、分别为椭圆短轴的端点，不符合题意 …5分 ②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为：
由22
2
14
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(41)16120k x kx +++= ………………………7分
令，得：222
(16)4(41)12430k k k -⋅+⋅=->
…………………………………8分 设，则1212
221612
,4141
k x x x x k k +=-=++ ………………9分 又，
212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++
2
22123244141k k k =-+++ 2222204444141
k k k k --=+=++ …………………………………10分
2222124404141
k k k k -∴+=++
……………………………………………………13分 直线的方程为：，即或
所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：
或 …………………………14分
（Ⅱ）法二：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知，
设直线的方程为： ………5分
由22(2)14
x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(4)4440m y m y m +-+-= (7)
令，得：4222
164(4)(44)64480m m m m -⋅+⋅-=->
(8)
设，则22121222444
,44
m m y y y y m m -+==++ (9)
又2
12121212(2)(2)[2()4]x x m y m y m y y y y =-⋅-=-++ ……10分 222
21244
044
m m m m -∴+=++ …………13分 所求直线的方程为：，即或
所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：或 (14)。