2016-2017学年河北省张家口市第一中学高一下学期期中考试(实验班、普通班)数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年河北省张家口市第一中学高一下学期期中考
试（实验班、普通班）数学（理）试题
一、选择题
1．设a n =++++…+（n ∈N ），则a 2=（ ）
A. B. + C. ++ D.
+++
【答案】C
【解析】数列通项的特点是,分母是公差为1 的等差数列,以n 开始，以2n 结束，所以2a 的分母以2 开始，以4 结束，即 2111234
a =
++ ,故选C.
2．已知等差数列{a n }中，a 2+a 4=6，则前5项和S 5为（ ）
A. 5
B. 6
C. 15
D. 30 【答案】C
【解析】在等差数列{}n a 中，由246a a += ，得3326,3a a == ，所以前5 项和
5355315S a ==⨯= ，故选C.
3．在△ABC 中，若a=2，b=2，A=30°，则B 为（ ）
A. 60°
B. 60°或120°
C. 30°
D. 30°或150° 【答案】B 【解析】由正弦定理
可得：
s in 0
3s in 0180,602
2b A B B B a
=
==
<<∴= 或120 ，故选B.
4．设x ，y 满足约束条件
，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 0 【答案】A
【解析】由已知得到可行域如图：
y x
表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以原点与C 连接的直线斜率最大，且
()2,3C ，所以
y x
的最大值为
32
，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 5．已知x ＞﹣2，则x+
的最小值为（ ）
A. ﹣
B. ﹣1
C. 2
D. 0 【答案】D 【
解
析】
2,20
x x >-∴+> ,
()11
22202
2
x x x x +=
++
-≥=++（当且仅当()122
x x +=+
时等号成立）,所以1
2
x x ++的最小值为0 ，故选D.
【易错点晴】利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
6．某一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）
A. 2
B.
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】由三视图知，几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个直角梯形O A B C，直角梯形的上底是1
B C=，下底是2
O P=，如图所示：
A O=，垂直于底边的腰是2
则四棱锥的最长棱长为3
P B===，故选D.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
7．若<<0,则下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④lna2>lnb2中,正确的是( )
(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④
【答案】D
【解析】先由<<0得到a与b的大小关系,再根据不等式的性质,对各个不等式进行逐一判断.
由<<0,可知b<a<0.
①中,a+b<0,ab>0,所以<0,>0.
故有<,即①正确.
②中,∵b<a<0,∴-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误.
③中,∵b<a<0,即0>a>b,
又∵<<0,∴->->0,
∴a->b-,故③正确.
④中,∵b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为单调递减函数,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域上为增函数.∴lnb2>lna2,故④错,综上分析,②④错误,①③正确.
8．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2（a2•a3•a5•a7•a8）=5，则a1•a9=（）A. 4 B. 5 C. 2 D. 25
【答案】A
【解析】因为在各项均为正数的等比数列{}n a 中，
()55
2235782357855lo g ?···5,?···232,2a a a a a a a a a a a a =∴===∴= , 2
2
195·2
4
a a a === ，故选A.
9．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2（a 1+a 3+a 5）+3（a 8+a 10）=36，则S 11=（ ） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 【答案】D 【
解
析
】
()(
)
135
810
3
9
2336,
663
a a a a a a a
+
+++=∴
+= , ()
()
11139
391111116,332
2
a a a a a a S ++∴+=∴=
=
= ,综上所述，故选D.
10．在△ABC 中，b=17，c=24，B=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A. 一解
B. 两解
C. 一解或两解
D. 无解 【答案】B
【解析】
2412
s in s in s in 17
17b c C B
C
⨯
=
⇒=
= ，因为c b > ， 0135C ︒︒<< ，
所以角C 有两个，故三角形有两解，故选B.
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2+b 2=2c 2
，则角C 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
22
2
22a b
c
a b +=≥ ，
（当且仅当a b = 时等号成立），即2
c a b ≥ ，所以
由余弦定理可得： 2
2
2
2
22
1c o s 2222
a b c
c
c
C a b
a b
c
+-=
=
≥
=
，（当且仅当a b = 时等号
成立），()0,,0,3C C ππ
⎛⎤
∈∴∈ ⎥⎝
⎦ ，故选A.
12．等差数列{a n }的公差d ＜0且a 12
=a 132
，则数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，当S n 取
得最大值时的项数n 是（ ）
A. 6
B. 7
C. 5或6
D. 6或7 【答案】D
【解析】等差数列{}n a 中，公差0d < ，且22
113113,0a a a a =∴=-> ，即1130a a += ，
又113720a a a +== ，所以数列{}n a 的前6 或7 项最大，故选D.
13．已知a n =（n ∈N ），设a m 为数列{a n }的最大项，则m=__．
【答案】8 ．
【解析】)777
N ,1
n n n n a n a n --=
∈
∴=
=+
- ,根据函数的单调性可
判断：数列{}n a 在][)
1,7,8,⎡+∞⎣ 单调递减，因为在[]1,7 上1n a < ，在[)8,+∞ 上81,n a a >∴ 为最大项，故答案为8 .
二、填空题
14．一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是__． 【答案】
【解析】三角形的三条边长分别为7,5,3 所以边长为7 所对角θ 的余弦值是：
2
2
2
5371c o s 2532
θ+-==-
⨯⨯ ，又()20,,3
πθπθ∈∴=
，由正弦定理得
712R 23
3
s in
π==
，所以该三角形外接圆的半径是R 3
=
，故答案为
73
.
15．在正项等比数列{a n }中，有a 1a 3+2a 2a 4+a 3a 5=16，则a 2+a 4=__． 【答案】4
【解析】由等比数列的性质可得22
132354132435,,
216
a a a a a a a a a a a a ==++= ，
()
2
22
224424
24216,16,4a a a a a a a a ∴++=∴+=+=± ， {}n a 是正项数列
24240,4a a a a ∴+>∴+= ，故答案为4 .
16．若正实数x ，y 满足10x+2y+60=xy ，则xy 的最小值是__． 【答案】180
【解析】由条件，利用基本不等式可得： 1026060xy x y =++≥ ，令
2
x y t = ，即0t =
> ，可得2
600t --≥ ，即得到(
2
80t -≥ ，可解
得t t ≤-≥，又注意到0t > ，故解为t ≥ ，所以180x y ≥ ，故答案为180 .
17．不等式x 2－ax －b<0的解集为{x|2<x<3}，则bx 2
－ax －1>0的解集为 . 【答案】}312
1|{-
<<-
x x
【解析】由题意知
2,3是方程
x 2
－ax －b=0
的根,所以
23,23,5,a
b a b +=⨯
=-
∴
==,所以2
6510x x --->,所以2
6510x x ++<,
所以112
3
x -<<-
,所以解集为}3
12
1|{-
<<-
x x
18．在等差数列{a n }中，a 1=2，S 3=9． （1）求{a n }的通项公式a n ； （2）求{2
}的前n 项和S n ．
【答案】（1）a n =n+1．（2）2
2
4
n n
S
+=-
【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=2，S 3=9．∴3×2+d=9，解得d=1．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=n+1． （2）由（1）知，
∴
是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴．
【解析】试题分析：（1）由12,a = 39S = 可得1d = ，进而可得通项公式；（2）由（1）可得{}2n
a
为等比数列，由等比数列求和公式可得结果.
试题解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=2，S 3=9．∴3×2+d=9，解得d=1．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=n+1． （2）由（1）知，
∴
是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量
1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决
此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c=2，sinB=2sinA ．
（1）若C=
，求a ，b 的值；
（2）若cosC=，求△ABC 的面积．
【答案】（1）a=2，b=4（24
解：（1）∵C=，sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得：b=2a，
∵c=2，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：12=a2+4a2﹣2a2，
∴解得：a=2，b=4
（2）∵cosC=，
∴sinC==，
又∵b=2a，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣a2=4a2，解得：c=2a，
∵c=2，可得：a=，b=2，
∴S△ABC=absinC=
4
【解析】试题分析：（1）由已知及正弦定理可得2
=，利用余弦定理可求a的值，
b a
进而可求b；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C，又2
=，利用
b a
余弦定理可解得2
=，从而可求,a b，利用三角形面积公式计算得解.
c a
试题解析：（1）∵C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得：b=2a ，∵c=2，，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：12=a2+4a2﹣2a2，∴解得：a=2，b=4
（2）∵cosC=，∴sinC==，又∵b=2a，∴由余弦定理可得：
c2=a2+b22abcosC=a2+4a2﹣a2=4a2，解得：c=2a，∵c=2，可得：a=，b=2，
∴S△ABC=
4
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说,当条件中同时出现a b及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
20．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？
【答案】设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z ＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)(万元)，
即z＝780－0.5x－0.8y.
x、y应满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，
200－x ＋(300－y )≤360，
作出上面的不等式组所表示的平面区域如图所示．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，则M(0,280)，把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小．
∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 【解析】略
21．如图，在△ABC 中，AB=2，cosB=，点D 在线段BC 上． （1）若∠ADC=π，求AD 的长； （2）若BD=2DC ，△ADC
的面积为
，求
的值．
【答案】（1）83
（2
）
【解答】
解：（1）在三角形中，∵cosB=，∴sinB=．
在△ABD 中，由正弦定理得， 又AB=2，
，sinB=
．
∴AD=．
（2）∵BD=2DC，∴S △ABD =2S △ADC ，S △ABC =3S △ADC ， 又，∴
∵S △ABC =，∴BC=6， ∵
，
，
S △ABD =2S △ADC ，∴
，
在△ABC 中，由余弦定理得：
AC 2
=AB 2
+BC 2
﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC=4，
∴=2•=4．
【解析】试题分析：（1）求出s in 3B = ,由正弦定理得
s in A B A D s in A D B
B
=
∠ ，由此
能求出A D ；（2）推导出2,3,6A B D A D C A B C A D C A B C S S S S S B C ∆∆∆∆∆==== ，从而得到
2?
s in B A D A C s in C A D
A B
∠=∠ ，由此利用余弦定理能求出
s in B A D s in C A D
∠∠ 的值.
试题解析：（1）在三角形中，∵cosB=，∴sinB=．
在△ABD 中，由正弦定理得，
又AB=2，
，sinB=
．
∴AD=．
（2）∵BD=2DC，∴S △ABD =2S △ADC ，S △ABC =3S △ADC ， 又，∴ ∵S △ABC =，∴BC =6， ∵
，，
S △ABD =2S △ADC ，∴
，
在△ABC 中，由余弦定理得：
AC 2
=AB 2
+BC 2
﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC=4，
∴=2•=4．
22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n
（n ∈N ）．
（1）求证：数列{S n －3n
}是等比数列；
（2）若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）19a >-
【解析】试题分析：（1）由13n
n n a S +=+，可得数列{}3n n S -是公比为2，首项为13
a -的等比数列；（2）当2n ≥时，2
1
11(3)223
n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，利用{}n a 为
递增数列，即可求解1a 的取值范围.
试题解析：（1）证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n （n ∈N ），∴S n ＋1＝2S n ＋3n
，
∴S n ＋1－3n ＋1＝2（S n －3n
）．又∵a 1≠3，
∴数列{S n －3n
}是公比为2，首项为a 1－3的等比数列．
（2）由（1）得，S n －3n ＝（a 1－3）×2n －1，∴S n ＝（a 1－3）×2n －1＋3n
.
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（a 1－3）×2n －2＋2×3n －1
. ∵{a n }为递增数列，
∴当n≥2时，（a 1－3）×2n －1＋2×3n ＞（a 1－3）×2n －2＋2×3n －1
，
∴2n －2
12×2
32n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
＋a 1－3>0，∴a 1＞－9.
∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9.
【考点】等比数列的性质；等比数列的定义；数列的递推式的应用.
【方法点晴】本题主要考查了利用等比数列的定义判定和证明数列为等比数列、等比数列的性质的应用和数列的递推关系式的化简与运算，解答中得数列{}3
n
n S -是公比为
2，首项为13a -的等比数列和化简出2
1
1(3)2
23
n n n a a --=-⨯+⨯是解答本题的关键，
着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题.。