概率论与数理统计期末考试试卷复习资料

数理统计练习 一、填空题
1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B A)=0.8，则P () 0.7 。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为81
80
，则此射手的命中率3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则
=2
)]([)
(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1， 则=λ1。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2时 ， 成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,23),(2
y x xy y x f ，
则E (X )=8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2
σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += k μ+
)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2
－Y ＋5，
则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )0.3。

2、设X B (2)，Y B (3)，且P {X ≥ 1}=9
5，则P {Y ≥ 1}=27
19。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，21，则D (Y )= 4/3 。

5、设随机变量X 的概率密度是：
⎩⎨
⎧<<=其他
103)(2
x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。

6、利用正态分布的结论，有 ⎰
∞
+∞
---
=+-dx e x x x 2
)2(2
2
)44(21
π
1 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤≤≤=其他
,
01
0,20,23),(2
y x xy y x f ，
则E (Y )= 3/4 。

8、设（X ，Y ）为二维随机向量，D (X )、D (Y )均不为零。

若有常数a >0与b 使 {}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －＋3，
则Z ～ N (2, 13) 。

10、设随机变量X ～N (1/2，2)，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“/1≤X 出现的次数，则}2{=Y P = 3/8 。

1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为6
1,31,41,51，
则密码能被译出的概率是 11/24 。

5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}4
2
3===X P X P ，则λ= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332， 则{}=<2X P 0.6247 。

7、随机变量X 的概率密度函数1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
，则E (X )= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X 1，X 2，…，是来自总体X 的简单随机样本 则∑=n
i i X 1
2~)(2n x 。

9、设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=-<λT P 2
a 。

10、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,),(y x xy y x f ，
则E (X )= 4/3 。

1、设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P ()= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。

2、设随机变量X 与Y 相互独立，且5
.05
.011P
X
-，5
.05.01
1P Y
-，则P (X ) 0.5_。

3、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布，且15，10，则 45 。

4、设随机变量),(~2
σμN X ，其密度函数6
4
4261)(+--
=
x x e
x f π
，则μ= 2 。

5、设随机变量X 的数学期望和方差>0都存在，令DX EX X Y /)(-= ，则 1 。

6、设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，Y 服从5=λ的指数分布，且X ，相互独立，
则(X , Y )的联合密度函数f (x , y )=
⎩⎨⎧≥≤≤-其它
,505y x e y 。

7、随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。

8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本， 则∑=-n
i i X X 12)(服从的分布为)1(2-n x 。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3
1
,41,51， 则目标能被击中的概率是3/5 。

10、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度
⎩⎨
⎧>≤≤=-其它0
,10,4),(2y x xe y x f y ， 则 = 1/2 。

1、设为两个随机事件，且P(A)=0.7, P()=0.3，则P(AB )0.6 。

2、设随机变量X 的分布律为2
12
11
0p
X ，且X 与Y 独立同分布，
则随机变量Z ＝{ }的分布律为4
34
110
P
Z。

3、设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝0.3，则P {X < 0}＝0.2 。

4、设随机变量X 服从2=λ泊松分布，则{}1≥X P =21--e 。

5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为
2
(21y
f X -6、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则(X
D 2.4 。

7、X 1，X 2，…，是取自总体()2
,σμN 的样本，则
2
1
2
)(σ∑=-n
i i
X X
～)1(2-n x 。

8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度⎩⎨
⎧>≤≤=-其它0
,10,4),(2y x xe y x f y ，则 = 2/3 。

9、称统计量θ
θ为参数ˆ的 无偏 估计量，如果)(θ
E =θ。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。

1、设A 、B 为两个随机事件，若P (A)=0.4，P (B)=0.3，6.0)(=⋃B A P ，则=)(B A P 0.3
2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则(2
X E 18.4 。

3、设随机变量X ～N (1/4，9)，以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“4/1≤X 出现的次数，
则}2{=Y P = 5/16 。

4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P(2)(4)，则λ=32。

5、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ
E =θ 。

6、设)(~),1,0(~2n x Y N X
，且
X ，Y 相互独立，则
~n Y
X t(n) 。

7、若随机变量X ～N (3，9)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －2＋2，
则Z ～ N (7，29) 。

8、已知随机向量(X , Y )的联合概率密度⎩
⎨
⎧>≤≤=-其它
00,10,6),(3y x xe y x f y
，则 = 1/3 。

9、已知总体n X X X N X
,,,),,(~212 σμ是来自总体
X 的样本，要检验202
σσ=：o H ，
则采用的统计量是
2
2
)1(σ
S n -。

10、设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=<λT P 2
1a -。

1、设A 、B 为两个随机事件，P (A)=0.4, P (B)=0.5，7.0)(=B A P ，则=)(B A P 0.55 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为64
37，
则每次射击击中目标的概率为 1/4 。

4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ， 则X 的期望 2.3。

5、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数， 则X 和Y 的相关系数等于－1。

6、设(X , Y )的联合概率分布列为
若X 、Y 相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

7、设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2 。

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为
3
1
,41,51， 则密码能被译出的概率是3/5 。

9、若n X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和样本方
差，
则
S
n
X )(μ-~ t (1) 。

10、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ 有效 。

1、已知P (A)=0.8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P (B) ＝ 3/8 。

2、设随机变量X ～N (1，4)，且P{ X a }= P{ X a }，则a ＝ 1 。

3、随机变量X 与Y 相互独立且同分布，2
1
)1()1(=
-==-=Y P X P ，)1()1(====Y P X P 则()0.5P X
Y ==。

4、已知随机向量(X , Y )的联合分布密度
⎩
⎨
⎧≤≤≤≤=其它01
0,104),(y x xy y x f ， 则 2/3 。

5、设随机变量X ～N (1，4)，则{}2>X P ＝ 0.3753 。

（已知
(0.5)=0.6915，
(1.5)=0.9332）
6、若随机变量X ～N (0，4)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X ＋－3，
则Z ～ N (－4，9) 。

7、设总体X ～N (1，9)，n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本
，2
,S X 分别为样本均值与样本方差，则∑=-n i i X X 12
~)(912(8)χ；；∑=-n i i X 1
2~)1(9129χ（）。

8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X P ，则λ= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只， 则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中，把符合H 0的总体判为不合格H 0加以拒绝，这类错误称为 错误；
把不符合H 0的总体当作符合H 0而接受。

这类错误称为 二 错误。

1、设A 、B 为两个随机事件，P (A)=0.8，P ()=0.4，则P (A －B)= 0.4 。

2、设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则(X D 2.4 。

3、设随机变量X 的概率分布为
X －10 1 2
P
0.10.30.20.4
则{}12≥X P = 0.7 。

4、设随机变量X 的概率密度函数1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
，则)(X D =
2
1 。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X ，则P {X ＝10}＝ 0.39*0.7 。

6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是14453.07.0⨯⨯C 。

7、设随机变量X 的密度函数2
)2(2
21)(+-=x e
x f π
，且{}{}c X P c X P ≤=≥，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X ， 8＋3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ＝1， 则U 与V 的相关系数UV ρ＝－1。

9、设)(~),1,0(~2n x Y N X
，且
X ，Y 相互独立，则
~n Y
X t (n)
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。

1、随机事件A 与B 独立，===)(5.0)(,7.0)(B P A P B A P 则，
0.4 。

2、设随机变量X 的概率分布为则X 2的概率分布为
3、设随机变量X 服从[2，6]上的均匀分布，则{}=<<43X P 0.25 。

4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则2EX 18.
5、随机变量)4,(~μN X ，则~2
μ-=X Y N(0,1) 。

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，
则目标能被击中的概率是 59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，
若至少摸到一个白球的概率是81
80，则袋中白球的个数是 4 。

8、已知随机变量U = 1＋2X ， 2－3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ ＝－1， 则U 与V 的相关系数UV ρ ＝ 1 。

9、设随机变量X ～N (2，9)，且P{ X a }= P{ X a }，则a ＝ 2 。

10、称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果)(θ
E = θ 二、选择题
1、设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。

Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ. 1)(=AB P 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A
A.
2
242 B.
2
412C C C.
2
4!2P D.
!
4!2 ３、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D A.
)2(2y f X -
B.
)2(y f X - C. )2
(21y
f X -- D. )2(21y f X -
４、设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，
则对任意实数a 有（ B ）。

A.
⎰-=-a dx x f a F 0
)(1)( B. ⎰-=
-a dx x f a F 0
)(21
)( C. )()(a F a F =- D. 1)(2)(-=-a F a F
５、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则；，
发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．)4
80(-Φy C ．)8016(+Φy D ．)804(+Φy
１、设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ A ）。

A. )()(A P B A P =⋃
B. B A ⊃
C. )()(B P A P =
D. )()(A P AB P = ２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止则射击次数为3的概率是（ C ）。

A. 34
3）（ B. 41432⨯）（ C. 43412⨯）（ D. 2
24
4
1C ）（ 3、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A. 121122X X μ=+ B. 1212
33X X μ=+ C. 121344X X μ=+ D.
1223
55
X X μ=+ 4、设)(x Φ为标准正态分布函数， 100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则。

，
发生；事件且()0.1P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．10
(
)3
y -Φ C ．(310)y Φ+ D ．(910)y Φ+ 5、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值， 则下列结论中正确的是（ D ）。

A.
)(~/21n t n
X -； B.
)1,(~)1(411
2n F X n
i i ∑=-； C. )1,0(~/21N n
X -；
D.
)(~)1(4121
2n X n
i i χ∑=-； １、已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（A ）。

A. C B A
B. ABC
C.
D.
２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

A. ∞<<-∞+=x x x F ,11)(2 B. ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0100)(x x
x
x x F C.
∞<<-∞=-x e x F x ,)( D. ∞<<∞-+=x arctgx x F ,21
43)(π
3、),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是（ D ）
A. )()()(Y E X E XY E =
B. )()()(Y D X D Y X D +=+
C. )()()(Y D X D Y X D +=-
D. X 和Y 相互独立
4、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.2P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．20
(
)4
y -Φ C ．(1620)y Φ- D ．(420)y Φ- 5、设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X 样本方差为2s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A.
X 2
B.
2
2
σ
s C.
σ
μ
-X D.
2
2
)1(σ
s n -
1、若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +＝（ B ）。

A. )()(B P A P +
B. )()()()(B P A P B P A P -+
C. )()(B P A P
D. )()(B P A P +
2、设总体X 的数学期望＝μ，方差＝σ2，X 1，X 2，X 3，X 4是来自总体X 的简单机样本，
则下列μ的估计量中最有效的是（ D ） 1
2
3
3
1
2
3
123412*********A. B. 6633333
34111111
C.
D. 55554444
X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++ 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩
⎨⎧=i X i
否则，发生事件 且()0.3P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．
Φ C ．30
()21y -Φ D ．(30)y Φ-
4、设离散型随机变量的概率分布为10
1)(+==k k X P ，3,2,1,0=k ，则)(X E ＝（ B ）
A. 1.8
B. 2
C. 2.2
D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。

B. 1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误
C. 设α=}|{00真拒绝H H P ，β=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β变小。

D. α、β的意义同（C ），当样本容量一定时，α变大时则β变小。

1、若A 与B 对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. )()()(B P A P AB P =
B. 1)(=+B A P
C. )()()(B P A P B A P +=+
D. 0)(=AB P
2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。

A. A B BA B +=
B. A B BA B +=
C. A B BA B +=
D. B B -=1 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i
否则，
发生事件且()0.4P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．
Φ C ．(40)y Φ- D ．40
()24y -Φ
4、若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。

A. X 和Y 相互独立
B. X 与Y 不相关
C. )()()(Y D X D XY D =
D. )()()(Y D X D Y X D +=+
5、若随机向量（Y X ,）服从二维正态分布，则①Y X ,一定相互独立； ② 若=XY ρ则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一维正态分布；④若Y X ,相互独立，则 (X , Y ) =0。

几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③ ④
B. ② ③ ④
C. ① ③ ④
D. ① ② ④ 1、设随机事件A 、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。

A. q p )1(- B. pq C. q D.p
2、设A ，B 是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立
B. )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P
C.
)()()(B P A P AB P =，其中
A ，
B 互不相容 D. )()()(A B P A P AB P =，其中0
)(≠A P 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.5P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．50(
)5y -Φ C ．(50)y Φ- D ．50
()25
y -Φ 4、设随机变量X 的密度函数为f (x )，则Y = 5 — 2X 的密度函数为（ B ）
1515
A. ()
B. ()22221515
C. ()
D. ()
2222y y f f y y f f ---
--++---
5、设xx x n 12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

A. ∑=--n
i i
x x n 1
2
)(1
1 B.
∑=--n
i i x x n 1
2)(11 C.
∑=-n
i i x x n 1
2)(1
D.
∑=-n
i i x x n 1
)(1 1、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。

A. )()()(B P A P B A P =
B. 0)(=AB P
C. )|()|(A B P B A P =
D. )()|(B P B A P =
2、若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（D ）。

A. 相互对立
B. 相互独立
C. 互不相容
D.相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨
⎧=i X i
否则，
发生事件 且()0.6P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的 分布函数)(y F 近似于（B ）。

A. )(y Φ B
．Φ C ．(60)y Φ- D ．60
()24y -Φ
4、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，
则（ B ）。

A. p 1<p 2
B. p 1＝p 2
C. p 1>p 2
D. p 1与p 2的关系无法确定
5、设随机变量X 的密度函数为f (x )，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ）
1717A. () B. ()55551717C. () D. ()
5555y y f f y y f f ---
--++--- 1、对任意两个事件A 和B ， 若0)(=AB P ， 则（ D ）。

A. φ=AB
B. φ=B A
C. 0)()(=B P A P
D. )()(A P B A P =-
2、设A 、B 为两个随机事件，且1)(0<<A P ，1)(0<<B P ， )|()|(A B P A B P =， 则必有（ B ）。

A. )|()|(B A P B A P =
B. )()()(B P A P AB P =
C. )()()(B P A P AB P ≠
D. A 、B 互不相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i
否则，
发生事件且()0.7P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B ．
Φ C ．(70)y Φ- D ．70
()21y -Φ
4、已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均
分布，
则=)(XY E （ A ）。

A. 3
B. 6
C. 10
D. 12
5、设随机变量X ～N (μ，9)，Y ～N (μ，25)，记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。

A. p 1<p 2
B. p 1＝p 2
C. p 1>p 2
D. p 1与p 2的关系无法确定
1、设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则（ A A. )()(21A P A A P ≤ B. )()(21A P A A P ≥ C. )()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P =
2、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。

A.
)2
3
(21---
y f X B.
)23(21--y f X C. )23(21+--y f X D. )2
3
(21+-y f X 3、两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是（ C ）。

A. EXEY EXY =
B. EY EX Y X E +=+)(
C. DXDY DXY =
D. DY DX Y X D +=+)(
4、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i
否则，
发生事件且()0.9P A =，
10021X X X ，，， 相互独立。

令∑==100
1i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似
（ B ）。

A. )(y Φ B ．90(
)3y -Φ C ．(90)y Φ- D ．90
()9
y -Φ 5、设总体X 的数学期望＝μ，方差＝σ2，X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机
本，
则下列μ的估计量中最有效的是（ B ）
123123123123
111111A.
B. 424333342121
C.
D. 555662X X X X X X X X X X X X +++++-++
1、若事件321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。

A. 321,,A A A 相互独立 B. 321,,A A A 两两独立 C. )()()()(321321A P A P A P A A A P = D. 321,,A A A 相互独立
2、连续型随机变量X 的密度函数f (x )必满足条件（ C ）。

A. 0() 1
B.
C. () 1
D. lim ()1
x f x f x dx f x +∞-∞
→+∞
≤≤==⎰
在定义域内单调不减
3、设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f )(2x f ，
分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ B ）。

A. )()(21x f x f +必为密度函数
B. )()(21x F x F ⋅必为分布函数
C. )()(21x F x F +必为分布函数
D. )()(21x f x f ⋅必为密度函数
4、设随机变量X , Y 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布是（ B ）。

A . X Y
B . （X , Y ）
C . X — Y
D . X + Y 5、设)(x Φ为标准正态分布函数，
, ,2, 1, 0A
,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，
发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独立。

令1
n
i i Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B
．Φ C ．()y np Φ- D ．(
)(1)y np np p -Φ-
三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二家的两倍，
第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％若在市场上随机购买一件商品为次品， 问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？
解 设i A 表示产品由第i 家厂家提供，1, 2, 3；B 表示此产品为次品。

则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)
(|) ()()(|)()(|)()(|)
P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A =
=++
＝1
0.0220.4111
0.020.020.04244
⨯=⨯+⨯+⨯
答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%次品率分别为0.03、0.02、0.01。

现从所有的产品中抽取一个产品， 试求（1）该产品是次品的概率；
（2）若检查结果显示该产品是次品， 则该产品是乙车间生产的概率是多少？
解：设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=
（2）221()(|)0.350.02
(|) = 0.38 ()
0.0185
P A P B A P A B P B ⨯=
≈ 答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间
产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。

加工零件A 时停机的概率是0.3
，加工零件A 时停机的概率是0.4。

求（1）该机床停机的概率； （2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发生停机的概率。

解：设1C ，2C ，表示机床在加工零件A 或B ，D 表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为
1122()().(|)().(|)P B P C P D C P C P D A =+1211
0.30.43330
=⨯+⨯=
（2）机床停机时正加工零件A 的概率为
1111
0.3
().(|)33(|) = 11()1130
P C P D C P C D P D ⨯==
三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比5：3：2，
各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。

现从加工好的整批零件随机抽查一个，
发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解 设1A ，2A ，3A 表示由甲乙丙三机床加工，B 表示此产品为废品。

（2分） 则所求事件的概率为
111131
(|)()(|)(|) ()()(|)i i
i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝1
0.06320.50.060.30.100.20.057
⨯=⨯+⨯+⨯
答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别5％、15％、30％、50％，
乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。

已知该人误期到达，
求他是乘坐火车的概率。

（10分）
解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B 表示误期到达。

则222241
(|)()(|)(|) ()()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==
=∑＝0.150.3
0.2090.0500.150.30.30.40.50.1
⨯=⨯+⨯+⨯+⨯ 答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、
15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％60％、90％。

求该人如期到达的概率。

解：设1A ，2A ，3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具， B 表示如期到达。

则4
1()()(|)i i i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=
答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为
, 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩
，其它
求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x )； （3） P (0.5 < X <2 )。

解：
1
21001 ()| 1
22
2
A A
f x dx Axdx x A +∞
-∞==
===⎰
⎰（）
20 01 ()()2
1 ()()x
x
x
x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞
-∞
≤<===≥==⎰⎰⎰
当时，当时，1
22 1
0, 0
(), 0 1
1, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
⎰故
(3) P （1/2<X<2）(2)—F(1/2)=3/4 四（2）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
求（1）k ；（2）分布函数F (x )； （3）P (1.5 <X <2.5)
解：2
22
00(1) ()(1)()|22 1 2
1/2
k f x dx kx dx x x k k +∞
-∞=+=+=+==-⎰
⎰ 2
020 ()()0 02 ()()(0.51)
4
2 ()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<==-+=-+≥==⎰
⎰⎰⎰
（）当时，当时，当时，2
0, 0
(), 02
41, 2
x x
F x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩故
(3) P （1.5<X<2.5）(2.5)—F(1.5)=1/16
四（3）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
,010 ,)(x x a x f
求（1）a ；（2）X 的分布函数F (x )；（3）P ( X >0.25)。

解：102
(1) () 1 3
3/2
f x dx a a +∞
-∞====⎰
⎰ ⎩⎨
⎧≤≤+=其它
,020 ,1)(x kx x f
3/20 01 ()()
1 ()() 1 x
x
x F x f t dt x x F x f t dt -∞
-∞
≤<===≥==⎰⎰
⎰
当时，当时，3/2 0, 0
(), 01
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
(3) P （X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧∈=其它
,0),0(
,2)(A x x x f 求（1）A ；（2）分布函数F (x )；（3）P (－0.5 < X <1)。

解：
20
(1) ()2 1
1
A
f x dx xdx A A +∞-∞
====⎰
⎰
2020 ()()0 01 ()()2
1 ()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰⎰⎰
（）当时，当时，当时，2
0, 0 (), 0 1
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
(3) P （-0.5<X<1）(1)—F(-0.5)=1 四（5）、已知连续型随即变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-=其它 ,01 ,1)(2x x c
x f
求（1）c ； （2）分布函数F (x )；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。

解：
1
111
(1) ()arcsin | 1
1/
f x dx c x c c ππ+∞
--∞
-=====⎰
⎰
11
11 ()()arcsin |
1
(arcsin 2
x
x
x
x F x f t dt t x π
π
π
--∞--≤<===
=
+
⎰⎰
当时，)
1 ()() 1
0, 1
1 ()(arcsin ), 12x x F x f t dt x F x x x ππ
-∞
≥==<-=+≤<⎰
当时，故－ 1
1, 1
x ⎧⎪⎪
⎨⎪≥⎪⎩
(3) P （-0.5<X<0.5）(0.5)—F(-0.5)=1/3
四（6）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧>+=-
其它
,00 ,)(22
x Be A x F x
求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x )；（3）P (1<X <2 )。

解：0(1) lim () 1
lim ()0
1
x x F x A F x A B B +
→+∞
→===+==-
2
/22, 0
() ()
0, 0
x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩（）
(3) P （1<X<2）(2)—F(1)=22/1---e e
四（7）、已知连续型随机变量X 的分布函数为 x B A x F arctan )(+=
求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x )；（3）P (1<X <2 )。

解：(1) lim () 1
2
lim
()02
A 1/2, 1/
x x F x A B F x A B B π
π
π→+∞
→-∞=+
==-=== 221
() ()
(1)
f x F x x π'==
+（）
(3) P （0<X<2）(2)—F(0)=2arctan 1
π
四（8）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1 ,110 ,0
,0)(x x x A x x F
求（1）A ； （2）密度函数f (x )；（3）P (0< X < 0.25 )。

解：
1
(1) lim () 1
1 x F x A A →==
=21 () () 0, x f x F x <<'==⎩
（）
其他 (3) P （0<X <0.25）=1/2 四（9）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤>-=2
,02 ,1)(2
x x x A x F 求（1）A ； （2）密度函数f (x )；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

、解：
2
(1) lim ()1/40
4 x F x A A →=-==328, 2
() () 0, 2
x f x F x x
x ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩（）
(3) P （0<X<4）=3/4
四（10）、已知连续型随机变量X 的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(
,2)(2a x x
x f π
求（1）a ； （2）分布函数F (x )；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

解：202(1) () 1 a x f x dx dx a ππ+∞-∞===⎰⎰222020 ()()0
2 0 ()()
()() 1 x
x
x
x x F x f t dt t x
x F x f t dt dt x F x f t dt πππ
π-∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，22 0, 0
(), 0
1, x x
F x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故 (3) P （-0.5<X<0.5）(0.5)—F(-0.5)=241
π
五（1）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1，L 2并联而成，且L 1、L 2的寿命别
服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。

求系统L 的寿命Z 的密度函数。

解：令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝ (X , Y )。

显然，当z ≤0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P ( (X , Y )≤z )＝0； 当z >0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P ( (X , Y )≤z )
＝P (X ≤z , Y ≤z )＝P (X ≤z )P (Y ≤z )＝dy e dx e z
y z
x ⎰⎰--00βαβα＝)1)(1(z z e e βα----。

因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为
f Z (z )＝⎩⎨⎧≤>+-+=+---0
0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d
z z z Z βαβαβαβα
五（2）、已知随机变量X ～N （0，1），求随机变量Y ＝X 2的密度函数。

解：当y ≤0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (X 2≤y )＝0；
当y >0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (X 2≤y )＝)(y X y P ≤≤- ＝dx e dx e x
y
x
y y
2
/0
2
/2
2
21
221---
⎰
⎰=π
π
因此，f Y (y )＝⎪⎩
⎪⎨
⎧≤>=-
0. 0,0, , 2)(2
/y y y e y F dy d
y Y π 五（3）、设系统L 由两个相互独立的子系统L 1、L 2串联而成，且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。

求系统L 的寿命Z 的密度函数。

解：令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命，则系统L 的寿命Z ＝ (X , Y )。

显然，当z ≤0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P ( (X , Y )≤z )＝0；
当z >0时，F Z (z )＝P (Z ≤z )＝P ( (X , Y )≤z )＝1－P ( (X , Y )>z )
＝1－P (X >z , Y >z )＝1－P (X >z )P (Y >z )＝dy e dx e z y z x ⎰⎰+∞
-+∞
--βαβα1＝z e )(1βα+--。

因此，系统L 的寿命Z 的密度函数为
f Z (z )＝⎩⎨⎧≤>+-=+-0
0,0 ,)()()(z z e z F dz d
z Z βαβα
五（4）、已知随机变量X ～N （0，1），求Y ＝的密度函数。

解：当y ≤0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P ( |≤y )＝0； 当y >0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P ( |≤y )＝)(y X y P ≤≤- ＝dx e dx e x
y
x
y
y
2
/0
2
/2
2
21221----⎰
⎰=π
π
因此，f Y (y )＝⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=- 0. 0,0,
2)(2
/2y y e y F dy d y Y π
五（5）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f (x , y )=
⎩
⎨
⎧>>+-. ,0;
0,0 ,)32(其它y x Ae y x
（1） 求系数A ；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}。

解：（1）由1＝dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞
-+∞-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞-⋅==0
30
2)32(00
),(
＝,6
)3
1)(2
1(0
30
2A e e A y
x
=
--+∞
-+∞- 可得A ＝6。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
(x )＝⎩⎨
⎧>-.
,0;
0 ,22其它x e x 和 (y )＝ ⎩⎨
⎧>-.
,0;
0 ,33其它y e y ， 则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= (x )* (y )，所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}＝dy e dx e dxdy e y x y x ⎰⎰⎰⎰--+-⋅=1
032
02)32(201
0326 ＝).1)(1())((341
032
02------=--e e e e y x
五（6）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f (x , y )=
⎩⎨
⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)43(其它y x Ae y x （1） 求系数A ；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由； （3） 求P { 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}。

解：（1）由1＝dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞
-+∞-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞-⋅==0
40
3)43(00
),(
＝,12
)4
1)(3
1(0
40
3A
e e A y
x
=
--+∞
-+∞- 可得A ＝12。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
(x )＝⎩⎨
⎧>-.
,0;
0 ,33其它x e x 和 (y )＝ ⎩⎨
⎧>-.
,0;
0 ,44其它y e y ， 则对于任意的,),(2R y x ∈ 均成立f (x , y )= (x )* (y )，所以X 与Y 独立。

（3）P { 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}＝dy e dx e dxdy e y x y x ⎰⎰⎰⎰+∞
-+∞
-+-⋅=0
403)43(101
04312
＝).1)(1())((431
041
03------=--e e e e y x
五（7）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f (x , y )=
⎩
⎨
⎧≤≤≤. ,0; 10
,6其它y x x （1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度(x )，(y )；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由。

解：（1）当x <0或x >1时， (x )＝0； 当0≤x ≤1时， (x )＝).1(66),(1
x x xdy dy y x f x -==⎰⎰+∞
∞-
因此，（X ，Y ）关于X
的边缘概率密度 (x )＝⎩⎨⎧≤≤-.
,0,
10 ,662其它x x x
当y <0或y >1时， (y )＝0； 当0≤y ≤1时， (y )＝.3|36),(2020y x xdx dx y x f y
y
===⎰⎰+∞
∞-
因此，（X ，Y ）关于Y
的边缘概率密度 (y )＝⎩
⎨⎧≤≤. ,0,10 ,32其它y y
（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而 (1/2) (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2,
1/2)，
所以，X 与Y 不独立。

五（8）、设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为
f (x , y )=⎩⎨⎧<<-.
,0; 0 ,其它y x e y
（1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度(x )，(y )；
（2） 判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由。

解：（1）当x ≤0时， (x )＝0； 当x >0时， (x )＝.),(x x
y e dy e dy y x f -+∞
-+∞
∞
-==⎰⎰
因此，（X ，Y ）关于X
的边缘概率密度 (x )＝⎩
⎨⎧>-. ,0,
0 ,其它x e x
当y ≤0时， (y )＝0；
当y >0时， (y )＝.),(0y y
y ye dx e dx y x f --+∞
∞-==⎰⎰
因此，（X ，Y ）关于Y
的边缘概率密度 (y )＝⎩
⎨⎧>-. ,0,
0 ,其它y ye y
（2）因为f (1, 2)＝2，而 (1) (2)＝1*22＝2 3≠f (1, 2)，
所以，X 与Y 不独立。

五（9）、设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨⎧>=-其它
,00,)(x e x f x
设F (x )是X 的分布函数，求随机变量(X )的密度函数。

解：当y <0时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (F (X )≤y )＝0； 当y >1时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P (F (X )≤y )＝1；
当0≤y ≤1时，F Y (y )＝P (Y ≤y )＝P ((F (X )≤y )＝))((1y F X P -≤
＝y y F F =-))((1 因此，f Y (y )＝
⎩⎨
⎧≤≤= .
0,,10 ,1)(其它y y F dy d
Y 五（10）、设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f (x , y )=
⎩
⎨
⎧≤≤≤. ,0; 10
,8其它y x xy （1）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度(x )，(y )；
（2）判断X ，Y 是否独立，并说明理由。

解：（1）当x <0或x >1时， (x )＝0； 当0≤x ≤1时， (x )＝).1(4|48),(2121
x x y x xydy dy y x f x x -=⋅==⎰⎰+∞
∞-
因此，（X ，Y ）关于X
的边缘概率密度 (x )＝⎩⎨⎧≤≤-.
,0,
10 ,443其它x x x
当y <0或y >1时， (y )＝0；
当0≤y ≤1时， (y )＝.4|48),(3020y x y xydx dx y x f y y
=⋅==⎰⎰+∞
∞- 因此，（X ，Y ）关于Y
的边缘概率密度 (y )＝⎩⎨⎧≤≤.
,0,
10 ,43其它y y
（2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而 (1/2) (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2
所以，X 与Y 不独立。

六（1）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为7 66 9⎛⎫
⎪⎝⎭ 求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=7+9+2*6=28 D ()= 2(X , Y )=7+9-2*6=4 (, )= =7-9= -2
28
14
*282)
()(),(,-=-=
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2-2 4⎛⎫
⎪⎝⎭
和
⎛
⎪
⎪⎭
六（2）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为9 22 1⎛⎫
⎪⎝⎭ 求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=9+1+2*2=14 D ()= 2(X , Y )=9+1-2*2=6 (, )= =9-1=8
21
46
*148)
()(),(,==
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 14 88 6⎛⎫
⎪⎝⎭
和
⎛
⎪
⎪⎭
六（3）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 9 66 6⎛⎫
⎪⎝⎭－－ 求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=9+6-2*(-6)=27 D ()= 2(X , Y )=9+6+2*(-6)=3 (, )= =9-6= 3
3
13
*273)
()(),(,==
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ 所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 27 33 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和 1
1
3
⎛
⎝六（4）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 4 55 9⎛⎫
⎪⎝⎭－－ 求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=4+9-2*(-5)=23 D ()= 2(X , Y )=4+9+2*(-5)=3 (, )= =4-9= -5
69
53
*235)
()(),(,-=-=
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 23 -5-5 13⎛⎫
⎪⎝⎭
和
⎛
⎪
⎪⎭
六（5）、已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为 1 11 4⎛⎫ ⎪⎝⎭－
－ 求随机向量（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=1+4-2*(-1)= 7 D ()= 2(X , Y )=1+4+2*(-1)=3 (, )= =1-4= -3
21
33
*73)
()(),(,-=-=
+-+-=
+-Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X —Y ， X ＋Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -3-3 3⎛⎫
⎪⎝⎭
和
⎛
⎪
⎪⎭
求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D ()= 2(X , Y )=5+4+2*2=13 D ()= 2(X , Y )=5+4-2*2=5 (, )= =5-4=1
65
15
*131)
()(),(,==
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
七（1）、设总体X 的概率密度函数是
1, 01(;)0, x x f x a αα-⎧<<=⎨⎩其它
其中0α>为未知参数。

12, , , n x x x 是一组样本值，求参数α的最大似然估计。

解：似然函数1
1
11
n
n
n
i
i
i i L x x αααα--===∏=∏ 1
ln ln (1)ln n
i i L n x αα==+-∑
1
ln ln 0n
i i d L n x d αα==+=∑ 1
ˆln n
i
i n
x
α
==-∑
七（3）、设总体X 的概率密度函数是
22exp{}, 0()0, x x x f x λλ⎧->=⎨⎩其它
λ>0为未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数2
21
1
1
(2exp{})(2exp{})n
n
n
n
n i i
i i i i i L x x x x λλλλ====∏-=∏-∑
21
1
ln ln(2)ln n n
i i i i L n x x λλ===+-∑∑
2
1
ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 21
ˆn
i
i n
x
α
==∑
七（4）、设总体的概率密度函数是
233exp{}, 0
()0, x x x f x λλ⎧->=⎨
⎩
其它 其中λ>0是未知参数，123,,,,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数2
3
2
311
1
(3exp{})(3exp{})n
n
n
n
n i
i i i i i i L x
x x x λλλλ====∏-=∏-∑
2
31
1
ln ln(3)ln n n
i i i i L n x x λλ===+-∑∑
3
1
ln 0n i i d L n x d αλ==-=∑ 31
ˆn
i
i n
x
λ
==∑
七（5）、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()!
x
P e x λλλ-=（x =0，1， ），其中λ
为未知参数，
123,,,
,n x x x x 是一组样本值，求参数λ的最大似然估计。

解：似然函数1
1
1
!
!
n
i
i x n
n i
n
i i i i x L e
e
x x λ
λ
λλ
=--==∑=∏
=
∏ 1
1
ln ln ln(!)n n
i i i i L x x n λλ===--∑∑
1ln 0n
i i x d L n d αλ
==-=∑ 1
ˆn
i
i x
x n
λ===∑
七（6）、设总体X 的概率分布为1-P{= }=(1-),0,1x x X x p p x =。

设123,,,,n x x x x 为总体X 的一组简单随机样本，试用最大似然估计法求p 的估计值
解：()111i
i
n
x x i L p p -==∏- ()11ln ln ln 1n n
i i i i L x p n x p ==⎛⎫⎛⎫
=∑+-∑- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11ln 1101n n i i i i d L x n x dp p p
==⎛⎫⎛⎫=∑--∑= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11ˆn i i p x x n ==∑= 七（7）、设总体X 服从参数为1
θ
的指数分布，123,,,,n x x x x 是一组样本值，
求参数θ的最大似然估计。

解： 1
11
1
1
1n
i
i i n
n
x x i L e e
θ
θθ
θ=--∑=⎛⎫=∏= ⎪⎝⎭
1
11ln ln n i i L n x θθ=⎛⎫=-∑ ⎪⎝⎭。