概率论常用统计分布

E ( X i 2 ) 1 , D ( X i 2 ) 2( i 1 , 2 ,, n )
由中心极限定理得
lim P{n 2nx}
n 2n
n
Xi2n
x
lim P{i1
n
n
x}
1 2et22dt
即2分布的极限分分 布布 是， 正也 态 n 即当
很大 n 2 2 n n 服 时 N ( 0 ,1 从 )进 ， , n 2 而 N ( n ,2 n ).
u1αO uα
x
2) t分布的上分位 t (n)：
对于,给 0定 1 ,称 的 满足条
P {tt(n ) }t (n )h (t)d t 的 t(n 点 )为 t(n )分布 分 的 .位 上 点
可以通过查表求
得上 分位点的 . 值
y y h( x)
由分布的对称性知 t1 (n ) t(n ).
样本均值的分布将随样本量
增大而接近正态分布,
但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6 个，在其中他发现实际数据的分布情况与
正态分布有着较大的差异.
y
Cosset样本曲线
正态曲线
O
x
于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的 其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线， 并在1908年以Student笔名发表了此项结果，
从而 (Y i)2~2 (1 )i, 1 ,2 , ,9 . 3
由可加性知
9 (Yi )2 ~ 2(9)
i1 3
于是由t 的定义有
X 9X ~t(9)
19i91Yi2
9
Yi2
i1
9
Xi
即
T i 1 ~ t ( 9 ).
9
Yi2
i1
3. F分布
(1) 定义
定义5.8 设 X ~2(n 1),Y~2(n 2)且 ,X ,Y 相互
x2 e 2
2
0
x0 其它
证 因 为 2(1)分 布 即 为 1 2,1 2分 布 ,
又X 因 i~N (为 0 ,1 ),由定 X i2~义 2(1),
即 Xi2~1 2,1 2, i1,2, ,n.
因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 相互 , 独立 所X 以 1 2,X2 2, ,Xn 2也相互 , 独立
二、概率分布的分位数
1. 定义
定义5.9 对 于 总 体 X 和 给 定 的 ( 0 1 ) ,
若存在 x , 使
P {Xx}
则x 称 为 X 的分布 分 的位 .上数 侧
2. 常用分布的上侧分位数记号
分布 N(0,1) 记号 u
2(n) t(n) F(n1,n2) 2(n) t(n) F(n1,n2)
D(n2)D n Xi2 i1
n i1
D( Xi2)
2n.
性质3 设 n 2~2(n)则 , 对x,任 有意
limP{n 2nx} x 1et2 2dt.
n
2n
2
n
证 由假 5 .6 ,设 n 2 X 和 i2 ,其 X 定 1 ,X 中 2 , ,X 义 n
i 1
独立X 且 i~N (每 0,1)因 ,个 X 而 1 2,X 2 2, ,X n 2独立,同 且
则 Y 2 X 3 X 4 4 X 5 X 6~ N (0 ,1 )
又 Y1X12X2与Y2X3X4 4X5X6
相互独立.
所以 (X1X2)2(X3X4X5X6)2
2
4
Y12Y22 ~ 2(2)
则 C 1 12,C 2 14.
2. t 分布
历史上，正态分布由于其广泛的应用背景 和良好的性质，曾一度被看作是万能分布， 在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻 的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验 数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认 识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，
例1 设X ~ N (0,4),Y ~ 2(2)，且X ,Y相互独立，
试求解 X 2 Y 的概率分布. 4
解 因为 X~N(0,且 4)X,Y相互独立，所
X ~ N(0,1) 且X2与Y相互2 独立
4 又因X为 2 ~χ2(1)，由可加性得
4
得
X2Y~χ2(3). 4
例2 设 X 1 ,X 2 , ,X 6 为来N 自 (0 ,1 ) 的 正 一
费歇(R.A.Fisher)公式：
费歇资料
当 n 充分大时, 2 (n) n 2nu .
其中 u是标准正态 分 分位 布 . 点 的上
例如： 0 2 .0 ( 1 5) 2 10 2 2 0 1 2 u 0 .00 5
12 2 0 4 1 .6 04
14.5.5
2) F (n1,n2 )：对 于 0 .0,0 1 .0,2 0 .0 5 ,0 5 .1 等，
设 Yi ~ 2(ni ), 并且 Yi (i 1, 2,, m) 相互
m
独,则 立Y i~2(n 1n 2 n m ).
i1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若
2 n
~
2(n),
则
E
(
2 n
)
n,
D(
2 n
)
2n.
证 因X 为 i~N (0,1),所以
E ( X i2 ) D ( X i) [ E ( X i)2 ]1 ,
根 据 分 布 的 可 加 性 知n 2i n 1X i2~ n 2 ,1 2 .
(3) 2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 Y1 ~ 2(n1), Y2 ~ 2(n2 ), 并且 Y1, Y2 独
立 ,则 Y 1 Y 2 ~2 ( n 1 n 2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
则称随机变量 F X / n1 Y / n2
服从自 (n1,由 n2)的 F 度 分为 布，记为
F~F (n 1,n2).
(2) F (n1, n2 )分布的概率密度为
p(
y)
n1
2
n2
n1 n2
n1
2
n11
y2
n1n2
n1 2
n2 2
1
nn12y
2
,
y0
0,
其它
(3) F分布有以下性质
可直接查 5~表 8.
F0.05(14,30)2.31.
F0.025(7,8) 4.90,
的点 2(n)为2(n)分布的上侧 . 分位数
y y p( x)
α
O
χα2 ( n)
x
当n 60时，可查表4(表4只详列到 n=60 为止).
02.025(8) 17.53,5
02.975(10)3.24,7
02.1(25) 3.4 38. 2
当n 60时，2 (n) n 2n u .
2
t y
t分布的概率密度曲线如图. 显然图形是关于 t 0 对称. 当n充分大时，其图形
类似于标准正态变量 O
概率密度的图形 .
n n2 n9 n2
x
因为 lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以 n足当 够 t分 大 布 时 N 近 (0,1)分 似,布 于
但对于 n, t较 分小 布 N (0,1 的 与 )分布相 . 差
1 P { X u } 1 (u )
即 (u ) 1 给 ,由 定2 附 可u 表 查 的 .得 值
( u ) 1
u0.051.64,5
0.95 ( 0.05)
u0.025 1.96,
0.975 ( 0.025)
根据正态分布的对称性知
u1u.
y y φ( x)
1α 1αα
S1m (X2Y2Z2) 2
的分布规律.
要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量 X 2Y2Z2
的概率分布. 对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方
和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方 分布就是在类似的实际背景下提出的.
(1) 定义
定义5.6 设 X 1 ,X 2, ,X n 是来 N (0 自 ,1 )的 总 样
后人称此分布为t 分布或学生氏分布.
(1) 定义
定义5.7 设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y
独立,则称随机变量 T X Y/n
服从自 n的 由 t分度 ,布 记 为 T 为 ~t(n).
t 分布又称学生氏
(Student)分布.
(2) t(n) 分布的概率密度函数为
h(t)πnn21n1tn2n21,
当 n 4 时 ,5 t ( n ) u .
1α α O tα(n) x
t0.05(10)1.812, 5 t0.025(15) 2.13.15
(2) X的分布密度无对称性的情形
1) 2 (n) : 对于给定 ,0 的 1,正 称数 满足
P {2 2 (n ) } 2 (n )p (y ) d y
样,求 本 C1,C2使得
Y C 1 ( X 1 X 2 ) 2 C 2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 ) 2
服从 2分布 .
解 X 1 X 2 ~ N ( 0 ,2 )则 ,Y 1X 1 2X2~N (0,1) 同 X 3 X 理 4 X 5 X 6 ~ N ( 0 , 4 ),
1) 若 F ~ F (n 1 ,n 2 ),则 F 1~ F (n 2 ,n 1 ).
2)
E (F )n 2 , n 22
(n 22 ),
D (F )n 1 2 (n n 2 2 2 ( n 1 2 )2 n (2 n 2 2)4), (n 24)
3) 设 F ~ F ( n 1 ,n 2 )则 ,n 2 4 当 时 ,对 x 有 任
概率论常用统计分布
It is applicable to work report, lecture and teaching
第二节 常用统计分布
一、常见分布
二、概率分布 的分位数
回
停 下
一、常见分布
在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有 关随机变量的函数的概率分布.
例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号 是一个随机变量X ，若我们把 这个信号通过平方示波器，则 输出的信号为
YX2
通常需要求出Y的概率分布. 本节介绍一些最常见的统计分布.
1. 2 分布
正态分布是自然界中最常见的一类概率 分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身
高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题 是关于这些正态随机变量的平方以及平方和 的概率分布问题.
例如在统计物理中，若气体分子速度是随 机向量 V(X ,Y,Z)各分量相互独立，且均服 从 N(0,1.5), 要求该分子运动动能
从X 而 2~2 (1 ),且 X 2 与 Y 独 , 立
由定 5.8,有 义 T2X 2~F (1,n ). Yn
例5 设X ~ F (n, m)(n 4),试求EX 1, DX 1.
解 因为 X~F (n ,m ),所以
由F分布的性质知
所以得
X1~F(m,n)
EX1 n , n2
DX 1m n2((n2m2)22(n n44)).
本 ， 则 称 统 计 量 χ n 2 X 1 2 X 2 2 X n 2 服 从
自由n度 的 2为 分.布
自由度：
指 n 2X 1 2X 2 2 X n 2中右端包
变量的个数.
(2) χn2分布的概率分布
定理5.4 n 2分 布 的 概 率 1 (n)
n1 x
E(Xi4) x4
1 2ex22dx
2
2
x3dex22
0
22[x3ex2203x2ex22dx] 3
0
D ( X i2 ) E ( X i4 ) [ E ( X i2 )2 ] 312, ( i 1 ,2 , ,n )
故E(n2)E n Xi2 i1
n
E(Xi2) n,
i1
( E(Xi2) 1 )
lim P {FE (F )x}x 1et2 2dt
n 1 D (F )
2π
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例4 已 T ~ t ( n 知 ) 试 , T 2 ~ 证 F ( 1 ,n ).
证 因T 为 ~t(n),由定 5.7有 义 T X Yn
其 X ~ 中 N (0 ,1 )Y ,~2 (n )且 ,X ,Y 独 , 立
3. 查表法
(1) 若X的分布密度关于y轴对称，则
x1x
y
1
特例：
1 )N ( 0 ,1 ) ： u 1 u
•
x
O
•
x
x
2 )t ( n ) :t 1 ( n ) t ( n )
1) 正态分布的上侧分位数u：
设X服从标准正 N(0态 ,1)则 ,分其 布上侧
分位u数 满足
P {Xu }1 2πu ex 2 2d x
(3) T的数字特征
E(T)0, D (T) n (n2).
n2
例3 设总体X和Y相互独立,且都服从N（0,9）
X1, X2,, X9和Y1,Y2,,Y9来自总体X ,Y的样本，
求统计量T的分布，其中
9
9
T Xi / Yi2 .
i 1
i 1
解 从抽样分X布 ~N知 (0,1)
而 Y i~ N ( 0 , 9 ) 故 Y ,i/3 ~ N ( 0 , 1 ) ，