2021年高中数学第一章统计1.5.2估计总体的数字特征学案北师大版必修3

1
s1＝
62＋32＋02＋12＋82 ＝ 22，
5
1
s2＝
82＋72＋42＋102＋92 ＝ 62，
5
∴ s1<s2.本题考查统计初步及茎叶图的信息处理问题，可以通过图中数据的对称性从直观 上进行观察，也可以通过正确的计算进行比较．
三、解答题
4．甲、乙两人学习成绩的茎叶图如图所示.
(1)分别求出这两名同学学习成绩的平均数和标准差； (2)比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法． 解：(1)x 甲≈87，s 甲≈12.7；x 乙≈93，s 乙≈11.2. (2)由于 x 甲<x 乙，s 甲>s 乙， 所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好，也没有乙的学习成绩稳定．
[答一答] 平均数与标准差在估计总体时有何差异？ 提示：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们对总体作
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出片面的判断，样本中的极端值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以反映样本数据的 实际状态．
当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征， 而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数 周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大， 表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．
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品种
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广．
解：甲种冬小麦的平均单位面积产量
9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2 x 甲＝
5
＝10，
乙种冬小麦的平均单位面积产量
9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8 x 乙＝
6＋7 × 3＋8
【解】 x 甲＝
＝7，
5
6 × 2＋7 × 2＋9
x 乙＝
＝7，
5
12Biblioteka s 甲2＝ [(6－7)2＋3×(7－7)2＋(8－7)2]＝ ＝0.4，
5
5
1
6
s 乙2＝ [2×(6－7)2＋2×(7－7)2＋(9－7)2]＝ ＝1.2，
5
5
10 30
所以它们的标准差分别为： ， .
55
规律方法 (1)方差的计算
(1)从数字特征上描述一组数据的情况 平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以 说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度． (2)方差和标准差的运用 一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的 平方，标准差的单位与原单位相同．
x1－x 2＋ x2－x 2＋…＋ xn－x 2 ，s2 表示样本方差．
n
(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根．s＝
x1－x 2＋ x2－x 2＋…＋ xn－x 2 ，s 表示样本的标准差．
n
(3)计算样本数据 x1，x2，…，xn 的标准差的算法步骤为： S1 算出样本数据的平均数 x. S2 算出 xi－x，其中 i＝1,2，…，n； S3 算出 xi－x 的平方，其中 i＝1,2，…，n； S4 算出样本方差； S5 算出样本标准差．
某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其 中茎为十位数，叶为个位数．若该日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎
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叶图推断该车间 12 名工人中优秀工人的人数为 4.
17＋19＋20＋21＋25＋30 解析：因为样本均值为
5 (9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
则 s 甲2＝0.02<s 乙2＝0.244，所以甲种冬小麦的平均单位面积产量比较稳定，因此选择甲种
冬小麦进行推广．
——易错警示——
因不理解相关联的两个样
本的数据特征而出错
【例 4】 一组数据的方差是 s2，将这组数据中的每一个数都乘以 2，得到一组新数据，
乙机床生产的零件质量更符合要求．
规律方法 样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际
问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与
平均数的偏离程度．
甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)
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5．2 估计总体的数字特征
知识点 平均数与方差、标准差
[填一填]
1．平均数
x1＋x2＋…＋xn
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么 x＝
，叫作这 n 个数的平均数． n
2．样本的方差与标准差
(1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平
均数波动的大小．一般地，设样本的元素为 x1，x2，…，xn，样本的平均数为 x，定义 s2＝
值仍然为 M，即 M＝N.故应选 B.
二、填空题
3．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生的学 分，用茎叶图表示(如下图)．s1，s2 分别表示甲、乙两班各自 5 名学生学分的标准差，则 s1<s2.(填“>”“<”或“＝”)
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解析：由茎叶图可计算得 x 甲＝14，x 乙＝14，则
5
＝10，
则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同．
1 甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为 s 甲2＝ ×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋
5 (10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
1 乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为 s 乙2 ＝ ×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋
4 1 x 乙＝ ×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10. 4
由于 x 甲＝x 乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．
(2)再计算方差：
1 s 甲2＝ ×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
4 1 s 乙2＝ ×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005. 4 s 甲2>s 乙2 ，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，
本例中的各数据都增加 1，试计算以上两组数据的平均数与方差．
7＋8＋8＋9＋8
解：x 甲＝
＝8，
5
7＋8＋7＋8＋10
x 乙＝
＝8，
5
1 s 甲2＝ [(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2]
5
＝0.4.
1 s 乙2＝ [(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝1.2.
所以 s′2＝
2x1－2x 2＋ 2x2－2x 2＋…＋ 2xn－2x 2 n
4
＝ [(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]＝4s2. n
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故答案选 C. 【答案】 C 【纠错心得】 若新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的 2 倍，则新样本的平均 数是原样本平均数的 2 倍，方差为原来的 4 倍，标准差为原来的 2 倍．
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1 ①基本公式 s2＝ [(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
n
②简化计算公式：
1
1
s2＝ [(x21＋x ＋…＋x )－ 2]，或写成 s2＝ (x ＋x ＋…＋x )－ 2，即方差等于原数据平方
2
2n x
21
2
n2 x
n
n
的平均数减去平均数的平方．
其方差是( ) 1
A. s2 2
C．4s2
B．2s2 D．s2
【错解】 B
【错解分析】 因为本题中新数据的每一个数都是原数据的 2 倍，因而盲目地选 B 得到
方差也是原方差的 2 倍．
【正解】 设一组数据 x1，x2，…，xn，
则 s2＝
x1－x 2＋ x2－x 2＋…＋ xn－x 2 ，
n
将每一个数乘以 2，则 x′＝2x.
列说法：
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表
现时好时坏．
其中正确的个数有( D )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解 析：四种说法都正确，甲队的平均进球数多于乙队，故第一句正确；乙队标准差较小，
说明技术水平稳定；甲队平均进球数是 3.2，但其标准差却是 3，离散程度较大，由此可判断 甲队表现不稳定；乙队平均进球数是 1.8，标准差只有 0.3，每场的进球数相差不多，可见乙
5
类型二 从茎叶图表示的数据估计总体
【例 2】 从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位：mm)，由 抽测结果设计了如图所示的茎叶图．
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根据茎叶图，将甲、乙两个品种的棉花的纤维长度做比较，写出两个统计结论． 【思路探究】 分析出样本的分布，来估计总体的分布，分析出样本的数字特征，来估 计总体的数字特征，从而达到比较两个总体的目的． 【解】 从不同的角度分析，可得如下结论： ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或乙品种棉花的纤维长 度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)． ②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较 甲品种棉花的纤维长度更集中，或甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长 度的分散程度更大)． ③甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318 mm. ④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在平均数附近．甲品种棉花的 纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，分布较均匀． 注：答案不唯一，写出两个即可． 规律方法 一般来讲，总体所包含的个体数往往是很多的，总体的数字特征，尤其是平 均数与标准差很难求出，通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准 差，从而反映总体的平均水平和稳定性．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布 是类似的，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
如果数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 10，方差为 2，则数据 7x1－2,7x2－2,7x3－ 2，…，7xn－2 的平均数为 68，方差为 98.
解析：平均数＝7×10－2＝68；方差＝72×2＝98，故答案为 68,98.
一、选择题
1．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比 赛进球个数的标准差为 3；乙队平均每场进球数为 1.8；全年比赛进球个数的标准差为 0.3.下
队的确很少不进球．
2．期中考试以后，班长算出了全班 40 人数学成绩的平均分数为 M，如果把 M 当成一
个同学的分数，与原来的 40 个分数一起算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M N 为( B )
40
41
A.
B．1
C.
D．2
41
40
解析：由于原来 40 个人的成绩的平均分当成一个同学的分数，那么这 41 个分数的平均
(2)平均数、方差的性质
①如果 x1，x2，x3，…，xn的平均数是 x，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数 是 mx＋a.
②数据 x1，x2，…，xn 与数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差相等． ③如果 x1，x2，…，xn 的方差为 s2, 那么 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2.
机床甲
10
9.8
10
10.2
机床乙
10.1
10
9.9
10
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产
的零件质量更符合要求？
【思路探究】 在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际
问题时，一般多采用标准差．
【解】 (1)先计算平均直径：
1 x 甲＝ ×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，
类型一 方差、标准差的计算
【例 1】 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习，每人投 10
次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
求以上两组数据的方差及标准差．
【思路探究】 解答本题的关键是掌握方差、标准差的计算公式和求解步骤．
6
＝22，所以样本中优秀工人占的比例为
21
1
＝ ，而 12× ＝4，故推断该车间 12 名工人中有 4 名优秀工人．
63
3
类型三 平均数、方差的应用
【例 3】 两台机床同时生产直径(单位：cm)为 10 的圆形截面零件，为了检验产品质量，
质量检验员从两台机床的产品中各抽出 4 件进行测量，结果如下：