高三数学上学期第一次诊断考试试题 文(2021年整理)

四川省资阳市2017届高三数学上学期第一次诊断考试试题文
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资阳市高中2014级高三第一次诊断性考试
数 学（文史类）
注意事项:
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}|(2)(2)032234M x x x N =+->=--，，，，，，则M N = (A){}34，
(B ）{}334-，，
(C ）{}234-，，
（D){}32234--，
，，， 2．设i 是虚数单位，则复数43i
i
-= （A) 34i -+
（B) 34i - (C ） 34i + (D) 34i --
3．“2x >”是“1
12
x
<”的 （A) 充分不必要条件 (B ） 必要不充分条件
（C ） 充要条件
（D ） 既不充分又不必要条件
4．函数π
sin(2)3
y x =-的图象的一条对称轴方程为 (A ） π12x =
(B ） π12x =-
（C) π6
x =
(D) π6
x =-
5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1516a a ⋅=，22a =,则公比q = (A ） 4
(B) 52
(C) 2 (D ） 12
6．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,(2)(0)P m m m -≠，是角α终边上的
一点．则tan(
)4
απ+的值为 (A ） 3 （B ） 13
(C) 1
3
-
(D ） 3-
7．函数222x y x =--||的图象可能是
8．设n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,若552a b =，则9
9
S T = (A ） 2 (B) 3 (C) 4
（D ） 6
9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 值为 (参考数据：3 1.732=,sin150.2588︒≈，
sin7.50.1305︒≈)
（A) 12 （B ） 24 (C ） 48 （D ） 96
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列结论一定成立的是 (A ） 若50a >，则20170a < （B ） 若60a >，则20180a < (C) 若50a >,则20170S > (D) 若60a >,则20180S >
11．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且满足24OA OB OC ++=0,则AB OA ⋅=
（A ） 154
-
(B ） 74
-
(C ） 74
（D ） 154
12．已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立,
则
（A) 4(1)(2)f f < (B) 4(1)(2)f f > （C) (1)4(2)f f <
(D ） (1)2(2)f f '<
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答. 注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．计算：lg42lg5+=___________．
14．已知实数x ，y 满足不等式组02,
220,x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩
，≥≥≤则2x y -的最大值是___________． 15．已知a ，b 为正实数,向量(4)a =，m ,向量(1)b b =-，n ，若m ∥n ，则a b +最小值为___________．
16．已知数列{}n a 是以t 为首项，以2为公差的等差数列,数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+．若对于*
n ∈N 都有4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知函数1()2sin()cos 62
f x x x ωωπ
=-⋅+ （其中0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ) 将函数()f x 的图象向左平移6
π个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在[]-ππ，上零点．
18．（本小题满分12分）
已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-（其中e 是自然对数的底数,e ＝2.71828…）．
（Ⅰ） 当x ＞0时，求()f x 的解析式；
(Ⅱ) 若[02]
x∈，时，方程()
=有实数根，求实数m的取值范围．
f x m
19。

（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ,满足
2cos cos c a b
A B
-=
,D 是BC 边上的一点． （Ⅰ) 求角B 的大小；
(Ⅱ） 若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长.
20.（本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且122n n S +=-（*n ∈N ）。

(Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln a
f x a x x x
=--（其中a ∈R ）。

（Ⅰ) 若()f x 在其定义域内为单调递减函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ) 是否存在实数a ，使得当2[e e ]x ∈，时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求a 的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e 是自然对数的底数，e ＝2。

71828…）。

请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑.
22．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为2
62x t y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（其中t 为参数)．现以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=．
(Ⅰ） 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
(Ⅱ) 过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求||AB 。

23．（本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x m x =++-(其中m ∈R )．
(Ⅰ) 当3m =时，求不等式()6f x ≥的解集；
(Ⅱ) 若不等式()8f x ≥对任意实数x 恒成立,求m 的取值范围．
资阳市高中2014级第一次诊断性考试
数学参考答案及评分意见(文史类）
一、选择题
1.B
2.D 3。

A 4.B 5。

C 6。

C 7.D 8.A 9。

B 10。

C 11。

C 12。

B 二、填空题
13．2；14．6；15．9;16．[18,14]--． 三、解答题
17．（Ⅰ） 211()2sin()cos 3sin cos cos 622
f x x x x x x ωωωωωπ
=-⋅+=⋅-+
31sin 2cos2sin(2)226
x x x ωωωπ
=
-=-． 由最小正周期22T ω
π
=
=π,得ω=1． ············· 6分 (Ⅱ) 由（Ⅰ)知()sin(2)6f x x π
=-,将函数()f x 的图象向左平移6
π个单位, 得到图象的解析式()sin[2()]sin(2)666
h x x x πππ=+-=+，
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()6
g x x π=+． 由6x k k π+=π∈Z ，，得6
x k π=π-, 故当[]x ∈-ππ，时,函数()g x 的零点为6π-和6
5π
． ········ 12分 18．(Ⅰ） 当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，
当x ＞0时，则－x ＜0时,()(2)e 2x f x x -=-+-, 由于()f x 奇函数，则()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-，
故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． ·············· 6分 （Ⅱ) 当0x =时， (0)0f =．
当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=,得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，则()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2)上单调递增．则()f x 在1x =处取得极小值(1)2e f =-， ·········· 10分
又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时,()[2e 2]f x ∈-，．
综上，当[02]x ∈，时，()[2e 2]f x ∈-，
， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，． ············· 12分 19．（Ⅰ） 由
2cos c a b
B
-=
， 得2cos cos cos c B a B b A -=，即2cos cos cos c B a B b A =+，
根据正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=， 4分 所以2
cos B =
，又0180B ︒<<︒， 所以45B =︒． ······················· 6分 （Ⅱ） 在△ADC 中，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，
由余弦定理得222cos 2AD DC AC ADC AD DC +-∠=⋅22253712532
+-==-⨯⨯,
所以∠ADC =120°，∠ADB =60°， ·············· 9分 在△ABD 中，AD =5，∠B =45°,∠ADB =60°， 由正弦定理，得
sin sin AB AD
ADB B
=
∠， 所以AB =
3
5sin 5sin 60562sin sin 452
AD ADB B ⋅∠︒
==
=︒。

········· 12分
20．（Ⅰ)由122n n S +=-,
当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，
则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时,12a =满足上式，
所以2n n a =． ······················ 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ），2n n n b na n ==⨯． ··············· 7分 则1212222n n T n =⨯+⨯+
+⨯，
所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，
则212222n n n T n +-=++
+-⨯
12(12)
212n n n +-=-⨯-
1(1)22n n +=--．
所以1(1)22n n T n +=-+． ··················· 12分
21．（Ⅰ） 由于()ln a f x a x x x =--，其中x ＞0,222
()1a a x ax a
f x x x x -++'=-+=
只需()0f x '≤在x ＞0时恒成立，
①当a ≤0时，()0f x '<，于是()f x 在(0，+∞)为减函数,
②当a ＞0时，由()0f x '≤在x ＞0时恒成立，即2()0g x x ax a =-++≤在x ＞0恒成立， 可知当x ＞0时，22
max
44()44
a a a a g x --+==
-, 由max ()0g x ≤得40a -≤≤，这与a ＞0不符，舍去．
综上所述，a 的取值范围是(,0]-∞． ············· 4分
(Ⅱ) 22
()x ax a
f x x -++'=．
（ⅰ） 当a ≤0时，()0f x '<,于是()f x 在（0，+∞）为减函数，则在[e,e ²]也为减函数， 知max 1()(e)e (1)e e e
a f x f a a ==--=--＜0恒成立，不合题意,舍去．
5分
（ⅱ） 当a ＞0时，由()0f x '=得24a a a x ++=．列表得
x
（0，
242
a a a
++)
242
a a a
++
(242
a a a ++，
+∞） ()f x '
＋ 0 － ()f x
↗
极大值
↘
①若24e a a a
++≤，即2e e 1a +≤
，此时()f x 在[e,e ²]上单调递减, 知max
1()(e)e (1)e e e a f x f a a ==--=--，而211e 2e
(1)e (1)e 0e e e 1e 1
a -----=<++≤，
于是max ()f x ＜0恒成立,不合题意，舍去． ·········· 8分
②若24e a a a
++>，即2e e 1a >
+时， 此时()f x 在（e ，24)a a a ++上为增函数，在（24a a a ++，＋∞）上为减函数， 要使在[e,e ²］恒有
()0f x >恒成立，则必有2
(e)0(e )0f f >⎧⎨>⎩
，，
则22
e 0e
2e 0e a a a a ⎧
-->⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，，所以24324
2e e e 1e e e .2e 1a a ⎧>=⎪⎪--⎨⎪>⎪-⎩
， ············ 10分 由于3
2
2
3
2
e e (2e 1)e 3e 10---=-+<，则244
322e e e e 1e e 2e 1=>---，所以2e e 1
b >-． 综上所述，存在实数2
e (,)e 1
a ∈+∞-，使得()0f x >恒成立．
···· 12分 选做题
22．（Ⅰ） 由2
62x t y t ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ,得直线l 的普通方程为60x y --=． 又由6cos ρθ=得26cos ρρθ=， 由cos sin x y ρθρθ
⎧⎨
⎩＝，
＝得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=． ···· 5分
（Ⅱ) 过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 的参数方程为21,2.x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
将其代入2260x y x +-=得242+70t t -=, 则1212427t t t t +==，，知1200t t >>，,
所以2121212||||()42AB t t t t t t =-=+-=． ············· 10分 23．(Ⅰ） 当3m =时,()6f x ≥即|1||3|6x x ++-≥．
①当1x <-时，得136x x ---+≥,解得2x -≤；
②当13x -≤≤时，得136x x +-+≥，不成立，此时x ∈∅; ③当3x >时,得136x x ++-≥成立，此时4x ≥。

综上，不等式()6f x ≥的解集为{|2x x -≤或4}x ≥． ······ 6分 （Ⅱ) 因为|1|+|||1|x m x x m x +-++-≥＝|1|m +， 由题意18m +≥， 即18m +-≤或18m +≥,
解得9m -≤或7m ≥，即m 的取值范围是(9][7)-∞-+∞，，． ··· 10分。