2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛物线课件
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解析：xM＋1＝10⇒xM＝9.
3.(2019 年广东中山统测)过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交
抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.若 x1＋x2＝6，则|AB|＝( B )
A.6
B.8
C.9
D.10
解析：由题意知，抛物线 y2＝4x 的准＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两 点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 故选 B.
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式 分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0. ∴kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补， ∴∠ABM＝∠ABN. 综上所述，∠ABM＝∠ABN.
【跟踪训练】
思维点拨：求(1)要写出焦点 F 的坐标p2，0，由点斜式写 出过焦点 F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y2＝ 2px 联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋|BF|， 再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可； (3)中 S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4)中将点到焦 点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出 AB 的中点 M， 再证明 M 点到准线的距离等于12|AB|即可.
思想与方法 ⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题
例题：已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦，F 为抛物 线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ 为直线 AB 与 x 轴的夹角)； (3)S△AOB＝2spin2 θ； (4)|A1F|＋|B1F|为定值； (5)以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切.
∴x1＋x2＋x3＝92.
由抛物线的定义可得 |FA|＝x1－－32＝x1＋32， |FB|＝x2－－32＝x2＋32， |FC|＝x3－－32＝x3＋32， ∴|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＝x1＋32＋x2＋32＋x3＋32＝9.
答案：C
【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值 可以减少运算；第(2)题主要考查抛物线的性质及运算，注意解 析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运 算的准确性与技巧性.
第7讲 抛物线
课标要求
考情风向标
1.本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟 1.了解圆锥曲线的实际背 练掌握抛物线的标准方程、几何图形、简 景，感受圆锥曲线在刻画现单的几何性质及其应用.要善于利用抛物
实世界和解决实际问题中 线的定义将抛物线上的点到准线的距离
的作用.
和到焦点的距离进行转化.
2.经历从具体情境中抽象 2.由于高考对抛物线这一知识点的要求 出抛物线模型的过程，掌握属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为
∵F( 2，0)，∴S△POF＝12|OF|·|y0|＝12× 2×2 6＝2 3.
考点 1 抛物线的标准方程
例 1：(1)(2014 年新课标Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为
F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等
35
A. 5
B.2
11
C. 5
D.3
解析：由题意可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设 抛物线的焦点为 F(1,0)，如图 D58，则动点 P 到 l2 的距离等于 |PF|，动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是焦点 F 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，∴最小值是|4－50＋6|＝2.
1.(2018 年新课标Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点
(－2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则F→M·F→N＝( D )
A.5
B.6
C.7
D.8
y2＝4x， 解析：联立y＝23x＋2， 化简得 x2－5x＋4＝0，解得 x1
＝1，x2＝4.M(1,2)，N(4,4)，F(1,0)，则F→M·F→N＝(0,2)·(3,4)＝8.
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：∵ x－12＋y2表示点 M(x，y)到点 F(1,0)的距离，
即 点 M(x ， y) 到 抛 物 线 y2 ＝ 4x 的 准 线 x ＝ － 1 的 距 离 ，
∵ x－22＋y－12 表 示 点 M(x ， y) 到 点 A(2,1) 的 距 离 ，
∴ x－22＋y－12＋ x－12＋y2的最小值为点 A(2,1)到抛物
2)2＋4p2.
答案：B
图 D56
(3)设 F 为抛物线 y2＝6x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三
点.若F→A＋F→B＋F→C＝0，则|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＝( )
A.4
B.6
C.9
D.12
解析：由题意得，抛物线的焦点为 F32，0，准线方程为
x＝－32.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∵F→A＋F→B＋F→C＝0，∴点 F 是△ABC 的重心，
考点 2 抛物线的几何性质 考向 1 到焦点与到定点距离之和最小问题 例 2：(2019 年江西赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛 物线 y2＝2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取 得最小值的 M 的坐标为( )
A.(0,0)
B.12，1
C.(1， 2)
D.(2,2)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
1.已知抛物线 C：y＝2020x2，则( C ) A.它的焦点坐标为(505,0) B.它的焦点坐标为(0,505) C.它的准线方程是 y＝－80180
D.它的准线方程是 y＝－505
2.若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是__9_.
于到准线的距离，又抛物线的准线方程为 x＝－14，则有|AF|＝ x0＋14，即54x0＝x0＋14.∴x0＝1.
答案：A
(2)(2016 年新课标Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于
A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|＝4 2，|DE|＝
2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0)
标准 方程
y2＝2px
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
图形
焦点
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
(续表) 标准
方程
y2＝2px
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
准线
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
是( )
|BF|－1 A.|AF|－1
|BF|2－1 B.|AF|2－1
C.||BAFF||＋ ＋11
|BF|2＋1 D.|AF|2＋1
解析：SS△ △BACCFF＝BACC＝xxBA＝||ABFF||－－11.
答案：A
图 7-7-1
考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 6：(2018 年新课标Ⅰ)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)， B(－2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. (1)解：当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得 M 的坐 标为(2,2)或(2，－2). ∴直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1.
由抛物线的定义，得 d1＋d2＝|PF|＋d2，
要求|PF|＋d2 的最小值，需 F，P，M 三点共线，
且最小值为|FM|－2＝ 1＋22＋0－42－2＝3.
答案：3
图 D57
(2) 已 知 点 M(x ， y) 是 抛 物 线 y2 ＝ 4x 上 的 动 点 ， 则
x－22＋y－12＋ x－12＋y2的最小值为( )
(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线， ∴∠ABM＝∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0. 由yy2＝＝k2xx－，2， 得 ky2－2y－4k＝0， 可知 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4. 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.①
答案：B
图 D58
【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直(三 点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联 想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到 其焦点的距离，进行转换再求解.
考向 4 抛物线几向性质与三角形的简单应用 例 5：(2015 年浙江)如图 7-7-1，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比
它的定义、标准方程、几何背景的试题中渗透考查了数学的主要思
图形及简单性质.
想，且高考的考查基于“多思少算”的考
3.通过圆锥曲线的学习，进 虑，所以以抛物线为背景的解答题在高考
一步体会数形结合的思想 中明显增多，因此我们应重视这一知识点
的复习
1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线 为抛物线的__准__线____.
4.O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( C )
A.2
B.2 2
C.2 3
D.4
解析：设 P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋ 2＝4 2.∴x0＝3 2.∴ y20＝4 2x0＝4 2×3 2＝24.∴|y0|＝2 6.
A.2
B.4
C.6
D.8
解析：如图 D56，不妨设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，AB，
DE 分别交 x 轴于 C，F 点，则 AC＝2 2，即 A 点的纵坐标为
2 2.则 A 点的横坐标为4p，即 OC＝4p.由勾股定理知，DF2＋OF2
＝DO2＝r2，AC2＋OC2＝AO2＝r2，即( 5)2＋p22＝(2 解得 p＝4，即 C 的焦点到准线的距离为 4.故选 B.
解析：过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|
＋|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此
时 M(2,2).
答案：D
考向 2 到点与到准线的距离之和最小问题 例 3：(1)已知点 P 为抛物线 C：y2＝4x 上一点，记 P 到此 抛物线准线 l 的距离为 d1，点 P 到圆(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 上点的 距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________. 解析：易知圆(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 的圆心为 M(－2，－4)， 半径为 2， 设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，连接 PF，如图 D57.
证明：(1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为 Fp2，0，设直线方程为 y＝kx－p2(k≠0).
由y＝kx－p2， 消去 x，得 ky2－2py－kp2＝0. ① y2＝2px，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝y41py222＝p42.
当 k 不存在时，直线方程为 x＝p2. 这时 y1＝p，y2＝－p，则 y1y2＝－p2，x1x2＝p42. 因此，总有 y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立. (2)由抛物线定义：|AF|等于点 A 到准线 x＝－p2的距离. ∴|AF|＝x1＋p2，同理：|BF|＝x2＋p2.
线 y2＝4x 的准线 x＝－1 的距离 3，即( x－22＋y－12＋
x－12＋y2)min＝3.
答案：A
考向 3 到定直线的距离和最小问题
例 4：已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物 线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
()
3.(2019 年广东中山统测)过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交
抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.若 x1＋x2＝6，则|AB|＝( B )
A.6
B.8
C.9
D.10
解析：由题意知，抛物线 y2＝4x 的准＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两 点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 故选 B.
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式 分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0. ∴kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补， ∴∠ABM＝∠ABN. 综上所述，∠ABM＝∠ABN.
【跟踪训练】
思维点拨：求(1)要写出焦点 F 的坐标p2，0，由点斜式写 出过焦点 F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y2＝ 2px 联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋|BF|， 再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可； (3)中 S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4)中将点到焦 点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出 AB 的中点 M， 再证明 M 点到准线的距离等于12|AB|即可.
思想与方法 ⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题
例题：已知 AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点弦，F 为抛物 线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ 为直线 AB 与 x 轴的夹角)； (3)S△AOB＝2spin2 θ； (4)|A1F|＋|B1F|为定值； (5)以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切.
∴x1＋x2＋x3＝92.
由抛物线的定义可得 |FA|＝x1－－32＝x1＋32， |FB|＝x2－－32＝x2＋32， |FC|＝x3－－32＝x3＋32， ∴|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＝x1＋32＋x2＋32＋x3＋32＝9.
答案：C
【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值 可以减少运算；第(2)题主要考查抛物线的性质及运算，注意解 析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运 算的准确性与技巧性.
第7讲 抛物线
课标要求
考情风向标
1.本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟 1.了解圆锥曲线的实际背 练掌握抛物线的标准方程、几何图形、简 景，感受圆锥曲线在刻画现单的几何性质及其应用.要善于利用抛物
实世界和解决实际问题中 线的定义将抛物线上的点到准线的距离
的作用.
和到焦点的距离进行转化.
2.经历从具体情境中抽象 2.由于高考对抛物线这一知识点的要求 出抛物线模型的过程，掌握属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为
∵F( 2，0)，∴S△POF＝12|OF|·|y0|＝12× 2×2 6＝2 3.
考点 1 抛物线的标准方程
例 1：(1)(2014 年新课标Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为
F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等
35
A. 5
B.2
11
C. 5
D.3
解析：由题意可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设 抛物线的焦点为 F(1,0)，如图 D58，则动点 P 到 l2 的距离等于 |PF|，动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是焦点 F 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离，∴最小值是|4－50＋6|＝2.
1.(2018 年新课标Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点
(－2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则F→M·F→N＝( D )
A.5
B.6
C.7
D.8
y2＝4x， 解析：联立y＝23x＋2， 化简得 x2－5x＋4＝0，解得 x1
＝1，x2＝4.M(1,2)，N(4,4)，F(1,0)，则F→M·F→N＝(0,2)·(3,4)＝8.
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：∵ x－12＋y2表示点 M(x，y)到点 F(1,0)的距离，
即 点 M(x ， y) 到 抛 物 线 y2 ＝ 4x 的 准 线 x ＝ － 1 的 距 离 ，
∵ x－22＋y－12 表 示 点 M(x ， y) 到 点 A(2,1) 的 距 离 ，
∴ x－22＋y－12＋ x－12＋y2的最小值为点 A(2,1)到抛物
2)2＋4p2.
答案：B
图 D56
(3)设 F 为抛物线 y2＝6x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三
点.若F→A＋F→B＋F→C＝0，则|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＝( )
A.4
B.6
C.9
D.12
解析：由题意得，抛物线的焦点为 F32，0，准线方程为
x＝－32.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ∵F→A＋F→B＋F→C＝0，∴点 F 是△ABC 的重心，
考点 2 抛物线的几何性质 考向 1 到焦点与到定点距离之和最小问题 例 2：(2019 年江西赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛 物线 y2＝2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取 得最小值的 M 的坐标为( )
A.(0,0)
B.12，1
C.(1， 2)
D.(2,2)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
1.已知抛物线 C：y＝2020x2，则( C ) A.它的焦点坐标为(505,0) B.它的焦点坐标为(0,505) C.它的准线方程是 y＝－80180
D.它的准线方程是 y＝－505
2.若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是__9_.
于到准线的距离，又抛物线的准线方程为 x＝－14，则有|AF|＝ x0＋14，即54x0＝x0＋14.∴x0＝1.
答案：A
(2)(2016 年新课标Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于
A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|＝4 2，|DE|＝
2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0)
标准 方程
y2＝2px
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
图形
焦点
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
(续表) 标准
方程
y2＝2px
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
准线
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
是( )
|BF|－1 A.|AF|－1
|BF|2－1 B.|AF|2－1
C.||BAFF||＋ ＋11
|BF|2＋1 D.|AF|2＋1
解析：SS△ △BACCFF＝BACC＝xxBA＝||ABFF||－－11.
答案：A
图 7-7-1
考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 6：(2018 年新课标Ⅰ)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)， B(－2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN. (1)解：当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得 M 的坐 标为(2,2)或(2，－2). ∴直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1.
由抛物线的定义，得 d1＋d2＝|PF|＋d2，
要求|PF|＋d2 的最小值，需 F，P，M 三点共线，
且最小值为|FM|－2＝ 1＋22＋0－42－2＝3.
答案：3
图 D57
(2) 已 知 点 M(x ， y) 是 抛 物 线 y2 ＝ 4x 上 的 动 点 ， 则
x－22＋y－12＋ x－12＋y2的最小值为( )
(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线， ∴∠ABM＝∠ABN. 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则 x1>0，x2>0. 由yy2＝＝k2xx－，2， 得 ky2－2y－4k＝0， 可知 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4. 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.①
答案：B
图 D58
【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直(三 点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联 想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到 其焦点的距离，进行转换再求解.
考向 4 抛物线几向性质与三角形的简单应用 例 5：(2015 年浙江)如图 7-7-1，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比
它的定义、标准方程、几何背景的试题中渗透考查了数学的主要思
图形及简单性质.
想，且高考的考查基于“多思少算”的考
3.通过圆锥曲线的学习，进 虑，所以以抛物线为背景的解答题在高考
一步体会数形结合的思想 中明显增多，因此我们应重视这一知识点
的复习
1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线 为抛物线的__准__线____.
4.O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( C )
A.2
B.2 2
C.2 3
D.4
解析：设 P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋ 2＝4 2.∴x0＝3 2.∴ y20＝4 2x0＝4 2×3 2＝24.∴|y0|＝2 6.
A.2
B.4
C.6
D.8
解析：如图 D56，不妨设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，AB，
DE 分别交 x 轴于 C，F 点，则 AC＝2 2，即 A 点的纵坐标为
2 2.则 A 点的横坐标为4p，即 OC＝4p.由勾股定理知，DF2＋OF2
＝DO2＝r2，AC2＋OC2＝AO2＝r2，即( 5)2＋p22＝(2 解得 p＝4，即 C 的焦点到准线的距离为 4.故选 B.
解析：过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|
＋|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此
时 M(2,2).
答案：D
考向 2 到点与到准线的距离之和最小问题 例 3：(1)已知点 P 为抛物线 C：y2＝4x 上一点，记 P 到此 抛物线准线 l 的距离为 d1，点 P 到圆(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 上点的 距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为________. 解析：易知圆(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 的圆心为 M(－2，－4)， 半径为 2， 设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，连接 PF，如图 D57.
证明：(1)∵y2＝2px(p>0)的焦点为 Fp2，0，设直线方程为 y＝kx－p2(k≠0).
由y＝kx－p2， 消去 x，得 ky2－2py－kp2＝0. ① y2＝2px，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝y41py222＝p42.
当 k 不存在时，直线方程为 x＝p2. 这时 y1＝p，y2＝－p，则 y1y2＝－p2，x1x2＝p42. 因此，总有 y1y2＝－p2，x1x2＝p42成立. (2)由抛物线定义：|AF|等于点 A 到准线 x＝－p2的距离. ∴|AF|＝x1＋p2，同理：|BF|＝x2＋p2.
线 y2＝4x 的准线 x＝－1 的距离 3，即( x－22＋y－12＋
x－12＋y2)min＝3.
答案：A
考向 3 到定直线的距离和最小问题
例 4：已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物 线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是
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