概率统计课件
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y
4
2
x+y=4
0
2
x 图 3 .1
由 图 3 .1得
P ( X + Y 4 ) = 1
8
0 2
4 x
(6
2
x
y )d yd x
= 1
8
0 2
(0 .5
x
2
4x
6 )d x
2. 3
6 .设 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
k e - ( 3 x + 4 y ) , x
y
( 0 . 5
0
y y )d y
9 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 随 机 密 度 为
p ( x , y ) =
6(1-y), 0<x<y<1,
0,
其他.
(1 ) 求 P ( X 0 .5 , Y 0 .5 ) ;
( 2 )求 P ( X 0 .5 )和 P (Y 0 .5 );
13.设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
1/2, 0<x<1,0<y<2, 0 ,其 他 .
求X与Y中至少有一个小于0.5的概率。
解 ： 两 件 事 {X<0.5}与 {Y<0.5}中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为
P({X<0.5}{Y<0.5})=1-P(X 0.5,Y 0.5)=1-
行和
0.02814 0.15295 0.31891 0.31891 0.15295 0.02814 1.00000
行和就是X的分布h(5,100,50)(超几何分布)
列和就是Y的分布h(5,100,30)(超几何分布)
P(X≥2,Y≤1)=0.66158
3.盒子里有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P(X=Y).
8
0 1
3
(6
x
y )d yd x
1
2
8
0 1
(3 .5
x)dx
3. 8
( 3 ) P ( X 1 . 5 ) 1
8
1 .5 0
4
(6
x
y )d yd x
1
2
8
1 .5 0
(
6
2 x)dx
27 . 32
( 4 ) p ( x , y )的 非 零 区 域 与 x + y 4 的 交 集 如 图 3 . 1 的 阴 影 部 分 ，
解 得 k 6.
k
1 0
x
dxdy k
x2
1
(x
x 2 )d x
0
k 1, 6
( 2 ) p ( x , y )的 非 零 区 域 与 { x 0 .5 }的 交 集 为 图 3 .2 ( b )阴 影 部 分 ， 所 以
P ( X 0 . 5 ) 6
1 0 .5
x
dxdy 6
(3 )求 P ( X Y 1).
2 3 / 4 0 .6 6 4 2 .
解：(1)p(x,y)的非零区域与{x>0.5,y>0.5}的交集为图3.3(a)的阴影部分，所以
P(X>0.5,Y>0.5)=6
2 1.5y0.5)dy1
0.5
0.5
8
65 . 72
1 2 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)0 e ,其 y,他 0 . xy试 求 P (XY1).
解P(X+Y1)=0 0.5x 1xe-ydydx0 0.5(ey)1 xxdx0 0.5(exe(1x))dx
1e 12e 0.50.1548.
k(6-x-y), 0,
0<x<2,2<y<4 其他
试求
(1)常 数 k;
(2)P(X<1,Y<3);
(3)P(X<1.5);
(4)P(X+Y 4);
解 ： ( 1 ) 由
2 0
4 k (6 x y )dydx k
2
2
(6
2 x)dx
8k
1, 解
得
k
1/8.
0
( 2 ) P ( X 1 , Y 3 ) 1
1
0
1
1
0
0 .2 5
0
0
0 .2 5
p 22
0 .2 5
1
0
0 .2 5
0
又 由 分 布 列 的 正 规 性 得 p 22 0 ,因 此
P ( X 1 = X 2 ) = p 11
p 22
p 33
0
5 .设 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p ( x , y ) =
1
-
e
-
4
y
)
,
所以
F ( x , y ) = (1-e-3x )(1-e-4y ),x>0,y>0,
0,
其他。
( 3 ) P ( 0 < x 1, 0 y 2 ) = F ( 1 , 2 ) = 1 - e -3 - e -8 + e -11= 0 . 9 4 9 9 .
7 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 密 度 函 数 为
4
1 0
1 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
1 ,
x 1, y 1 .
8 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p ( x , y ) =
k, 0<x2 y x1
0,
其他.
(1 ) 试 求 常 数 k ; ( 2 )求 P ( X 0 .5 )和 P (Y 0 .5 ). 解 (1)p(x,y)的 非 零 区 域 如 图 3.2(a)阴 影 部 分 .由
P(X1=1,X2=0)=P(Y>1,Y 2)=P(1Y 2)=e-1-e-2 0.23254,
P(X1=1,X2=1)=P(Y>1,Y>2)=P(Y>2)=1-P(Y 2)=e-2 0.13534.
所以的联合分布列为
X2
X1
0
1
0 0.6321 0.0000
2
0
1 0.2325 0.1353 1 1 .设 二 维 随 机4 变 量 ( X ,4Y ) 的 联 合 密 度 函 数 为
解
322 322
()()() ()()()
P (X Y ) P (X 1 ,Y 1 ) P (X 2 ,Y 2 )1(1 7 )22(7 2 )0 3 6 5 3 3 5 3 9 5 0 .2 5 7 1
4
4
4.设随机变量 X
i ，i=1,2的分布列如下，且满足P(X
1X
2 =0)=1;试求P(X
50 30 20
( )( )(
)
P(X i,Y j) i
j 5i j 100
.
()
5
用表格形式表示如下：
XY 0
0 1 2 3 4 5 列和
0.00021 0.00322 0.01855 0.04946 0.06118 0.02814 0.16076
12345
0.00193 0.00659 0.01024 0.00728 0.00189 0.02271 0.05489 0.05393 0.01820 0.00000 0.09274 0.14156 0.06606 0.00000 0.00000 0.15620 0.11325 0.00000 0.00000 0.00000 0.09177 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.36535 0.31629 0.13023 0.02548 0.00189
x2
1
(x
0 .5
x 2)d x
6(1 2
x2
1 3
x
3
)
|1 0 .5
1. 2
又 因 为 p ( x , y )的 非 零 区 域 与 时 间 { y 0 .5 }的 交 集 为 图 3 .2 ( c )阴 影 部 分 ， 所 以
P ( Y 0 . 5 ) 6
0 .5 0
y
dxdy 6
试求
p ( x , y ) =
4 xy ,0 x 1,0 y 1, 0 ,其 他 .
(1 ) P ( 0 X 0 .5 , 0 .2 5 Y 1 ) ;
(2 )P ( X Y );
(3)P ( X Y ); ( 4 ) ( X , Y )的 联 合 分 布 函 数 。
解 ：( 1 ) P ( 0 X 0 . 5 , 0 . 2 5 Y 1 ) 4
1 0.5
2 1 dxdy 5.
0.5 2
8
14.从 (0,1)中 随 机 地 取 两 个 数 ， 求 其 积 不 小 于3 / 16， 且 其 和 不 大 于1的 概 率 .
0,
0,y 其他
0
试求
(1)常 数 k;
(2)(X,Y)的 联 合 分 布 函 数 F(x,y);
( 3 ) P ( 0 < X 1,0 Y 2) .
解 ： (1)由
k
+ 0
e (3x 4 y)d x d y = k
0
+ 0
e
3xd
x
0
e
4
yd
y
=
k
1 3
1 4
=
k 12
=1,
p
(
x
,
y
)
=
x
2
xy 3
,0
x
1, 0
y
2.
0,其 他
求 P ( X Y 1).
解 ： P ( X Y 1)
1 0
2 (x2
1 x
xy )dydx 3
1 0
(
x
2
y
x 6
y
2
)
2 1
x
1 0
(
5 6
x3
4 3
x2
1 2
x )d x
(5 24
x4
4 9
x3
1 4
x
2
)
1 0
解 得 k=12.
(2)当 x 0或 y 0时 ， 有 F(x,y)=0;而 当 x>0,y>0时 ，
F ( x , y ) = 1 2
e d t d t x y - ( 3 t 1 + 4 t 2 )
00
12
= 1 2
x 0
e
- 3 t1
d
t1
y 0
e
-
4
t
2
d
t
2
=
(
1
-
e
-
3
x
)
(
0 .5 0
x
d
x
1 0 .2 5
yd
y
4
1 8
15 32
15 . 64
(2)P ( X Y ) 0.
( 3 ) P ( X Y ) 4
1 0
y 0
x
y
d
x
d
y
4
1 1 y 3d y 02
4 1 8
0 .5 .
( 4 ) ( X , Y )的 联 合 分 布 函 数 F ( x , y )要 分 布 如 下 5 个 区 域 表 示 ：
0x
02
4
10.设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，定义随机变量Xk如下：
Xk
0,Yk, 1,Yk,
k
1,
2,
求X1,X2的联合分布数列。
解：(X1,X2)的联合分布列共有如下四种情况：
P(X1=0,X2=0)=P(Y 1,Y 2)=p(Y 1)=1-e-1 0.63212, P(X1=0,X2=1)=P(Y 1,Y>2)=0,
1X
).
2
X i -1 0 1
P 0.25 0.5 0.25
解
记（X
1
,X
）的联合分布列为
2
-1 X 1 X 2 0 1
-1 p 1 1 p 1 2 p 1 3
0 p 21 p 22 p 23 1 p 31 p 32 p 33
由 P ( X 1 X 2 0 ) 1 知 ： p 1 2 p 2 1 p 2 2 p 2 3 p 3 2 1 ， 所 以 p 1 1 p 1 3 p 3 1 p 3 3 0 . 即
又因为当0y1时有所以的边际密度函数为dy1x因此的边际密度函数为因此的边际密度函数为这是贝塔分布因为pxy在长为a的线段的中点的两边随机地各选取一点求两点间的距离小于a3的概率
概率统计课件
行和就是X的分布b(5,0.5). 列和就是Y的分布b(5,0.3).
P(X≥2,Y≥1)=0.09+0.135+0.0675+0.15+0.1125+0.09375=0.64875 2.100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品。从中部放回地抽取5件，以X、 Y分别表示取出地5件中一等品、二等品地件数，求(X,Y)的联合分布。 解：这是一个三维超几何分布，若取出的5件中有i件一等品、j件二等品，则有5-i-j件三等 品，所以当i=0,1, ,5，j=0,1, ,5, i+j ≤5时，有
X1
X2
-1
-1
0
0
p 21
1
0
0
1
p 12
0
p 22
p 23
p 32
0
又因为
0.25 P ( X 1 1) P(X11,X22)P(X11,X20)P(X11,X21)
p11p12p13p12,
同 理 有 P(X11)P(X21)P(X21)0.25可 知 p32p21p230.25,即
X 1 X2
(2)p(x, y)的非零区域与{x0.5}的交集为图3.3(6)阴影部分，所以
p(X0.5)60.51(1y)dydx60.5(1x2x1)dx7
0x
02
28
p(Y0.5)60.50.5(1y)dydx60.5(1x2x3)dx1
(3)
p (X + Y 1 ) 06 0 x.5 1 x ( 1 y ) d y d x 0 6 20 .5 (1 x 8)d x 2 3
x -
y
0
d
xd
y
0,
x 0,或 y 0
4
F(
x
,
y)=
4
x 0
x 0
y 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
1 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
x
2
x
y
2
2
,
,
0
0
x
x
1, 0 y 1, 1,1 y ,
4
2
x+y=4
0
2
x 图 3 .1
由 图 3 .1得
P ( X + Y 4 ) = 1
8
0 2
4 x
(6
2
x
y )d yd x
= 1
8
0 2
(0 .5
x
2
4x
6 )d x
2. 3
6 .设 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
k e - ( 3 x + 4 y ) , x
y
( 0 . 5
0
y y )d y
9 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 随 机 密 度 为
p ( x , y ) =
6(1-y), 0<x<y<1,
0,
其他.
(1 ) 求 P ( X 0 .5 , Y 0 .5 ) ;
( 2 )求 P ( X 0 .5 )和 P (Y 0 .5 );
13.设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)=
1/2, 0<x<1,0<y<2, 0 ,其 他 .
求X与Y中至少有一个小于0.5的概率。
解 ： 两 件 事 {X<0.5}与 {Y<0.5}中 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率 为
P({X<0.5}{Y<0.5})=1-P(X 0.5,Y 0.5)=1-
行和
0.02814 0.15295 0.31891 0.31891 0.15295 0.02814 1.00000
行和就是X的分布h(5,100,50)(超几何分布)
列和就是Y的分布h(5,100,30)(超几何分布)
P(X≥2,Y≤1)=0.66158
3.盒子里有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P(X=Y).
8
0 1
3
(6
x
y )d yd x
1
2
8
0 1
(3 .5
x)dx
3. 8
( 3 ) P ( X 1 . 5 ) 1
8
1 .5 0
4
(6
x
y )d yd x
1
2
8
1 .5 0
(
6
2 x)dx
27 . 32
( 4 ) p ( x , y )的 非 零 区 域 与 x + y 4 的 交 集 如 图 3 . 1 的 阴 影 部 分 ，
解 得 k 6.
k
1 0
x
dxdy k
x2
1
(x
x 2 )d x
0
k 1, 6
( 2 ) p ( x , y )的 非 零 区 域 与 { x 0 .5 }的 交 集 为 图 3 .2 ( b )阴 影 部 分 ， 所 以
P ( X 0 . 5 ) 6
1 0 .5
x
dxdy 6
(3 )求 P ( X Y 1).
2 3 / 4 0 .6 6 4 2 .
解：(1)p(x,y)的非零区域与{x>0.5,y>0.5}的交集为图3.3(a)的阴影部分，所以
P(X>0.5,Y>0.5)=6
2 1.5y0.5)dy1
0.5
0.5
8
65 . 72
1 2 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p(x,y)0 e ,其 y,他 0 . xy试 求 P (XY1).
解P(X+Y1)=0 0.5x 1xe-ydydx0 0.5(ey)1 xxdx0 0.5(exe(1x))dx
1e 12e 0.50.1548.
k(6-x-y), 0,
0<x<2,2<y<4 其他
试求
(1)常 数 k;
(2)P(X<1,Y<3);
(3)P(X<1.5);
(4)P(X+Y 4);
解 ： ( 1 ) 由
2 0
4 k (6 x y )dydx k
2
2
(6
2 x)dx
8k
1, 解
得
k
1/8.
0
( 2 ) P ( X 1 , Y 3 ) 1
1
0
1
1
0
0 .2 5
0
0
0 .2 5
p 22
0 .2 5
1
0
0 .2 5
0
又 由 分 布 列 的 正 规 性 得 p 22 0 ,因 此
P ( X 1 = X 2 ) = p 11
p 22
p 33
0
5 .设 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p ( x , y ) =
1
-
e
-
4
y
)
,
所以
F ( x , y ) = (1-e-3x )(1-e-4y ),x>0,y>0,
0,
其他。
( 3 ) P ( 0 < x 1, 0 y 2 ) = F ( 1 , 2 ) = 1 - e -3 - e -8 + e -11= 0 . 9 4 9 9 .
7 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 联 合 密 度 函 数 为
4
1 0
1 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
1 ,
x 1, y 1 .
8 .设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y )的 联 合 密 度 函 数 为
p ( x , y ) =
k, 0<x2 y x1
0,
其他.
(1 ) 试 求 常 数 k ; ( 2 )求 P ( X 0 .5 )和 P (Y 0 .5 ). 解 (1)p(x,y)的 非 零 区 域 如 图 3.2(a)阴 影 部 分 .由
P(X1=1,X2=0)=P(Y>1,Y 2)=P(1Y 2)=e-1-e-2 0.23254,
P(X1=1,X2=1)=P(Y>1,Y>2)=P(Y>2)=1-P(Y 2)=e-2 0.13534.
所以的联合分布列为
X2
X1
0
1
0 0.6321 0.0000
2
0
1 0.2325 0.1353 1 1 .设 二 维 随 机4 变 量 ( X ,4Y ) 的 联 合 密 度 函 数 为
解
322 322
()()() ()()()
P (X Y ) P (X 1 ,Y 1 ) P (X 2 ,Y 2 )1(1 7 )22(7 2 )0 3 6 5 3 3 5 3 9 5 0 .2 5 7 1
4
4
4.设随机变量 X
i ，i=1,2的分布列如下，且满足P(X
1X
2 =0)=1;试求P(X
50 30 20
( )( )(
)
P(X i,Y j) i
j 5i j 100
.
()
5
用表格形式表示如下：
XY 0
0 1 2 3 4 5 列和
0.00021 0.00322 0.01855 0.04946 0.06118 0.02814 0.16076
12345
0.00193 0.00659 0.01024 0.00728 0.00189 0.02271 0.05489 0.05393 0.01820 0.00000 0.09274 0.14156 0.06606 0.00000 0.00000 0.15620 0.11325 0.00000 0.00000 0.00000 0.09177 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.36535 0.31629 0.13023 0.02548 0.00189
x2
1
(x
0 .5
x 2)d x
6(1 2
x2
1 3
x
3
)
|1 0 .5
1. 2
又 因 为 p ( x , y )的 非 零 区 域 与 时 间 { y 0 .5 }的 交 集 为 图 3 .2 ( c )阴 影 部 分 ， 所 以
P ( Y 0 . 5 ) 6
0 .5 0
y
dxdy 6
试求
p ( x , y ) =
4 xy ,0 x 1,0 y 1, 0 ,其 他 .
(1 ) P ( 0 X 0 .5 , 0 .2 5 Y 1 ) ;
(2 )P ( X Y );
(3)P ( X Y ); ( 4 ) ( X , Y )的 联 合 分 布 函 数 。
解 ：( 1 ) P ( 0 X 0 . 5 , 0 . 2 5 Y 1 ) 4
1 0.5
2 1 dxdy 5.
0.5 2
8
14.从 (0,1)中 随 机 地 取 两 个 数 ， 求 其 积 不 小 于3 / 16， 且 其 和 不 大 于1的 概 率 .
0,
0,y 其他
0
试求
(1)常 数 k;
(2)(X,Y)的 联 合 分 布 函 数 F(x,y);
( 3 ) P ( 0 < X 1,0 Y 2) .
解 ： (1)由
k
+ 0
e (3x 4 y)d x d y = k
0
+ 0
e
3xd
x
0
e
4
yd
y
=
k
1 3
1 4
=
k 12
=1,
p
(
x
,
y
)
=
x
2
xy 3
,0
x
1, 0
y
2.
0,其 他
求 P ( X Y 1).
解 ： P ( X Y 1)
1 0
2 (x2
1 x
xy )dydx 3
1 0
(
x
2
y
x 6
y
2
)
2 1
x
1 0
(
5 6
x3
4 3
x2
1 2
x )d x
(5 24
x4
4 9
x3
1 4
x
2
)
1 0
解 得 k=12.
(2)当 x 0或 y 0时 ， 有 F(x,y)=0;而 当 x>0,y>0时 ，
F ( x , y ) = 1 2
e d t d t x y - ( 3 t 1 + 4 t 2 )
00
12
= 1 2
x 0
e
- 3 t1
d
t1
y 0
e
-
4
t
2
d
t
2
=
(
1
-
e
-
3
x
)
(
0 .5 0
x
d
x
1 0 .2 5
yd
y
4
1 8
15 32
15 . 64
(2)P ( X Y ) 0.
( 3 ) P ( X Y ) 4
1 0
y 0
x
y
d
x
d
y
4
1 1 y 3d y 02
4 1 8
0 .5 .
( 4 ) ( X , Y )的 联 合 分 布 函 数 F ( x , y )要 分 布 如 下 5 个 区 域 表 示 ：
0x
02
4
10.设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，定义随机变量Xk如下：
Xk
0,Yk, 1,Yk,
k
1,
2,
求X1,X2的联合分布数列。
解：(X1,X2)的联合分布列共有如下四种情况：
P(X1=0,X2=0)=P(Y 1,Y 2)=p(Y 1)=1-e-1 0.63212, P(X1=0,X2=1)=P(Y 1,Y>2)=0,
1X
).
2
X i -1 0 1
P 0.25 0.5 0.25
解
记（X
1
,X
）的联合分布列为
2
-1 X 1 X 2 0 1
-1 p 1 1 p 1 2 p 1 3
0 p 21 p 22 p 23 1 p 31 p 32 p 33
由 P ( X 1 X 2 0 ) 1 知 ： p 1 2 p 2 1 p 2 2 p 2 3 p 3 2 1 ， 所 以 p 1 1 p 1 3 p 3 1 p 3 3 0 . 即
又因为当0y1时有所以的边际密度函数为dy1x因此的边际密度函数为因此的边际密度函数为这是贝塔分布因为pxy在长为a的线段的中点的两边随机地各选取一点求两点间的距离小于a3的概率
概率统计课件
行和就是X的分布b(5,0.5). 列和就是Y的分布b(5,0.3).
P(X≥2,Y≥1)=0.09+0.135+0.0675+0.15+0.1125+0.09375=0.64875 2.100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品。从中部放回地抽取5件，以X、 Y分别表示取出地5件中一等品、二等品地件数，求(X,Y)的联合分布。 解：这是一个三维超几何分布，若取出的5件中有i件一等品、j件二等品，则有5-i-j件三等 品，所以当i=0,1, ,5，j=0,1, ,5, i+j ≤5时，有
X1
X2
-1
-1
0
0
p 21
1
0
0
1
p 12
0
p 22
p 23
p 32
0
又因为
0.25 P ( X 1 1) P(X11,X22)P(X11,X20)P(X11,X21)
p11p12p13p12,
同 理 有 P(X11)P(X21)P(X21)0.25可 知 p32p21p230.25,即
X 1 X2
(2)p(x, y)的非零区域与{x0.5}的交集为图3.3(6)阴影部分，所以
p(X0.5)60.51(1y)dydx60.5(1x2x1)dx7
0x
02
28
p(Y0.5)60.50.5(1y)dydx60.5(1x2x3)dx1
(3)
p (X + Y 1 ) 06 0 x.5 1 x ( 1 y ) d y d x 0 6 20 .5 (1 x 8)d x 2 3
x -
y
0
d
xd
y
0,
x 0,或 y 0
4
F(
x
,
y)=
4
x 0
x 0
y 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
1 0
t1t
2
d
t
2
d
t1
x
2
x
y
2
2
,
,
0
0
x
x
1, 0 y 1, 1,1 y ,