湖南省常德市第一中学高三数学第十次月考试题 理(扫描版)

湖南省常德市第一中学2015届高三数学第十次月考试题理（扫描版）
常德市一中2015届高三第十次月考参考答案数学（理）
（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）
11.
1
212. 13.
（二）必做题14.
17
2515.
1
2
1
(,)
2
e-
16. 84
三．解答题（本题共6个小题，共75分）
17.解：（1）由正弦定理得：
B
A
C
C
A sin
2
3
2
cos
sin
2
cos
sin2
2=
+
即
B
A
C
C
A sin
2
3
2
cos
1
sin
2
cos
1
sin=
+
+
+
………2分
∴B
C
A
C
A
C
A sin
3
sin
cos
cos
sin
sin
sin=
+
+
+
即
B
C
A
C
A sin
3
)
sin(
sin
sin=
+
+
+………4分
∵
B
C
A sin
)
sin(=
+
∴B
C
A sin
2
sin
sin=
+即b
c
a2
=
+
∴c
b
a、
、成等差数列。

………6分（2）∵
3
4
4
3
sin
2
1
=
=
=ac
B
ac
S
∴16
=
ac………8分又
ac
c
a
ac
c
a
B
ac
c
a
b3
)
(
cos
22
2
2
2
2
2-
+
=
-
+
=
-
+
=………10分
由（1）得：b
c
a2
=
+∴48
42
2-
=b
b
∴16
2=
b即4
=
b………12分18.解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-
=A P ………4分 依题意，X 的可能取值为0,1,2． 左手所取的两球颜色相同的概率为
185********=++C C C C ………6分 右手所取的两球颜色相同的概率为
4129232323=++C C C C ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P
18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯=
=X P 72541185)2(=⨯==X P ………10分
所以Ｘ的分布列为：
36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ………12分
19. （1）证明：
11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB AB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥ 1A E A A
A ⋂= A
B ∴⊥面11A AC
C 又
AC ⊂面11A ACC A B A C ∴⊥ ………2分
以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz - 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B
设(),,D x y z ，111AD AB λ= 且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴
11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭
10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ………5分
∴11022DF AE =-= DF AE ∴⊥ ………6分
（2）假设存在,设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，
则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩ 111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：
()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 令()21z λ=- ()()3,12,21n λλ∴=+- . ………8分
由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ………9分
平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为
()14cos ,m n m n m n ∴=
=
=
12λ∴=
或74λ= （舍） ………11分
∴ 当点D 为
11A B 中点时，满足要求. ………12分
20、(1)∵an ，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n ∈N*)的两根，
∴n
n n+1n
n n+1a +a =2b =a a ⎧⎨⋅⎩ ……2分 ∵n+1n n+1n n+1n n n n n n n n 111a 22a 2(a 2)3331a 2a 2a 2333-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯，
故数列n n 1{a 2}3-⨯是首项为
121a 33-=，公比为－1的等比数列. ……4分
(2)解：由(1)得n n n 11a 2(1)33-⨯=⨯-，即n n n 1a [2(1)]3=--， ∴n n n+1n+1n n n+11b =a a [2(1)][2(1)]9⋅=--⨯--
2n+1n 1[2(2)1]9=--- ……6分
∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=1
3
n 2n+11(1)1[22]32--=--， ……8分
要使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立， 即n 2n+1n 2n+11(1)1[2(2)1][22]0(*)932λ-------->对任意n ∈N*都成立.
①当n 为正奇数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][21]093λ+--->， 即n+1n n+11λ(21)(21)(21)093-+-->，
∵2n+1－1>0，∴n 1λ<(21)3+对任意正奇数n 都成立.
当且仅当n=1时，n 1(21)3+有最小值1，∴λ<1. ……10分
②当n 为正偶数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][22]093λ---->， 即n+1n n 12λ(21)(21)(21)093+--->，
∵2n －1>0，∴n+11λ<
(21)6+对任意正偶数n 都成立.
当且仅当n=2时，n+11(21)6+有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分
综上所述，存在常数λ，使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立，
λ的取值范围是(－∞，1). ……13分
21.解：（1）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=，得
2
2
4033b c c -+= ① ………1分
又点P 在椭圆C 上，2
222161,299b a a b ∴+=⇒=
② 2222b c a +== ③ ………3分
①③联立解得，21,1c b == ………4分 故所求椭圆的方程为2
212x y += ………5分
（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，
整理得222(21)4220k x kmx m +++-= （﹡）
方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，
所以0,∆=得2221m k =+ ………8分
假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由
221212121222()21
()()
11k km k k m k m d d k k ++++++⋅==++λλλλλλ
212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,
所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或
当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.
总上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1. ………13分
22、解：（1）根据)(x f 定义域后，求导得到)23()3)(1()(2/+-+=
x x x x x f ，根据导数和0的关系得
到 在),3(),1,23(+∞--是函数)(x f 的增区间；
在)3,0(),0,1(-是函数)(x f 减区间………………………（3分） 令11)1ln()(22
--+=x x x h 求导得])1(111[2)(222/-++=x x x x h 里面有一个零点0=x 和两个断点1±=x ，所以可以得到函数在区间),1(),1,0(+∞单调增；在区间)0,1(),1,(---∞单调减。

当x 从负半轴方向趋近于-1时，,)(-∞→x h 当x 从正半轴方向趋近于-1时，,)(+∞→x h 而且-∞→x 时，+∞→)(x h
而且可以很容易得到)()(x h x h -=，函数为偶函数，而且1)0(=h ，
另半边的图像就容易模拟得到了，所以
)1ln()(2+=x x g 有4个不同的实根， 结合图像得到1)0(=>h a ………………………（8分）
（本题必须另半边如果不分析必须用奇偶性说明；而且必须说明在断点处的趋势，否则扣2到3分）
（3）结论：这样的正数b 不存在
假设存在正数b ，使得方程x b x f ln )(=存在两个不相等的实根1x 和2x ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++)2(ln 2)23ln()1(ln 2)23ln(222111 x b x x x b x x
根据定义域知道1x 和2x 都是正数
根据第1问知道，当0>x 时，函数的最小值032)29(ln )3()(min >+==f x f ， 所以02)23ln()(111>++=x x x f ，02)23ln()(222>++=x x x f
因为0>b ，等式两边同号，所以，,0ln 1>x ,0ln 2>x 所以,11>x ,12>x
不妨设,112>>x x
由（1）（2）可得222111ln 2)23ln(ln 2)23ln(x x x x x x ++=++， 所以1ln 2)23ln(1ln 2)23ln(222111-++=-++x x x x x x 所以(*)ln 2)231ln(ln 2)231ln(222111 x x x x x x ++=++
因为很容易证明到函数x x y 2)231ln(++=在),1(+∞为恒大于0且为减函数
所以（*）方程显然不成立，因为
2
12211ln ln 2)231ln(2
)231ln(x x x x x x =++++左边大于1，右边小于1……（13分）
所以原假设：存在正数b ，使得方程x b x f ln )(=存在两个不相等的实根1x 和2x 错误 （本题其他证法，请酌情给分）。