通信过程中的随机过程
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解由Bayes公式知
同理，可求得
6.某通信网可以支持三种类别的业务。一个业务为第1类业务的概率是0.3，为第2类业务的概率为0.2，为第3类业务的概率是0.5.对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.1；对于第2类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.15；对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.2。试求该通信网中任何一个业务发生阻塞的概率。
解 的自相关函数为
因此， 的功率谱密度为
3.设联合平稳的两个随机过程 和 的互功率谱密度为
试求其相关函数。
解相关函数为
4.设 为离散时间随机过程，且是独立同分布的随机变量序列，其均值为零，方差为 ，试求 。
解离散时间随机过程 的自相关函数为
因此，功率谱密度为
5.设 ，其中 为离散时间白噪声过程，是独立同分布的随机变量序列，试求 。
由于事件 的概率为 ，事件 的概率为 ，所以
也即事件 和 不互相独立。
4.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ，试分别求信道输出0和1的概率.
解信道的错误概率为 意味着 ，因此 。由全概率公式知
同理
5.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ,试求在输出是1的条件下输入是1的概率，以及输出是0的条件下输入是1的概率.
解由条件概率的定义知道
，
因此
其中
是 上的均匀分布，所以
13.已知某二维随机向量 的联合概率密度函数有如下形式：
试确定上式中常数 的取值，并求条件概率密度函数 和 。
解由概率密度函数在全空间的积分为1知
因此 ，为了得到条件概率密度函数的表达式，先求边界概率密度函数，即
，
，
所以
，
，
14.已知二维随机向量 是区域 上的均匀分布，试求 和 。
证明设 是随机变量 的概率密度函数，则
3.试证明若随机变量序列以概率1收敛，则一定依概率收敛。
证明实际 等价于
上式又等价于
由于
所以
第四章复习题
1.试求随机相位余弦信号 的功率谱密度 ,其中 是 上的均匀分布。
解 为平稳过程，且其相关函数为
则其功率谱密度为
ps:
2.设 和 是两个联合宽平稳过程，试给出 的功率谱密度。
解：顾客等待时间 的概率分布函数为
其中 和 分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为
概率密度函数为
3.试证明概率密度函数为
的正态随机变量的均值为 ，方差为 。
解由概率密度函数的性质知有如下式成立：
（1）
将（1）式对 求导，得
由此知道，该正态随机变量的均值为 。再对（1）关于 求导得
1)写出状态空间；
2)求一步转移概率矩阵；
求在甲获得1分的情况下，再胜2局甲胜的概率.
（1） 的状态空间为
（2） 的一步转移概率矩阵为
（3）因为两步转移概率矩阵为
所以在求在甲获得1分的情况下，再胜2局甲胜的概率为
设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客数 是一强度为 的Poisson过程，每个来到商店的顾客购买某货物的概率是 ，不买东西就离去的概率是 ，且每个顾客是否购买货物是独立的，令 为[0,t]内购买货物的顾客数。试证 是强度为 的Poisson过程。
其中 和 分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为
概率密度函数为
设Markov链状态空间 ，其一步转移概率矩阵
试将状态分类.
解由一步转移概率矩阵 ，对一切 ， ，从而 ，故状态4是非常返态.
又 ， ， ，从而 ，故状态3也是非常返态.
但是状态1与2是常返态，因为
又因为
故状态1与2都是正常返态，又因其周期都是1，故它们都是遍历态的.
解显然 和 和
9.证明若 ，则
证明因为
所以 ，即 ，
得到 ，
所以
第二章复习题
1.在通信系统中，一条消息的传输时间 是一个随机变量，它遵循指数概率分布律，也即
，
其中 是一个正常数。试求 的概率分布函数和概率密度函数，并求出 。
解 的概率分布函数为 ，因此
的概率密度函数为
此外
2.在排队系统中，一个到达顾客的等待时间 是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为 的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为 和 。试求 的概率分布函数和概率密度函数。
试求：
1)
2)
解（1）根据马尔科夫性和齐次性，得
（2）因邮寄订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率 的Poisson过程来订阅，他们分别以 的概率订阅一年、二年或三年，每个人的选择是相互独立的；对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费。令 表示她在 内从销售订阅得到的总手续费，试求 。
从而可得
4.试根据正态随机变量的概率特征函数求其均值和方差。
解正态随机变量的特征函数为
计算有 ， 。所以
5.设 是一个参数为 的Bernuoulli的随机变量， ， ，试求改随机变量的熵。
解：根据熵的定义知道，改随机变量的熵为
6.已知指数分布随机变量的概率密度函数为 ， ，其中 为正常数。试求指数分布的熵。
解令 ， ，得到 ， ，因为 和 的联合概率密度函数为
因此， 的联合概率分布函数为
对上述积分做变量变换，并对 和 求导得
，
，
10.设二维离散型随机向量 的样本空间为
且每个样本点所对应的单点事件的概率都是1/4,试求该随机向量的联合熵
解该随机向量的联合熵为
11.试证明：随机变量 和 的相关矩满足下列Schwartz不等式：
解用 ， ， 分别表示“第一个业务是第1、2、3类业务”这个事件。用 表示“第一个业务发生阻塞”这个事件，这样
7.设事件 和 的概率分别为 和 ，试分别在下列条件下求 ：
1） 和 独立
2） 和 互斥
解：由于事件 和 独立，事件 的概率为
由于事件 和 互斥，事件 的概率为
8.已知集合 ，试给出三个定义于集合 上的Borel集。
第一章复习题
1.在掷骰子实验中，用1,2,3,4,5,6来标注正六面体的六个面，则样本空间 .定义事件 ， ，试求 和 .
解:
2.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为 和 ，两个黑球标有3和4，记为 和 ，事件 、 、 定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
解
17.试证明严平稳的二阶矩过程一定是宽平稳过程。
证明严平稳过程的一阶概率分布函数对 和任意实数 满足
因此， 必和时间 无关，也即有 。从而，严平稳过程 的均值和方差都是和时间无关的常数。对于严平稳过程的二阶概率分布函数，取 ，得
因此，二阶概率分布函数是时移 的函数。由于二阶矩过程的自相关函数和自协方差函数是存在的，因此它们仅是 的函数，也即
解：
是一复合Poisson过程，其相应的Poisson过程的参数为 （个/天），且
从而
故
设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有2户定居，即 ，如果每户的人口数是一随机变量，一户四人的概率为 ，一户三人的概率为 ，一户两人的概率为 ，一户一人的概率为 ，并且每户的人口数是相互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区人口数的数学期望和方差。解：设 是移民到该地区定居的户数所形成的Poisson过程，则其参数为 。再设 表示第 户的人口数， 代表移民的总人口数，则 ，从而 是复合的Poisson过程。因为
从而
所以， 为严平稳过程。
反之，由于正态过程是二阶矩过程。因而若其严平稳，则必宽平稳。
20.试证明Poisson过程中，事件在每个时刻发生的可能性是相等的。假设Poisson过程在 内事件只发生了一次，令 在 内，事件发生的时刻，则随机变量 的概率分布函数 。
证明显然，当 时， 。 时。 。现设 ，则
解 的自相关函数为
因此，功率谱密度为
6.设 ，其中 是要观测的宽平稳实随机信号，且对任意 ， ， 是一个均值为零且方差为 的随机变量； 是零均值、且平均功率为 的离散时间白噪声。此外， 和 相互独立。试求 的功率谱密度。
解 的均值 ，自相关函数为
所以 为宽平稳过程，因此其功率谱密度为
7.设随机过程 的功率谱密度为
，
即 ，故 是强度为 的Poisson过程.)
在排队系统中，一个到达顾客的等待时间 是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为 的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为 和 。试求 的概率分布函数和概率密度函数。
解：顾客等待时间 的概率分布函数为
= =0.41
设 ，其中A,B是相互独立的随机变量，且均值为0，方差为1，求 的数字特征。
解：
设 ，其中 是零均值方差为 的随机变量，试判断 的均方可导性。
解：由于 显然是一个二阶矩过程，且 。又
关于 和 的一阶偏导数在 处存在在且连续，故
均方可导。
设 是一齐次Markov链，其状态空间 ，一步转移概率矩阵
解
7.试求均值为 、方差为 的Gauss随机变量的熵。
解由熵的定义知道
8.某二维随机向量 的联合概率分布函数为
其中 和 是两个正常数。试计算下面三个事件的概率： ， ， 和 为两个正数， 。
解由联合概率分布函数的性质知
9.设 和 独立同分布的标准正态随机变量，令 ， ，其中 ， ，试求 的联合概率密度函数和边界概率密度函数。
解可以求得二维随机向量 的概率密度函数为
进一步求得其边界概率密度函数为
，
所以求得其条件概率密度函数分别为
进一步计算条件期望得
15.设 ，其中 为某个随机变量。 被称为带随机振幅的余弦波信号。试求 的均值函数，自相关函数和自相关函数。
解
自相关函数和自相关函数分别为：
16.设 ， ，其中 为区间 上的均匀分布。试求它们的互相关函数。
第三章复习题
1.试证明若一个随机变量序列依概率收敛，则一定依分布收敛。
证明设该随机变量序列为 ，并依概率收敛于 。设 为两个实数，则
所以有
因为 依概率收敛，所以上述表达式右边第2项在 的时候，有
所以有
可以证明对 有
所以，对于 有
令 和 趋于 可得
2.试证明若随机变量序列以 阶矩收敛，则一定依概率收敛。
试求 和 .
解 ，
由定义知
，
3.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为 和 ，两个黑球标有3和4，记为 和 ，事件 、 、 定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
试判断事件 和 是否独立？事件 和 是否独立？
解由 ， 知
所以事件 和 互相独立。
，
试求 的最小相位白化滤波的传递函数。
解相应的 的自相关函数的laplace变换为
因此，最小相位白化滤波器的传递函数为
甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，平局的概率为 ，其中 ， ， 0， ，设每局比赛后，胜者得1分，负者得-1分，平局不计分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以 表示比赛至第 局时甲获得的分数，则 是一齐次马尔科夫链.
所以
设有齐次马尔可夫链，它的状态空间为 ，一步转移概率矩阵为
试求 ， ， ， ， ， .
解
设 是参数为 的Poisson过程，试证明：
（1） 的一维特征函数为 ；
（2）若 ，则
证明：（1）由于 ，即
因此
（2）若 ，则
设 是正交增量过程，且 ，则
（1）
（2） 是单调函不减函数。
证明：（1）不妨设 ，则
（2）设 ，因为
所以 ，即 是单调不减函数。
设有齐次Markov链 ，其一步转移概率矩阵为
试求平稳分布。
解设平稳分布 。求解方程组
，
即
得 ， ，
所以马尔可夫链的平稳分布为
（1）根据马尔科夫性和齐次性，得
（2）因为两步转移概率矩阵为
等号成立当且仅当 成立，其中 是实数。
证明对任意实数 有下面的不等式成立
因此，该关于变量 的二次多项式的判别式小于等于零，也即有
从而可以导出Schwartz不等式。
12.设有某个简单通信系统的输入电压是离散型随机变量 ，取值为+1,-1，且 ；系统的输出电压是随机变量 ，其中 是一个噪声电压，是在 上均匀分布的随机变量。试求概率 和 。
，
因此，严平稳的二阶矩过程是宽平稳过程。
18.设 ，其中 为区间 上的均匀分布 被称为带随机相位的余弦波信号。试证明 是宽平稳随机过程。
解均值函数为
自相关函数和自方差函数为
所以，随机过程 是宽平稳随机过程。
19.试证明若正态随机过程 是宽平稳过程，则 必是严平稳过程。反之亦然。
证明正态过程 的概率函数可由均值 和自协方差函数 唯一决定。既然 宽平稳，则 为常数， 。因此
同理，可求得
6.某通信网可以支持三种类别的业务。一个业务为第1类业务的概率是0.3，为第2类业务的概率为0.2，为第3类业务的概率是0.5.对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.1；对于第2类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.15；对于第1类业务，在传输过程中发生阻塞的概率为0.2。试求该通信网中任何一个业务发生阻塞的概率。
解 的自相关函数为
因此， 的功率谱密度为
3.设联合平稳的两个随机过程 和 的互功率谱密度为
试求其相关函数。
解相关函数为
4.设 为离散时间随机过程，且是独立同分布的随机变量序列，其均值为零，方差为 ，试求 。
解离散时间随机过程 的自相关函数为
因此，功率谱密度为
5.设 ，其中 为离散时间白噪声过程，是独立同分布的随机变量序列，试求 。
由于事件 的概率为 ，事件 的概率为 ，所以
也即事件 和 不互相独立。
4.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ，试分别求信道输出0和1的概率.
解信道的错误概率为 意味着 ，因此 。由全概率公式知
同理
5.设有二进制对称信道的输入为0或1，其错误概率为 ，设信道所传输的信源中，发出0和1的概率分别为 和 ,试求在输出是1的条件下输入是1的概率，以及输出是0的条件下输入是1的概率.
解由条件概率的定义知道
，
因此
其中
是 上的均匀分布，所以
13.已知某二维随机向量 的联合概率密度函数有如下形式：
试确定上式中常数 的取值，并求条件概率密度函数 和 。
解由概率密度函数在全空间的积分为1知
因此 ，为了得到条件概率密度函数的表达式，先求边界概率密度函数，即
，
，
所以
，
，
14.已知二维随机向量 是区域 上的均匀分布，试求 和 。
证明设 是随机变量 的概率密度函数，则
3.试证明若随机变量序列以概率1收敛，则一定依概率收敛。
证明实际 等价于
上式又等价于
由于
所以
第四章复习题
1.试求随机相位余弦信号 的功率谱密度 ,其中 是 上的均匀分布。
解 为平稳过程，且其相关函数为
则其功率谱密度为
ps:
2.设 和 是两个联合宽平稳过程，试给出 的功率谱密度。
解：顾客等待时间 的概率分布函数为
其中 和 分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为
概率密度函数为
3.试证明概率密度函数为
的正态随机变量的均值为 ，方差为 。
解由概率密度函数的性质知有如下式成立：
（1）
将（1）式对 求导，得
由此知道，该正态随机变量的均值为 。再对（1）关于 求导得
1)写出状态空间；
2)求一步转移概率矩阵；
求在甲获得1分的情况下，再胜2局甲胜的概率.
（1） 的状态空间为
（2） 的一步转移概率矩阵为
（3）因为两步转移概率矩阵为
所以在求在甲获得1分的情况下，再胜2局甲胜的概率为
设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客数 是一强度为 的Poisson过程，每个来到商店的顾客购买某货物的概率是 ，不买东西就离去的概率是 ，且每个顾客是否购买货物是独立的，令 为[0,t]内购买货物的顾客数。试证 是强度为 的Poisson过程。
其中 和 分别表示系统中无顾客等待和有顾客等待，则由题意知概率分布函数为
概率密度函数为
设Markov链状态空间 ，其一步转移概率矩阵
试将状态分类.
解由一步转移概率矩阵 ，对一切 ， ，从而 ，故状态4是非常返态.
又 ， ， ，从而 ，故状态3也是非常返态.
但是状态1与2是常返态，因为
又因为
故状态1与2都是正常返态，又因其周期都是1，故它们都是遍历态的.
解显然 和 和
9.证明若 ，则
证明因为
所以 ，即 ，
得到 ，
所以
第二章复习题
1.在通信系统中，一条消息的传输时间 是一个随机变量，它遵循指数概率分布律，也即
，
其中 是一个正常数。试求 的概率分布函数和概率密度函数，并求出 。
解 的概率分布函数为 ，因此
的概率密度函数为
此外
2.在排队系统中，一个到达顾客的等待时间 是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为 的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为 和 。试求 的概率分布函数和概率密度函数。
试求：
1)
2)
解（1）根据马尔科夫性和齐次性，得
（2）因邮寄订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率 的Poisson过程来订阅，他们分别以 的概率订阅一年、二年或三年，每个人的选择是相互独立的；对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费。令 表示她在 内从销售订阅得到的总手续费，试求 。
从而可得
4.试根据正态随机变量的概率特征函数求其均值和方差。
解正态随机变量的特征函数为
计算有 ， 。所以
5.设 是一个参数为 的Bernuoulli的随机变量， ， ，试求改随机变量的熵。
解：根据熵的定义知道，改随机变量的熵为
6.已知指数分布随机变量的概率密度函数为 ， ，其中 为正常数。试求指数分布的熵。
解令 ， ，得到 ， ，因为 和 的联合概率密度函数为
因此， 的联合概率分布函数为
对上述积分做变量变换，并对 和 求导得
，
，
10.设二维离散型随机向量 的样本空间为
且每个样本点所对应的单点事件的概率都是1/4,试求该随机向量的联合熵
解该随机向量的联合熵为
11.试证明：随机变量 和 的相关矩满足下列Schwartz不等式：
解用 ， ， 分别表示“第一个业务是第1、2、3类业务”这个事件。用 表示“第一个业务发生阻塞”这个事件，这样
7.设事件 和 的概率分别为 和 ，试分别在下列条件下求 ：
1） 和 独立
2） 和 互斥
解：由于事件 和 独立，事件 的概率为
由于事件 和 互斥，事件 的概率为
8.已知集合 ，试给出三个定义于集合 上的Borel集。
第一章复习题
1.在掷骰子实验中，用1,2,3,4,5,6来标注正六面体的六个面，则样本空间 .定义事件 ， ，试求 和 .
解:
2.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为 和 ，两个黑球标有3和4，记为 和 ，事件 、 、 定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
解
17.试证明严平稳的二阶矩过程一定是宽平稳过程。
证明严平稳过程的一阶概率分布函数对 和任意实数 满足
因此， 必和时间 无关，也即有 。从而，严平稳过程 的均值和方差都是和时间无关的常数。对于严平稳过程的二阶概率分布函数，取 ，得
因此，二阶概率分布函数是时移 的函数。由于二阶矩过程的自相关函数和自协方差函数是存在的，因此它们仅是 的函数，也即
解：
是一复合Poisson过程，其相应的Poisson过程的参数为 （个/天），且
从而
故
设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有2户定居，即 ，如果每户的人口数是一随机变量，一户四人的概率为 ，一户三人的概率为 ，一户两人的概率为 ，一户一人的概率为 ，并且每户的人口数是相互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区人口数的数学期望和方差。解：设 是移民到该地区定居的户数所形成的Poisson过程，则其参数为 。再设 表示第 户的人口数， 代表移民的总人口数，则 ，从而 是复合的Poisson过程。因为
从而
所以， 为严平稳过程。
反之，由于正态过程是二阶矩过程。因而若其严平稳，则必宽平稳。
20.试证明Poisson过程中，事件在每个时刻发生的可能性是相等的。假设Poisson过程在 内事件只发生了一次，令 在 内，事件发生的时刻，则随机变量 的概率分布函数 。
证明显然，当 时， 。 时。 。现设 ，则
解 的自相关函数为
因此，功率谱密度为
6.设 ，其中 是要观测的宽平稳实随机信号，且对任意 ， ， 是一个均值为零且方差为 的随机变量； 是零均值、且平均功率为 的离散时间白噪声。此外， 和 相互独立。试求 的功率谱密度。
解 的均值 ，自相关函数为
所以 为宽平稳过程，因此其功率谱密度为
7.设随机过程 的功率谱密度为
，
即 ，故 是强度为 的Poisson过程.)
在排队系统中，一个到达顾客的等待时间 是一个随机变量。若系统中无其他等待顾客，则等待时间为0；若系统中有其他顾客，则等待时间是一个参数为 的指数分布。设系统中有顾客等待和无顾客等待的概率分别为 和 。试求 的概率分布函数和概率密度函数。
解：顾客等待时间 的概率分布函数为
= =0.41
设 ，其中A,B是相互独立的随机变量，且均值为0，方差为1，求 的数字特征。
解：
设 ，其中 是零均值方差为 的随机变量，试判断 的均方可导性。
解：由于 显然是一个二阶矩过程，且 。又
关于 和 的一阶偏导数在 处存在在且连续，故
均方可导。
设 是一齐次Markov链，其状态空间 ，一步转移概率矩阵
解
7.试求均值为 、方差为 的Gauss随机变量的熵。
解由熵的定义知道
8.某二维随机向量 的联合概率分布函数为
其中 和 是两个正常数。试计算下面三个事件的概率： ， ， 和 为两个正数， 。
解由联合概率分布函数的性质知
9.设 和 独立同分布的标准正态随机变量，令 ， ，其中 ， ，试求 的联合概率密度函数和边界概率密度函数。
解可以求得二维随机向量 的概率密度函数为
进一步求得其边界概率密度函数为
，
所以求得其条件概率密度函数分别为
进一步计算条件期望得
15.设 ，其中 为某个随机变量。 被称为带随机振幅的余弦波信号。试求 的均值函数，自相关函数和自相关函数。
解
自相关函数和自相关函数分别为：
16.设 ， ，其中 为区间 上的均匀分布。试求它们的互相关函数。
第三章复习题
1.试证明若一个随机变量序列依概率收敛，则一定依分布收敛。
证明设该随机变量序列为 ，并依概率收敛于 。设 为两个实数，则
所以有
因为 依概率收敛，所以上述表达式右边第2项在 的时候，有
所以有
可以证明对 有
所以，对于 有
令 和 趋于 可得
2.试证明若随机变量序列以 阶矩收敛，则一定依概率收敛。
试求 和 .
解 ，
由定义知
，
3.袋中有4个球，其中有两个白球标有序号1和2，记为 和 ，两个黑球标有3和4，记为 和 ，事件 、 、 定义如下：
（事件“白球被选中”）
（事件“标号为偶数的球被选中”）
（事件“标号大于2的球被选中”）
试判断事件 和 是否独立？事件 和 是否独立？
解由 ， 知
所以事件 和 互相独立。
，
试求 的最小相位白化滤波的传递函数。
解相应的 的自相关函数的laplace变换为
因此，最小相位白化滤波器的传递函数为
甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，平局的概率为 ，其中 ， ， 0， ，设每局比赛后，胜者得1分，负者得-1分，平局不计分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以 表示比赛至第 局时甲获得的分数，则 是一齐次马尔科夫链.
所以
设有齐次马尔可夫链，它的状态空间为 ，一步转移概率矩阵为
试求 ， ， ， ， ， .
解
设 是参数为 的Poisson过程，试证明：
（1） 的一维特征函数为 ；
（2）若 ，则
证明：（1）由于 ，即
因此
（2）若 ，则
设 是正交增量过程，且 ，则
（1）
（2） 是单调函不减函数。
证明：（1）不妨设 ，则
（2）设 ，因为
所以 ，即 是单调不减函数。
设有齐次Markov链 ，其一步转移概率矩阵为
试求平稳分布。
解设平稳分布 。求解方程组
，
即
得 ， ，
所以马尔可夫链的平稳分布为
（1）根据马尔科夫性和齐次性，得
（2）因为两步转移概率矩阵为
等号成立当且仅当 成立，其中 是实数。
证明对任意实数 有下面的不等式成立
因此，该关于变量 的二次多项式的判别式小于等于零，也即有
从而可以导出Schwartz不等式。
12.设有某个简单通信系统的输入电压是离散型随机变量 ，取值为+1,-1，且 ；系统的输出电压是随机变量 ，其中 是一个噪声电压，是在 上均匀分布的随机变量。试求概率 和 。
，
因此，严平稳的二阶矩过程是宽平稳过程。
18.设 ，其中 为区间 上的均匀分布 被称为带随机相位的余弦波信号。试证明 是宽平稳随机过程。
解均值函数为
自相关函数和自方差函数为
所以，随机过程 是宽平稳随机过程。
19.试证明若正态随机过程 是宽平稳过程，则 必是严平稳过程。反之亦然。
证明正态过程 的概率函数可由均值 和自协方差函数 唯一决定。既然 宽平稳，则 为常数， 。因此