杭师大附中学年高三数学理科第八次月考试卷

杭师大附中2007学年高三数学理科第八次月考试卷
2007年5月15日
参考公式：
如果事件A 、B 互斥， 球的表面积公式 那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A · B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 33
4R V π=球
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次
其中R 表示球的半径
那么k n k
k n n P P C k P --=)1()(.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．若集合}4,2{},,3{2==B a A ，则“2=a ”是“}4{=B A ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．函数sin sin ||y x x =+的值域是（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]0,2
C ．[]2,2-
D ．[]0,1 3．ξ的概率密度函数f （x ）2
(1)2
x --，下列错误的是（ ）
A ．P （ξ＜1）=P （ξ＞1）
B ．P （－1≤ξ≤1）=P （－1＜ξ＜1）
C ．f （x ）渐近线为x =0
D ．η=ξ－1~N （0，1）
4．已知直线a 和平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α，a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为直线b 和
c ，则b 、c 的位置关系是 （ ）
A ．相交或平行
B ．相交或异面
C ．平行或异面
D ．相交，平行或异面
5．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如左图所示，则导函数()'
y f x =的图象可能
是 （ ）
A B C D
6．已知数列{a n }的前n 项和为 S n =an 2
+bn (a 、b ∈R), 且S 25=100 ,则 a 12+a 14= ( ) A ．16 B ． 4 C ． 8 D ．与a 、b 取值有关
7. 已知0m >，0n >，且满足4m n +=，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．
11
1m n
+≤ B ．
112mn ≥
C
2≥ D ．
2211
8
m n ≤+
8．双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若
以AB 为直径的圆恰过F 点，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．2
B ．
3
3
2 C ．
3 D ．2 9．给出平面区域G ，如图所示，其中(5,3)A ，(2,1)B ，(1,5)C ，
若使目标函数(0)P ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）
A .12
B .2
3
C .2
D .4
10．有下列命题,其中为假命题的是（ ）
A
．0)G G =≠是,,a G b 成等比数列的充分非必要的条件
B ．函数2()(2)x f x x x e =-
，则(f 是极小值
, f 是极大值 C ．当1a ≥时,不等式|4||3|x x a -+-<的解集非空 D ．若角,αβ满足cos 1cos αβ=,则sin()0αβ+=
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

把答案填在题中横线上。

11． 若()i b i i a -=-3，其中a ,b ∈R ，i 是虚数单位，则2
2
b a +=
12．若1,2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为______________．
13．已知函数)(,1,1,11
)(3x f x a x x x x f 若⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=在R 上连续，则a = ，此时
=+-∞
→)321(
lim n
a
n an n
. 14．已知曲线
C 的参数方程是：2,x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，则曲线
C 的普通方程
x
是 ；曲线C 被直线x =0所截得的弦长是 .
15. (1－x+x 2
)(1+x)6
展开式中x 3
项的系数是 16．有4人排队购买0.5元每份的《今日早报》，其中有两人各持有0.5元硬币一枚，另两人各持
有1元硬币一枚，假设卖报人预先没有备好零钱，则这4人排队买报，恰好不会出现没有零钱找补的情况的概率为
17．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，若球O 与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1有共同的中心，正方体在球
内部的表面积为6π，则球O 的半径为 . 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0. （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求n
a S n
n -的最大值及相应的n 的值.
19．（本小题满分14分）
△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .
（1）若bc a c b 2
1
2
2
2
=
-+，求cosA 的值； （2）若A ∈[2
π，23π]，求A C B 2cos 2sin
2++的取值范围.
20．（本小题共14分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB=2，E 是PB 的中点，F 是AD 的中点．
⑴求异面直线PD 一AE 所成角的大小； ⑵求证：EF ⊥平面PBC ； ⑶求二面角F —PC —B 的大小．.
21．（本小题14分）
如图， ()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12
OA OB ⋅=-，O 为
坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.
⑴ 求m n ⋅的值；
⑵ 求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？ ⑶ 若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程.
22．（本小题16分）
已知a > 0，函数f (x ) =
x ax -1, x ∈(0,+∞), 设a
x 2
01<<，记曲线y = f (x )在点M(x 1, f (x 1-))处的切线为l 。

(1) 求l 的方程；
(2) 设l 与x 轴交点为(x 2, 0), 证明：
① a x 1
02≤
<； ② 若a
x x a x 1
1211<<<则，．
[参考答案]
解答部分：
本卷预期难度系数为0.74
一、选择题：每小题5分，共50分
1．A 本题主要考查集合，充要条件等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.9。

2．C 本题主要考查三角函数的性质等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.8。

3．C 本题主要考查概率密度函数、正态分布等基础知识，预期难度系数为0.4。

4．D 本题主要考查空间线线关系等基础知识，考查空间想象能力，预期难度系数为0.6。

5．D 本题主要考查函数与导数的图象等基础知识，考查读图能力，预期难度系数为0.8。

6．C 本题主要考查等差数列的求和等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.8。

7．D 本题主要考查基本不等式等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.8。

8．A 本题主要考查双曲线和圆等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.7。

9．D 本题主要考查线性规划等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.5。

10．C 本题主要考查等比数列、导数、不等式、三角变换、简易逻辑等基础知识，考查综合推
理和运算能力，预期难度系数为0.5。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

13、14题每空2分。

其余题不设中间分 11．10 本题主要考查复数等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.9。

12．120︒
本题主要考查向量等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.8。

13．3，3 本题主要考查函数的连续性、极限等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.8。

14．( x -2)2+ y 2
=2，2 本题主要考查圆的参数方程，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运
算能力，预期难度系数为0.8。

15. 11 本题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.6。

16．
1
3
本题主要概率等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.6。

17．2 本题主要考查球等基础知识，考查运算能力，预期难度系数为0.3。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．本题主要考查等差数列的通项和求和公式，函数的单调性与最值等基础知识，考查运算能力，
满分14分，预期难度系数为0.7。

解：（1）}{n a 为等差数列，4352a a a a +=+∴
⎩⎨⎧=⋅=+∴5415
5
252a a a a ……………………………………………………2分
解得⎩⎨
⎧==<⎩⎨
⎧==6
9
),0(965252a a d a a 舍去因 ……………………………4分 ⎩⎨⎧=-=⇒101
1
a d ………………………………………………………………5分
.11n a n -=∴ ……………………………………………………………7分
（2）n a a n -==11,101
n n S n 221
212+-=∴………………………………………………8分
.2
23)22(21)
11(221
212++-=--+-=-n n n n n n n a S n n …………9分 因022
1)(,22)(2=-='+=x
x f x x x f ，知)22,0()(在x f 上单减，在),22(+∞上单增， 又5224<<
，
而.5
2
9)5(219
)4(=>=f f …………………………………………12分 ∴当n = 5时，n
a S n n -取最大值为.534
22354721=+⨯- ………………14分
19．本题主要考查余弦定理，倍角公式，二次函数等基础知识，考查运算能力，满分14分，预期
难度系数为0.8。

解：（Ⅰ）∵bc a c b 2
1
2
22=
-+， ∴
412222=-+bc a c b . ∴41
cos =A . …………………………………6分 （Ⅱ）2
sin
cos 22
B C
A ++ =
21cos()
2cos 12B C A -++- 1cos 2cos 2
1
212-++=A A =2cos 2
A+12cosA-12
=2(cosA+18)2-17
32， …………………………………………………11分
∵A ∈[2
π，23π
]，
∴cosA ∈[-1
2
，0].
∴2(cosA+
18)2-1732∈[-1732
，-14].
即A C B 2cos 2sin
2++的取值范围是[-1732
，-14].…………………………14分 20．本题主要考查空间线面关系及空间向量与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运
算能力，满分14分，预期难度系数为0.8。

解法一： （Ⅰ）连结BD ∵PD ⊥平面ABCD ，
∴平面PDB ⊥平面ABCD ， 过点E 作EO ⊥BD 于O ，连结AO. 则EO ∥PD ，且EO ⊥平面ABCD.
∴∠AEO 为异面直线PD ，AE 所成的角…………3分 ∵E 是PB 的中点， 则O 是BD 的中点， 且EO=
2
1
PD=1. 在Rt △EOA 中，AO=2， 2tan ==
∴EO
AO
AEO . 即异面直线PD 与AE 所成角的大小为.2arctan …………………………… 5分 （Ⅱ）连结FO ，
∵F 是AD 的中点， ∴OF ⊥AD.
∵EO ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理，得EF ⊥AD. 又∵AD ∥BC ，
∴EF ⊥BC. ………………………………………………………………………… 7分 连结FB.
可求得FB = PF =.5 则EF ⊥PB. 又∵PB ∩BC = B ，
∴EF ⊥平面PBC. …………………………………………………………………10分 （Ⅲ）取PC 的中点G ，连结EG ，FG.
则EG 是FG 在平面PBC 内的射影 ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥BC 又DC ⊥BC ，且PD ∩DC = D ，
∴BC ⊥平面PDC ， ∴BC ⊥PC ， ∵EG ∥BC ， 则EG ⊥PC ∴FG ⊥PC
∴∠FGE 是二面角F —PC —B 的平面角 ………………………………………12分 在Rt △FEG 中，EG=
2
1
BC = 1，GF = 322=+DG DF ， .33
3
1cos ===
∴FG EG FGE ∴二面角F —PC —B 的大小为.3
3
arccos
…………………………………14分
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A （0，2，0），
B （2，2，0），
C （2，0，0），
D （0，0，0），P （0，0，2），
E （1，1，1）……2分
.3
3
3
22||||,cos ,2||,3||.2210)1(01).2,0,0(),1,1,1(==
⋅>=
<∴===⨯+⨯-+⨯=⋅∴=-=∴DP AE 又
故异面直线AE 与DP 所成角的大小为.3
3
arccos
……………………………6分 （Ⅱ）).2,0,2(),2,2,2(),1,0,1(),0,1,0(-=-=--=PC PB EF F
,
.,0)2()1(002)1(.
,0)2()1(202)1(P PC PB PC EF PC EF PB EF =⊥∴=-⨯-+⨯+⨯-=⋅⊥∴=-⨯-+⨯+⨯-=⋅∴ 又
∴EF ⊥平面PBC. …………………………………………………………………10分 （Ⅲ）设平面PFC 的法向量为).,,(z y x m =
)0,1,2(-=
则⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,02.
0,0z x y x PC m m 则 令).1,2,1(,1==m z 则 由（Ⅱ）知平面PBC 的法向量为).1,0,1(=
.3
3
2
62|
|||,cos =
⋅=
>
<FE m m 则二面角F —PC —B 的大小为为.3
3
arccos
…………………………………14分 21．本题主要考查向量的数量积，直线、双曲线方程和性质等基础知识，考查解析几何的基本思
想方法和知识的综合运用能力，着重考查运算能力，满分14分，预期难度系数为0.5。

解：（Ⅰ）由已知得
1()(,)22
OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-
14m n ∴⋅=
…………4分
（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得
(,)()(,)x y m n =+
())m n m n =+- …………5分
∴
)
x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得
2
2
43y x mn -=，又因14
mn = 8分 ∴ P 点的轨迹方程为22
1(0)3
y x x -=> 它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2
2
13
y x -=的右支 …………9分 （Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得
223(2)3ty y +-=
即 22(31)1290t y ty -++=
易知2(31)0t -≠（否则，直线l
的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>
设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212
22129,31
31
t y y y y t t -+==--
∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧
1212(2)(2)x x ty ty =++212122()4t y y t y y =+++
2
22912243131
t t t t t -=⋅+⋅+--2234031t t +=->- ∴ 2
310t -<，即2103
t <<
又由 120x x +>同理可得 2
103
t <<
…………11分
由3ME EN =得
1122(2,)3(2,)x y x y --=-
∴1212
23(2)
3x x y y -=-⎧⎨-=⎩
由122222
123231t y y y y y t +=-+=-=--得 22631
t y t =-
由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得 2
22331
y t =--
消去2y 得
2222363(31)31
t t t =---
解之得：2115t = ，满足2
103
t << …………13分
故所求直线l
0y --=
0y +-= …………14分 22．本题主要考查导数、二次函数、不等式等基础知识，考查知识的综合运用和解决问题的创新
能力能力。

满分14分，预期难度系数为0.5。

解 (1) ∵ f (x ) =x ax -1，∴ 21)(x
x f -='， 由此可得切线l 的方程：)(1)1(121
11x x x x ax y --=--．………………………… ※ …6分 (2) 证明 依题意，在切线方程※中令y = 0, 得x 2 = x 1(1-a x 1) + x 1= x 1(2-a x 1) , 其中a
x 201<<． 于是，有 ① 由a x 201<
<及 x 2 = x 1(2- a x 1) 得x 2 > 0，且 a a x a x 1)1(212+--=， ∴ a x 102≤
<，当且仅当a x a x 1 121==时，． …………11分 ② 当a
x 11<时，有ax 1 < 1，因此，有x 2 = x 1(2-a x 1) > x 1， 又由①得 a a a x a x 11)1
(212≤+
--=．∴ a x x 1 21<<． …………16分。