初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编附答案解析(1)
一、选择题
1．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩
【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩
∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
2．解方程组：
⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612
x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2
{1x y ==-；（2）3{45
x y z ===
【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．
（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.
（1）2
{1x y ==- ； (2) 3{45
x y z ===
“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.
3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．
（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；
（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当
x= ，两车相距25千米的路程.
【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30
【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.
（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)
甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）
又∵两车同时到达B 地，
∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.
（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176
）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086
k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.
（3）6730 h 或7730
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利
用数型结合的思想解答问题．
4．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩
【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3
+=⎧⎨
-=⎩即可． 【详解】
由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，
x 3y 3∴-=，
解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．
5．解方程组
【答案】原方程组的解为：， 【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】 解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
6．已知1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩是方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
的一组解，求此方程组的另一组解.
【答案】2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
【解析】
【分析】
先将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组
解．【详解】
解：将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中得：
13
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则方程组变形为：
2213
1
x y
x y
⎧+=
⎨
+=
⎩
，
由x+y=1得：x=1-y，
将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，
将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；
所以方程的另一组解为：2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
.
【点睛】
用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键.
7．解方程组：
22
29
20
x xy y
x y
⎧++=
⎨
--=
⎩
．
【答案】
5
2
1
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
或
1
2
5
2
x
x
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
.
【解析】
【分析】
先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】
22291202x xy y x y （）（
）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，
故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩
解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．
8．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩
【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分
别求出对应的x 的值即可；
（2）设1A x y =+，1B x y
=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．
【详解】
解：（1）由1x y -=得：1x y =+，
将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()2
21120y y y y +-+-=， 整理得：2
201y y --=，
解得：1y =或12
y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12
x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； （2）设1A x y =+，1B x y
=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩
， 解得：656
A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
是方程组的解． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．
9．解方程组：22694(1)23(2)
x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩ 【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22
135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，
解出即可
【详解】
解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，
∴x ﹣3y ＝±2，
∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩
解得1151x y =⎧⎨=⎩或22
135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22
135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】
此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则
10．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩
【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
【解析】
【分析】
根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．
【详解】
解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②
， 由①，得x=17+y③，
把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，
解之，得y 1=-15，y 2=-2．
把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，
把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．
故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩
. 【点睛】
本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．
11．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.
【答案】12cm 、16cm 、20cm.
【解析】
【分析】
设两直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．
【详解】
设该直角三角形的两条直角边为a 、b
+1=962
a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩
， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12
a b ⎧⎨⎩
cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.
【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962
ab
12．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩
【答案】1110x y =⎧⎨
=⎩，2234
x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．
【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩
①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩
①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
13．已知()22
221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩
①② 求证：()()
2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析
【解析】
【分析】
先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．
【详解】
证明：把②代入①，得
22
22()1my n y a b
++=， ()
222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，
222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()
2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．
【点睛】
本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．
14．（1
）解方程组：221104100
x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩
【答案】（1
）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】
【分析】
（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
【详解】
（1
）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②
由②
410y =-
两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=
代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=
解得：3y =或139
y = 将3y =代入②
12100-+=
，解得：x =将139y =代入②
1341009-⨯+=
，解得：x =
故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩
去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①② +①②得：55x =-，解得：1x =-
将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-
故原方程组的解为16
x y =-⎧⎨
=-⎩. 【点睛】
本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
15．()()22244922120
x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：()()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①
②
将①因式分解得：2(2)9x y -=，
∴23x y -=或23x y -=-
将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=
∴240x y +-=或230x y ++=
∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩
解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
16．解方程组2210260
x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩ 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
17．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。

（1）求证：圆O 与CE 相切于点E.
（2）如图1，若AF=2FD ，且30AEF ∠=︒，求n 的值。

（3）如图2，若EF=EC ，且圆O 与边CD 相切，求n 的值。

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）74
【解析】（1）由四边形ABCD 是矩形证明∠FEC=90°即可；（2）在直角三角形中利用三角函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n n 的值．
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，
∠BCE+∠BEC=90°，
又∵∠AEF=∠BCE ，∵∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠FEC=90°，∴⊙O 与CE 相切．
（2）∵AF=2FD,设FD=a 。

则AF=2a ，
在直角三角形AEC 中，∵∠AEF=30°，
∴∠BCE=30°．
∴EF=4a ，由勾股定理：AE=23 ，
．
∴BC=3a ，又在直角三角形EBC 中，
3EB a ∴=，
23333AB AE EB a a n AD AD a
++====.
过E 作EM DC 于M,因为圆O 与CD 相切，设切点为N ，连接ON,又过F 作FQ EM 交ON 于H ， Q FE=EC, EF ⊥EC, ∴ AEF CBE ∆≅∆，
根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD= y ，AF=QE=EB= x ，
易证明OH 为EFQ ∆的中位线，OH=
22EQ x =， 2ON=EF=
，
由勾股定理和题意可列方程： 2222){y x x y x y ny
-=++=（， 化简：
74
n ∴= ． “点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
18．（探究证明）
(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，
H.，求证：
=EF AD GH AB
； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM
； （联系拓展）
(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM
的值．
【答案】（1）证明见解析；(2)11
15
；（3）
4
5
.
【解析】
分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质
证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BN
AM
；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点
A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.
详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.
∴AP AD
BQ AB
＝，∴
EF AD
GH AB
＝.
(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，
∴由(1)的结论可得EF AD
GH AB
＝，
BN AD
AM AB
＝，
∴
11
15 BN EF
AM GH
＝＝.
(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB
＝．
设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，
∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，
在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，
由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，
222525x y x y ⎧⎨-⎩
＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8，则8
4105
DN AR AM AB ＝＝＝.
点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.
19．解方程：
【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分）
解得，
························································ （2分） 代人得
20．解方程组：2234021
x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．
【详解】
解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩
， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．
原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩
． 解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩． ∴原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.。