高中数学 第四章 圆与方程 4.14.1.2 圆的一般方程练习

4.1.2 圆的一般方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3 解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，
所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1，2)，
即－3＋2＋a ＝0，
所以a ＝1.
答案：B
2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为
22
，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2
＝22，得a ＝0或a ＝2. 答案：C
3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2
＝0表示的图形是( )
A ．一个圆
B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆
C ．一个点
D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆
解析：(2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)，
当a ＝b ＝0时，方程表示一个点；
当a ≠0或b ≠0时方程表示一个圆．
答案：D
4．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x ＋y －2＝0
C ．x －y －2＝0
D ．x －y ＋2＝0 解析：因为两圆的圆心坐标为O (0，0)和C (－2，2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，
所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.
答案：D
5．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.
所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 2，a ，在第四象限． 答案：D
二、填空题
6．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13， r ＝13，l ＝2πr ＝213π.
答案：213π
7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．
解析：由题意圆心⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．
答案：－10
8．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________． 解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 22
＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以当－34
k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)． 答案：(0，－1)
三、解答题
9．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2
＋Dx ＋F ＝0.
设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．
由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.
所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.
10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．
解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，
即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253
y －5＝0. 因为点D (m ，3)在⊙M 上，
所以m 2＋32－4m －253
×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.
B 级 能力提升
1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2
＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10
解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.
答案：B
2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12
m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________． 解析：r 2＝1＋（m －1）2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24
， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34
π. 答案：34
π 3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.
(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；
(2)求△ABC 面积的最大值．
解：(1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．
则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)．
设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．
由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2
＝ 3（x －4）2＋y 2，
化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，
即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)． 所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3，0)与(6，0)]． (2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32
时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32
＝3.。