新人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(答案解析)(2)

一、选择题
1．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）
A ．232cm
B ．23cm
C ．22cm
D ．223cm 2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）
A ．53m
B ．52m
C ．()5352m -
D ．()535m - 3．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125
i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）
A ．12.9
B ．22.2
C ．24.9
D ．63.1
4．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m ．已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为2m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，则树的高度为（ ）
A ．10m
B ．12m
C ．()63m +
D ．()423m - 5．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则B
E CE
的值是（ ）
A ．3
B ．33
C ．2
D ．32
6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（ ）
A ．355
B ．175
C ．35
D ．45
7．如图，
O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长
为（ ）
A ．12
B ．3
C ．1
D ．3
8．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2
sin cos θθ-=( )
A ．15
B 5
C 35
D ．95
9．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到
△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（）
A．2
3
B．
3
2
C．
25
5
D．
35
5
10．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为3
4
，考虑安全问题，现
要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）
A．3
4
m B．
1
3
m C．
2
3
m D．
1
2
m
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）
A．a•tanαB．a•cotαC．a•sinαD．a•cosα
12．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE 的长为5m，则树AB的高度是（）m．
A．10 B．15 C．3D．35
二、填空题
13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交,
AD BC于,E F两点．若3,120
AC AEO
=∠=︒，则FC的长度为_________，AOE
S
等于_____．
14．如图， 圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为__________．
15．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．
16．如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA PB +的最小值为______．
17．计算：112tan 6032()2
-+---____． 18．如图，∠EFG =90°，EF =10，OG =17，cos ∠FGO =0.6，则点F 的坐标是_______．
19．乐乐同学的身高为166cm ，测得他站立在阳光下的影长为83cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为103cm ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为___________cm ．
20．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，已知3BE =，33BC =_______．（结果保留π）
三、解答题
21．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，且C 为弧BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连结AC
（1）求证：EF 是O 的切线；
（2）当32,sin 5BF F ==时，求AE 的长．
22．计算；
（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒
（2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒
23．sin 30tan 452cos 45sin 60tan 60︒⋅︒+⋅︒+︒⋅︒
24．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，DE ⊥CE ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米，求此时AB 的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
25．在ABC 中，AB AC =，45BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD 、CE ，直线BD 、CE 相交于点F ．
（1）求证BD CE =．
（2）求BFC ∠的度数．
（3）若2AB AC ==，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．
26．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，
//,BC AD BE AD ⊥，斜坡AB 长为51062
m ，坡度9:5i =．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE ．
（2）如果改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 削进到F 处，问BF 至少是多少米?
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
连接AC ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴AM=ABsin60°3，
∴此菱形的面积为：323
=2
cm)．
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质．2．D
解析：D
【分析】
由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】
解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，
∴BD=BC=5，
设AC=x m，则AB=（x+5）m，
在Rt△ABD中，tan60°=AB BD
，
则
5
3 5
x+
=
解得：535
x=，
即AC的长度是()
535m；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．3．C
解析：C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【详解】
解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i=12
5
，得，
BF
FC
=
12
5
，
又BC=65，
设BF=12x，FC=5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG，
在Rt△AEG中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【详解】
延长AC交BF延长线于D点，作CE⊥BD于E，
则∠CFE=30°，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2（m），EF=4cos30°3m），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为2m、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m，CE=2（m），则CE：DE=2：4=1：2，AB：BD=1：2，
∴DE=4（m），
∴
m），
在Rt△ABD中，AB=1
2
BD=
1
2
m），
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
5．B
解析：B
【分析】
设AC=AB=x
，求得tan
AC
CD
D
===
，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：设AC=AB=x，
则tan
AC
CD
D
===
，
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴
3
BE AB
CE CD
===
故选：B．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
如图，过点A作AH BC
⊥于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点A作AH BC
⊥于H．
在Rt ACH
∆中，4
AH =，3
CH=，
2222435AC AH CH ∴=+=+=，
3cos 5
CH ACH AC ∴∠==， 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．D
解析：D
【分析】
先作OD ⊥BC 于D ，由于∠BAC ＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC ＝120°，又OD ⊥BC ，根据垂径定理可知∠BOD ＝60°，BD ＝
12BC ，在Rt △BOD 中，利用特殊三角函数值易求BD ，进而可求BC ．
【详解】
解：如右图所示，作OD ⊥BC 于D ，
∵∠BAC ＝60°，
∴∠BOC ＝120°，
又∵OD ⊥BC ，
∴∠BOD ＝60°，BD ＝12
BC ， ∴BD ＝sin60°×OB ＝3，
∴BC ＝2BD ＝23，
故答案是23．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD ⊥BC ，并求出BD ．
8．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为5，
∴
5θθ-=，
∴cos sin 5θθ-=
， ∴()21sin cos 5
θθ-=
． 故选A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正
确得出cos sin θθ-=． 9．B
解析：B
【分析】
在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得13AC =．根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，所以8CD =．在Rt CED ∆中根据tan DE ECD DC ∠=
，可求解． 【详解】
解：∵在Rt ABC ∆中，AB=5，BC=12，
∴
由勾股定理可得13AC =，
根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，
8CD ∴=，
在Rt CED ∆中，123tan 82
DE ECD DC ∠=
==， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，利用勾股定理求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题． 10．D
解析：D
【分析】
设AC ＝3k ，BC ＝4k ，根据勾股定理得到AB 5k ＝5，求得AC ＝3m ，BC ＝
4m ，根据直角三角形的性质健康得到结论．
【详解】
解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为3
4
，
∴设AC＝3k，BC＝4k，
∴AB＝22
AC BC
+＝5k＝5，∴k＝1，
∴AC＝3m，BC＝4m，
∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，
∴A′C＝1
2A′B′＝
5
2
，
∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣5
2＝
1
2
m，
故梯子下滑的距离AA'的长度是1
2 m，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．
11．B
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotαAC
BC
=，
∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
12．B
解析：B
【分析】
先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
解：在Rt △CDE 中，
∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，
∴sin ∠DCE ＝51102
DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．
∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，
∴∠BGF ＝60°
∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．
∵∠BDF ＝30°，
∴∠DBF ＝60°，
∴∠DBC ＝30°，
∴BC
＝tan30CD ==︒m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝
＝15（m ）． 故选：B ．
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
二、填空题
13．1【分析】先根据矩形的性质推理得到OF=CF 再根据Rt △BOF 求得OF 的长即可得到CF 的长再由三角形面积公式可得结论【详解】解：
∵EF ⊥BD ∠AEO=120°∴∠DEO=60°∠EDO=30°∵四边
解析：
【分析】
先根据矩形的性质，推理得到OF=CF ，再根据Rt △BOF 求得OF 的长，即可得到CF 的长，
再由三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：∵EF ⊥BD ，∠AEO=120°，
∴∠DEO=60°，∠EDO=30°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，
∴OF=CF ，
又∵Rt △BOF 中，BO=12BD=12AC=3， ∴OF=tan30°×BO=1，
∴CF=1， 过H 点O 作OH ⊥BC 于点H ，
则OH=132BO = ， ∴1133122FOC S CF OH ∆=
=⨯= ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD//BC ，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO
又∠AOE=∠COF
∴△AOE ≌△COF
∴3AOE S ∆= 故答案为：13 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
14．【分析】根据圆周角定理得由于的直径垂直于弦根据垂径定理得且可判断为等腰直角三角形所以然后利用进行计算【详解】解：∵∴∵的直径垂直于弦∴∴为等腰直角三角形∴∴故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直 解析：2
【分析】
根据圆周角定理得245BOC A ∠=∠=︒，由于O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径
定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以2222CE OC ==，然后利用2CD CE =进行计算．
【详解】
解：∵22.5A ∠=︒
∴245BOC A ∠=∠=︒
∵O 的直径AB 垂直于弦CD
∴CE DE =
∴OCE △为等腰直角三角形
∴222CE OC == ∴242CD CE ==．
故答案是：42
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
15．【分析】先利用勾股定理得出AC 根据翻折变换的性质可得AC ⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB 的正切列式求出OF 再求出△AOE 和△COF 全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF 从而求出折痕的长【详解】解
解析：152
【分析】 先利用勾股定理得出AC ，根据翻折变换的性质可得AC ⊥EF ，OC=
12AC ，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF ，再求出△AOE 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，从而求出折痕的长．
【详解】
解：如图
∵AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵折叠后点C 与点A 重合，
∴AC ⊥EF ，OC=
12AC=12×10=5， ∵tan ∠ACB=
OF CO ＝AB CB ， ∴OF 5＝68
， 解得OF=
154， ∵矩形对边AD ∥BC ，
∴∠OAE=∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中
OAE OCF OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴OE=OF=
154， ∴EF=152
故答案为152
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．【详解】解：如解图作点关于直线的对称点连接则线段的长就是的最小值作直径连接∵为的中点点关于直线对称∴∴故答案为：【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识如直径的性质圆心角及圆周角的性质
【详解】
解：如解图，作点B 关于直线MN 的对称点B '，连接AB '，则线段AB '的长就是PA PB +的最小值，
作O 直径AC ，连接CB '，
∵30AMN ∠=︒，B 为AN 的中点，点B 、B '关于直线MN 对称，
∴45C ∠=︒，
∴sin 45AB AC '=⋅︒=
【点睛】
本题考查了与圆有关的基础知识，如直径的性质、圆心角及圆周角的性质．
17．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论
【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数 解析：43+ 【分析】 先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论． 【详解】
解:原式=23+2322332243⨯-+=-++=+，
故答案为：43+．
【点睛】
本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．
18．【分析】先过点F 作直线交轴于点过点作于点证明根据cos ∠FGO=06以及勾股定理即可得到答案【详解】过点F 作直线交轴于点过点作于点如图：∴（两直线平行内错角相等）又∵∠EFG=90°∴∠AFE+∠H
解析：(8,12)
【分析】
先过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，证明
FGO ∠HFG FEA =∠=∠，根据cos ∠FGO =0.6以及勾股定理即可得到答案．
【详解】
过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，如图：
∴FGO HFG ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
又∵∠EFG =90°，
∴∠AFE+∠HEG =90°，
又∵∠AFE+∠FEA =90°，
∴HFG FEA ∠=∠，
∴FGO HFG FEA ∠=∠=∠，
在Rt AEF ∆中，10EF =，则
10cos 100.66AE FEA =⋅∠=⨯= ∴221068AF =-=（勾股定理），
∴1789FH =-=，
在Rt FGH ∆中，90.615FG =÷=，
∴2215912HG =-=（勾股定理），
∴(8,12)F ，
故答案为：(8,12)．
【点睛】
本题主要考查了平行的性质（两直线平行，内错角相等）、勾股定理的应用以及三角函数，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
19．40【分析】如下图利用∠BCA=∠E 可得对应的正切值相等转化为线段比可得BD 长【详解】如下图AB 为乐乐身高BD 是乐乐手臂超出头顶部分AC 是乐乐站立在阳光下的影长AE 是乐乐举起手臂后的影长根据题意AC
解析：40
【分析】
如下图，利用∠BCA=∠E ，可得对应的正切值相等，转化为线段比可得BD 长．
【详解】
如下图，AB 为乐乐身高，BD 是乐乐手臂超出头顶部分，AC 是乐乐站立在阳光下的影长，AE 是乐乐举起手臂后的影长
根据题意，AC=83cm ，AB=166cm ，AE=103cm
∵是阳光照射的影长，∴CB ∥ED
∴∠BCA=∠E
∴tan ∠BCA=tan ∠E ，即：
166********
BD += 解得：BD=40
故答案为：40
【点睛】
本题考查三角函数的运用，解题关键是将题干抽象成数学模型，然后再利用三角函数的特点求解．
20．【分析】设圆弧与AC交于F连接BF过F作FH⊥BC于H解直角三角形得到∠BAC＝60°求得△ABF是等边三角形得到∠ABF＝60°推出∠FBE＝30°然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△A
解析：3 4π
【分析】
设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，解直角三角形得到∠BAC＝60°，求得△ABF是等边三角形，得到∠ABF＝60°，推出∠FBE＝30°，然后根据S阴影＝S扇形BAF＋
S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE计算即可．2
【详解】
解：设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝BE＝3，BC＝33
∴tan∠BAC＝333
3
=
∴∠BAC＝60°，
∵BA＝BF＝3，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠FBH＝30°，
∴FH＝1
2BF＝
3
2
，
∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22
603303333
360360244
，
故答案为：3
4
π
．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．245
【分析】
（1）连接OC ，如图，由弧BC=弧CD 得到∠BAC=∠DAC ，加上∠OCA=∠OAC ．则∠OCA=∠DAC ，所以OC ∥AE ，从而得到OC ⊥FE ，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）设半径OB=OC=3x ，则OF=5x=3x+2，列方程得到OC=3，OD=5，求得AF=8，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接OC ，如图，
∵点C 为弧BD 的中点， ∴弧BC=弧CD ．
∴∠BAC=∠DAC ，
∵OA=OC ，
∴∠OCA=∠OAC ．
∴∠OCA=∠DAC ，
∴OC ∥AE ，
∵AE ⊥FE ， ∴OC ⊥FE ．
∴FE 是⊙O 的切线；
（2）∵3in 5OC s F OF
=
=， ∴设OB=OC=3x ，OF=5x ，
∵OF=OB+BF ，BF=2
∴5x=3x+2，
∴x=1，
∴OC=3，OF=5，
∴AF=8， ∵3in 58AE AE s F AF =
==， ∴245
AE =． 【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
22．（1
2
）1
【分析】
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
解：（1
）原式1422232
=⨯-+⨯
211=--+
=
（2
）原式
1312=-+
221=+
1=．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键． 23．3
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解
【详解】
解：sin 30tan 45cos 45sin 60tan 60︒⋅︒︒+︒⋅︒
=
1+222⨯ =13+1+22
=3
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 24．5.1米
【分析】
延长DE 交AB 延长线于点P 、作CQ AP ⊥于点Q ，根据矩形的判定和性质可得CE PQ 2==、CQ PE =，由坡度1:0.75i =，可设CQ 4x =、BQ 3x =，根据勾股定理可列出关于x 的方程、解方程即可求得x 的值，即由线段的和差可知11DP =，最后解Rt ADP 、线段的和差可求得答案．
【详解】
解：如图，延长DE 交AB 延长线于点P ，作CQ AP ⊥于点Q ，如图：
∵//CE AP ，DE CE ⊥
∴DP AP ⊥
∴四边形CEPQ 为矩形
∴CE PQ 2==，CQ PE = ∵140.753
CQ i BQ === ∴设CQ 4x =、BQ 3x =
∴在Rt BCQ 中, 222BQ CQ BC +=
∴()()22
24310x x += ∴12x =或22x =-（舍去）
∴48CQ PE x ===，36BQ x ==
∴DP DE PE 11=+=
∵测得江面上的渔船A 的俯角为40︒
∴40A ∠=︒
∴在Rt ADP 中,1113.1tan 0.84
DP AP A =
≈≈∠ ∴13.162 5.1AB AP BQ PQ =--=--= ∴此时AB 的长为5.1米．
故答案是：5.1米
【点睛】
本题考查了俯角、坡度、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、线段的和差等，解题的关键在于通过添加辅助线构造出直角三角形．
25．（1）见解析；（2）45BFC ∠=︒或135BFC ∠=︒；（3）222BF =
【分析】
（1）通过AEC ADB △≌△即可证得BD=CE ；
（2）分情况讨论：旋转角小于45︒和旋转角大于45︒两种情况；
（3）AB 与FC 相交于点G ，依题意可证得△AGC 和△FBG 是等腰直角三角形，再利用锐角三角函数求出AG 和FB ，问题可解．
【详解】
解：（1）∵将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，
∴CAE BAD ∠=∠，,,45AC AE AB AD BAC DAE ==∠=∠=︒，
∵AB AC =，
∴AC AE AB AD ===，
∴AEC ADB △≌△（SAS ）
BD CE ∴=；
（2）过点A 作AM BD ⊥于M ，AN CE ⊥于N ，
当45CAE BAD ∠=∠︒＜时，如图，
AC AE AB AD ===，
1234∴∠=∠=∠=∠，
90AMB ANF ∠=∠=︒，
在四边形ANFN 中，180BFC MAN ∠+∠=︒ ，
MAN 311245BAE BAE BAC ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒
18045135BFC ∴∠=︒-︒=︒；
当45CAE BAD ∠=∠︒＞时，如图，
45BAC DAE ∠=∠=︒
BAC BAE DAE BAE ∴∠+∠=∠+∠，
DAB CAE ∴∠=∠，
AC AE AB AD ===， 111,222EAN CAE BAM DAB
∴∠=∠=∠∠=∠=∠， 12EAN BAM ∴∠=∠=∠=∠
145MAN BAN BAM BAN BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
90AMF ANF ∠=∠=︒，
180135MFN MAN ∴∠=︒-∠=︒，
18045BFC MFN ∴∠=︒-∠=︒，
故45BFC ∠=︒或135︒；
（3）如图，AB 与EC 交于G ，
∵四边形ADFC 是菱形，
AC ∴∥BD ，
45FBA BAC ∴∠=∠=︒，
BFC 45∠=︒，
90FGB AGC ∴∠=∠=︒，
在Rt △AGC 中，AC=2，
∴2cos 45222
AG AC =⋅︒=⨯=， 22GB AB AG ∴=-=-，
22222sin 452
2
BG BF -∴===-︒ ．
【点睛】
本题考察了全等三角形的判定和性质，旋转变换，四边形内角和，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，有一定的综合性，根据旋转的特征进行分类讨论和正确运用图
形的性质是解题的关键．
26．（1）45
2
m；（2）10米
【分析】
（1）根据坡度设9
BE x
=，5
AE x
=，利用勾股定理得222
BE AE AB
+=，列出方程求出x的值，可以求出BE的长；
（2）连接AF，过点F作FH AD
⊥于点H，根据FAH
∠是45︒，利用它的正切值得到FH 和AH的比值，设BF xm
=，列式求出x的值．
【详解】
（1）∵坡度9:5
i=，
∴9
5
BE
AE
=，设9
BE x
=，5
AE x
=，
根据勾股定理，222
BE AE AB
+=，则
2
22
5
8125106
2
x x
⎛⎫
+= ⎪
⎝⎭
，解得
5
2
x=，
∴545
9
22
BE m
=⨯=；
（2）如图，连接AF，过点F作FH AD
⊥于点H，
由（1）得
525
5
22
AE m
=⨯=，
设BF xm
=，
∵tan tan451
FH
FAH
AH
=∠=︒=，
∴
45
21
25
2
x
=
+
，解得10
x=，
∴BF至少是10米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法．。