高中数学第二章数列课时作业6数列的递推公式选学新人教B版必修01384

＝b，求数列 { f (n)} 的第 2 011 项．
解：∵ f(x＋ 2)＝ f (x＋1)－f(x)，且 f(1)＝ a， f (2)＝ b，
∴ f(3)＝ f (2)－ f (1)＝ b－ a，
f(4)＝ f (3)－ f(2)＝b－ a－b＝－ a，
f(5)＝ f (4)－ f(3)＝－ a－ b＋ a＝－ b，
a8＝
7，
a9＝
. 7
3 答案： 7
8．数列 { an} 中 a1＝ 1， a2＝3， a2n－ an－ 1·an＋1＝ (－ 1)n－ 1(n≥ 2)，那么 a4＝ ________. 解析： 令 n＝ 2 得 a22－ a1·a3＝－ 1，∴ a3＝ 10. 令 n＝ 3 代入，得 a23－ a2a4＝(－ 1)2，∴ a4＝ 33.
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(1)当 a＞ 1 时， lga＞0，①式为 n＜(n＋ 1)a 对一切 n∈ N *恒成立．
n
即
a＞
n＋
对一切 1
n∈ N * 恒成立，
n
1
由于数列
{
n＋
} 1
＝
{1
－
n＋
} 1
为递增数列
n
且
n＋
＜ 1
1，∴
a＞
答案： 1 5．已知数列 { an} 满足 a4n－3＝ 1， a4n－1＝ 0， a2n＝ 2an，n∈ N *，则 a2 013＝________； a2 014＝
________.
解析： a2 013＝ a504×4－3＝ 1， a2 014＝ 2a1 007＝ 2a4×252－1＝ 0.
答案： 1 0
n＋ 1 A． 2n－ 1 B. n n－ 1 C． n2 D． n
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解析： 方法一：由已知整理得 (n＋ 1)an＝ nan＋ 1，
an＋1 an
an
∴ n＋ 1＝ n .∴数列 n 是常数列．
an a1 且 n ＝ 1 ＝ 1，∴ an＝ n.
f(6)＝ f (5)－ f(4)＝－ b＋ a， f(7)＝ f (6)－ f(5)＝－ b＋ a＋ b＝ a＝ f(1)，
f(8)＝ f (7)－ f(6)＝a＋ b－a＝b＝f (2)． 由此可以看出 f(x)是以 6 为周期的函数，
∴数列 { f(n)} 的第 2 011 项 f(2 011)＝ f(6× 335＋ 1)＝ f (1)＝ a.
25 25 A. B.
9 16
61 31 C.16 D. 15
解析： 由已知得
a1a2a3＝ 32 a1a2＝ 22
9 ? a3＝ 4，
a1a2a3a4a5＝ 25
25
61
a1a2a3a4＝ 16
?
a5＝
，∴ 16
a3 ＋
a5
＝
. 16
答案： C 4．已知 a1＝ 1， an＝ n(an＋1－ an)(n∈ N* )，则数列 { an} 的通项公式是 ( )
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课时作业 (六) 数列的递推公式 (选学 )
A组
(限时： 10 分钟 )
1．已知数列 { an} 中， a1＝ 1， an＝ an－1＋ 1(n≥ 2)，则通项公式为 ( )
A．an＝ 1
B． an＝ 2n－ 1
C． an＝ n D ． an＝ n＋ 1
an＋
1＝
an＋
， 2
∴ an＋1(an＋ 2)＝ 2an. ∴ an＋1an＝ 2an－2an＋ 1.
1 11
两边同除以
2an＋ 1an，得
an＋
－
1
an＝ 2 .
1 111 11
1 11
∴ a2－ a1＝
， 2
a3－
a2＝
，…， 2
an－
an－
＝ห้องสมุดไป่ตู้
1
. 2
1 1 n－ 1 把以上各式累加得 － ＝ .
解析： 由 an＝an－1＋ 1 知 an－ an－1＝ 1， ∴数列的相邻两项中后项比前项大 1.∴通项公式为 an＝ n.
答案： C
2．已知数列 an<0 ，且 2an＋1＝ an，则数列 { an} 是(
)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D ．无法判断
1
1
解析： ∵ an<0，∴ an＋ 1－an＝ 2an－ an＝－ 2an>0.
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an－1 解析： 由 anan－ 2＝ an－ 1，得 an＝ an－2(n≥ 2)，
a2
a3
a4 1
a5 1
a6
∴ a3＝ a1＝ 2， a4＝ a2＝ 1， a5＝ a3＝ 2， a6＝a4＝ 2， a7＝ a5＝ 1，… .
可知数列 { an} 具有周期性，周期为 6，
∴ a2 014＝ a6×335＋ 4＝ a4＝ 1.
an
解：由于
a1＝ a，
an＝ a·
an－ 1(n≥
2)，则
an－
＝
1
a.
an an－1
a3 a2
∴
an＝
an－
1
·
an－
·…·
2
a2· a1· a1
＝ a· a·…· a· a· a ＝ an， n个
∴ bn＝ an· lgan＝ an· lgan＝nan· lga.
由 bn＜ bn＋1 得 nan· lga＜ (n＋ 1)an＋ 1· lga①
∴数列 { an} 是递增数列．
答案： A
3．已知数列 { an} ， a1＝1， a2＝ 2， an＝an－ 1＋ an－ 2(n≥ 3)，则 a5＝ ________. 解析： 由题知 a3＝ a2＋ a1＝ 3， a4＝ a3＋ a2＝ 5，∴ a5＝ a4＋ a3＝ 8.
答案： 8
4．若数列 { an} 满足 a1＝ 1，a2＝ 2， anan－ 2＝ an－1(n≥ 3)，则 a2 014＝ ________.
A．an＝ 2n－ 1 B．an＝ 2n－ 1
1
1
C． an＝
n－ 1
2
D． an＝ 1＋ 2 n
解析：方法一：由已知 a1＝ 1＝ 21－1，a2＝2× 1＋ 1＝ 3＝ 22－ 1，a3＝ 2× 3＋ 1＝ 7＝ 23－ 1，…， 由此归纳得 an＝ 2n－ 1.
方法二：∵ an＋ 1＋1＝ 2(an＋ 1)，
答案： 33
9．设函数 f(x)定义如下表，数列 { xn} 满足 x0＝ 5，且对任意的自然数均有 xn＋ 1＝ f(xn)，则 x2 014＝ ________.
x
12345
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f (x)
41352
解析： x1＝ f(x0)＝ f(5)＝ 2， x2＝ f(x1)＝ f(2)＝ 1，
an＋ 1 ＋ 1 ∴ an＋1 ＝2，用累乘法可得
an＋ 1＝ 2n.
∴ an＝ 2n－ 1.
答案： A
6．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”
表示化学键，按图中结构第 n 个图有化学键 ( )
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＋5＝ 16.
答案： C
1
2．已知数列
{
an}
中，
a1＝
2，
an＝－
(n≥ an－ 1
2)，则
a2 013 等于 (
)
11 A．－ 2 B.2
C． 2 D ．－ 2
1
解析：
∵ an＋2＝－
an＋
＝
1
an，∴数列奇数项相同，偶数项相同，
∴ a2 013＝ a1＝ 2.
答案： C
3．数列 { an} 中， a1＝ 1，对所有的 n≥ 2，都有 a1a2a3·…· an＝ n2，则 a3＋ a5等于 ( )
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B组
(限时： 30 分钟 )
1．已知数列 { an} ， a1＝1， an－ an－ 1＝ n－ 1(n≥ 2)．则 a6 等于 ( )
A． 7
B． 11
C． 16 D ．17
解析： 由题可知 a6＝ a1＋ (a2－ a1)＋ (a3－ a2)＋ (a4－ a3)＋ (a5－ a4)＋ (a6－ a5)＝ 1＋ 1＋ 2＋ 3＋ 4
1.
(2)当 0＜ a＜ 1 时， lga＜0，①式为 n＞(n＋ 1)a，
n 即 a＜ n＋ 1对一切 n∈ N * 恒成立．
1n
1
由于
2≤
n＋
1＜
1，∴
0＜
a＜
. 2
1 综上所述，数列 { bn} 是递增数列时 a 的取值范围是 0， 2 ∪ (1，＋∞ )．
12．设 f(x)是定义在正整数集上的函数， 且满足 f (x＋ 2)＝ f (x＋ 1)－f(x)，如果 f(1)＝ a，f(2)
x3＝ f(x2)＝ f(1)＝ 4， x4＝ f(x3)＝ f(4)＝ 5＝ x0，
从而数列 { xn} 是周期为 4 的数列，于是 a2 014＝ a4× 503＋2＝ a2＝ 1.
答案： 1
10．已知数列
{
an}
中，
a1＝
1，an＋ 1＝
2an (n∈ N
an＋ 2
*)，求通项
an.
2an
解：∵
1 2an， 0≤an< 2，
1 2an－ 1，2≤an<1.
6 若 a1＝ 7，则 a9 等于 ________．
61
解析： a1＝ ∈ 7
，1 2
，
5 ∴ a2＝ 2a1－ 1＝ 7，
3
1
∴
a3
＝
2a2－
1＝
∈ 7
0， 2
，
6 ∴ a4＝ 2a3＝ 7，
5
3
6
5
3
同理
a5＝
7
，
a6＝
7，
a7＝
7，
an a1 2
2
又∵
a1 ＝ 1，∴
an＝
n＋
. 1
2 故数列 { an} 的通项 an＝n＋ 1(n∈ N *)．
11．已知数列 { an } ， a1＝ a(a＞ 0， a≠ 1)， an＝ a· an－1(n≥ 2)，定义 bn＝ an· lgan，如果数列 { bn} 是递增数列，求 a的取值范围．
an
n
方法二：累乘法：
n≥
2
时，
＝， an－ 1 n－ 1
an－1 n－ 1
an－
＝
2
n－
2
…
a3 3 a2＝ 2
a2 2 a1＝ 1
an 两边分别相乘得 a1＝ n.
又∵ a1＝1，∴ an＝n.
答案： D
5．已知数列 { an} 中， a1＝ 1， an＋1＝ 2an＋ 1，则数列 { an} 的通项公式为 ( )
A． 6n 个 B． (4n＋ 2)个 C． (5n－ 1)个 D ． (5n＋ 1)个 解析： 各图中的短线依次为 6,6＋5,6＋5＋5，…，若视 6 为 5＋ 1，则这个数列 1＋5,1＋5 ＋5,1＋5＋ 5＋ 5，…， 于是第 n 个图的化学键个数应为 an＝ 5n＋ 1. 答案： D
7．数列 { an} 满足 an＋ 1＝