湖北省荆门市龙泉中学2020届高三数学12月月考试题 理

龙泉中学2020届高三年级12月月考
数学（理科）试题
全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{|2,}x
A y y x R ==∈，{|1,}
B x y x x R ==-∈，则A B =I A ．{}
1
B ．(0,)+∞
C ．(0,1)
D ．(0,1]
2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z += A ．5 B ．2 C ．3 D ．3
3. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布
()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数
为
A.20
B.10
C.7
D.5
4．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要
A ．7天
B ．8天
C ．9天
D ．10天
5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为
A ．
14 B ．13 C ．916 D ．49
6. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2
B ．
4
3
C ．
54
D ．1
7. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为 A.
172
3
π B.
43
3
π C. 48π
D. 56π
9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：2
2(0)y px p =>上异于原点的任
意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则
||
||
OH ON 的值为 A ．p B ．
12 C ．2
D ．
32
10. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，
则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为 A ．10
B ．8
C ．16
D ．20
11. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><
⎪⎝
⎭
的图象过点()0,1B ，且在72,18
3ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
上单调，同时()f x 的图象向左平移
π个单位之后与原来的图象重合，当
12195,,12
6x x ππ
⎛⎫∈--
⎪⎝⎭
，且
12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=
A. 3-
B.1-
C. 1
D.2-
12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内
的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是54
A.
64
9
B. 43
C.
1633 D. 32
39
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量a r ,b r
的夹角为60︒，2a =r ，1b =r ，则3a b +=r r _______ ．
14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
则2z x y =+最大值为_________．
15.在ABC ∆中，,5,6
B A
C
D π
∠=
=是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的
面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．
16.已知实数a ，b ，c 满足
2211
a a e c
b d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()
22
a c
b d -+-的
最小值为________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.
17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n a S -=.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21
(1)
n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .
18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，
//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==
（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；
（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.
19．(本小题满分12分)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆
940)2(:22=
+-y x M 的公共弦长为3
10
4． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的
餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。

已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为120千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数）
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份10元。

(i)记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望； (ii)若送餐员一天的目标收入不低于180元，试估计一天至少要送多少份外卖？
21. (本小题满分12分)已知函数()ln f x x ax x =+.()a ∈R
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，且极大值为1，证明：()2x f x e x -≤+.
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2cos :sin x a
C y a =⎧⎨=⎩
（a 为参数），在以原点O 为极点，
x 轴的非
负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为1)4
cos(22-=+π
θρ. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()10f x ≤；
（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围.
数学（理科）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
A
B
C
C
D
D
A
C
B
C
D
1319．4 15．85
16．
252 17.解：（1)n n a -2S 1＝中令n 1＝得1a 1＝-，
由n n a -2S 1＝
可得，1n 1n 1n 11
a S S 22
n n a a +---
＋＋＝－＝，整理得n 1n a a ＋＝-， 所以{}a n 是首项为－1，公比为－1的等比数列，故()n a 1n
-＝ . ……………5分 (2)由题意，()()()21111111n
n n n b n n n n +⎛⎫=-⋅
=-+ ⎪++⎝⎭
.………7分
10011111
1100T 1223100101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++-++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ＝-＝. ……………12分 18.解：（1）∵//CD 平面ABP ，CD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABP AB =，∴
//CD AB ，分别取,AP BP 中点,E O ，连接,,,DE EO OC
则//CD EO ，CD EO =，所以四边形DEOC 为平行四边形. ∴//DE OC ，∵,,CO PB CO AB PB AB B ⊥⊥⋂=， ∴CO ⊥平面ABP ，∴DE ⊥平面ABP
∵DE ⊂平面DAP ，∴平面BAP ⊥平面DAP ……………6分 （2）由（1）可得,,OC OB OE 两两垂直，
以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则由已知条件有：3,0,0),D(3,0,2)C
(0,1,0),(0,1,4),(0,0,2),3,1,0),(0,2,4)P A CD PC PA -===u u u r u u u r u u u r
平面PCD 的一个法向量记为(,,)n x y z =r ，则20
30
z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴(1,3,0)n =r
从而2315
sin cos ,252
PA n α-===
⨯u u u r r 12分 19．（1）由题意可得26a =，所以3a =． 由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=
410，恰为圆M 的直径， 可得椭圆C 经过点210
(2,，所以2440199b +=，解得28b =．
所以椭圆C 的方程为22
198
x y +=．………5分
（2）直线l 的解析式为1y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设
存在点
(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由22
119
8y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得()2
2
8918630k x
kx ++-=，
故1221889k x x k ∴+=-
+，所以02
989k
x k
-=+，0028189y kx k =+=+．………7分 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即228
0189989k k k m k
-+=---+， 所以21
8
899k m k k k
--==
++．………9分 当0k >时，89298122k k +⨯=≥，所以2
024
m -
≤<．………11分 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为
2
024
m -
≤<．12分 20.(1)估计每名外卖用户的平均送餐距离为：
1
80
()120.520 1.524 2.516 3.58 4.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2.35千米……3分 所以送餐距离为120千米，送餐份数为：120
512.35
≈份；………5分
（2）（Ⅰ）由题意知X 的可能取值为：3，5，10
322(3)805p X ==
=，401(5)802p X ===，81
(10)8010
p X === 所以X 的分布列为：
X 3
5
10
P
2
5 12 110
……7分
所以E （X ）=211
3510 4.75210
⨯+⨯+⨯=……9分 （Ⅱ）180÷
47
38.310
≈份
所以估计一天至少要送39份外卖。

……12分
21．解:（1）由题意0x >，()1ln f x a a x '=++………1分
① 当0a =时，()f x x =，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；………2分 ② 当0a >时，函数()1ln f x a a x '=++单调递增，
11()1ln 00a
f x a a x x e
--
'=++=⇒=>，故当110,a x e --⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，当
11,a
x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 在110,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()f x 在11,a x e --⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；………4分
③ 当0a <时，函数()1ln f x a a x '=++单调递减，
1
1()1ln 00a
f x a a x x e
--
'=++=⇒=>，故当110,a
x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，当
11,a x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在110,a x e --⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，函数()f x 在
11,a
x e --⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减．………5分
（2）由（1）可知若函数()ln f x x ax x =+存在极大值，则0a <，且1
11a
e --
=，解得1a =-，
故此
时()ln f x x x x =-，………6分 要证2()x
f x e x -≤+，只须证2ln x x x x e x --≤+，及证2ln 0x e x x x x -+-+≥即可，
设()2ln x
h x e
x x x x -=+-+，0x >．
()2ln x h x e x x -'=-++，令()()g x h x '=
()1
20x g x e x
-'=++
>，所以函数()2ln x h x e x x -'=-++单调递增， 又11210e h e e e -⎛
⎫'=-+-< ⎪⎝⎭
，()1120h e '=-+>，
故()2ln x
h x e x x -'=-++在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在唯一零点0x ，
即0
002ln 0x e
x x --++=．……9分
所以当()00,x x ∈，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x x ∈上单调递减，函数()h x 在()0,x x ∈+∞上单调递增， 故()()0
200000ln x h x h x e
x x x x -≥=+-+，
所以只须证()0
200000ln 0x h x e x x x x -=+-+≥即可，
由0
002ln 0x e
x x --++=，得0002ln x e x x -=+，
所以()()()00001ln h x x x x =++，又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可，
当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x
x x x e e x --<-⇒<⇒-+<
所以0
0x e
x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x
e x x --++=矛盾，
故00ln 0x x +≥，得证．………12分 （另证）
当00ln 0x x +<时，000000ln 0x x
x x x e e x --<-⇒<⇒-+<
所以0
0x e
x --++00ln 0x x +<与0002ln 0x
e x x --++=矛盾；
当00ln 0x x +>时，000000ln 0x x
x x x e e x -->-⇒>⇒-+>
所以0
0x e
x --++00ln 0x x +>与0002ln 0x
e x x --++=矛盾；
当00ln 0x x +=时，000000ln 0x x
x x x e e x --=-⇒=⇒-+=
得0
002ln 0x e
x x --++=，故00ln 0x x +=成立，
得()()()00001ln 0h x x x x =++=，所以()0h x ≥，即2()x
f x e
x -≤+．
22. 解：（1）曲线C 化为普通方程为：2
214
x y +=,………………………2分 由
1)4
cos(22-=+π
θρ，得2sin cos -=-θρθρ，……………………4分 所以直线l 的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………5分
（2）直线1l 的参数方程为21,22.2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），……………………7分
代入2
214
x y +=化简得：252302t t --=，…………………9分 设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则1265t t =-
， ∴126||||||5
MA MB t t ⋅==. ………10分
23.解析：（1）()10f x ≤可化为10 23310x x >⎧⎨-≤⎩或12510x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或13310x x <-⎧⎨-+≤⎩
； 2＜x ≤133或或7
3-；
不等式的解集为713,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
；…………………5分 （2）由题意：2()f x x a =-+25,[0,2]a x x x ⇔=-+∈
故方程2
()f x x a =-+在区间[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点 Q 当[0,2]x ∈时，2195[,7]4
y x x =-+∈ 19[,7]4
a ∴∈…………………10分。