湖南大学大学物理练习册答案(一、二两册全)

大学物理（一）练习册 参考解答
第1章 质点运动学
一、选择题
1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(D)，6(D)，7(D)，8(D )，9(B)，10(B)， 二、填空题
(1). sin 2t A ωω，()π
+122
1n (n = 0,1,… ),
(2). 8 m ，10 m. (3). 23 m/s.
(4). 16Rt 2 ，4 rad /s 2
(5). 4t 3-3t 2 (rad/s)，12t 2-6t (m/s 2). (6).
3
3
1ct ，2ct ，c 2t 4
/R .
(7). 2.24 m/s 2
，104o
(8). )5cos 5sin (50j t i t
+-m/s ，0，圆. (9). h 1v /(h 1-h 2) (10). 0321=++v v v
三、计算题
1. 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度；
(3) 第2秒内的路程．
解：(1) 5.0/-==∆∆t x v m/s
(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2, v (2) =-6 m/s. (3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m.
2. 一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．
解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t
⎰
⎰
=
v
v 0
d 4d t
t t v = 2t 2
v d =x /d t 2=t 2
t t x t
x
x d 2d 0
2
⎰
⎰
=
x 2= t 3 /3+x 0 (SI)
3. 质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2
(SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
解：设质点在x 处的速度为v ，
62d d d d d d 2
x t
x x
t
a +=⋅
=
=
v v
()x x x
d 62d 0
2
⎰⎰+=
v v v
() 2 21
3 x x +=v
4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为-=a ky ，式中k 为常量，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y 0处的速度为v 0，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．
解： y
t y
y t a d d d d d d d d v
v
v v
===
又 -=a ky ∴ -k =y v d v / d y
⎰⎰+=
-
=-
C ky
y ky 2
2
21
21
, d d v
v v
已知 =y y 0 ，=v v 0 则 2
0202
121ky C --=v
)(2
20202
y y k -+=v v
5. 一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为2
2
1ct bt S +
= 其中
b 、
c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．
解： ct b t S +==d /d v c t a t ==d /d v ()R ct b a n /2
+=
根据题意： a t = a n 即 ()R ct b c /2
+=
解得 c
b c
R t -
=
6. 如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的角速度ω与时间t 的函数关系为2
kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的
速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小．
解：根据已知条件确定常量k
(
)2
2
2
/rad 4//s
Rt
t
k ===v ω
24t =ω, 2
4Rt R ==ωv
s t 1=时， v = 4Rt 2
= 8 m/s
2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v
()
8.352
/12
2=+=n t a a a m/s 2
7. (1)对于在xy 平面内，以原点O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试
用半径r 、角速度ω和单位矢量i
、j 表示其t 时刻的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r , 角速度ω如图所示；
(2)由(1)导出速度 v
与加速度 a
的矢量表示式； (3)试证加速度指向圆心．
解：(1) j t r i t r j y i x r
s i n c o s ωω+=+=
(2) j t r i t r t r
c o s s i n
d d ωωωω+-==v j t r i t r t
a
s i n c o s d d 2
2ωωωω--==v (3) ()r j t r i t r a s i n c o s 22
ωωωω-=+-=
这说明 a 与 r 方向相反，即a
指向圆心
8. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h 的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h ，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．
解：设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面，由题可知：
v FE =60 km/h 正西方向 v AF =180 km/h 方向未知
v AE 大小未知， 正北方向
由相对速度关系有： FE AF AE v v v +=
AE v 、 AF v 、EE v 构成直角三角形，可得 ()
()
k m /h 1702
2
v v v =-=
FE
AF
AE
() 4.19/tg
1
==-AE
FE
v v θ
（飞机应取向北偏东19.4︒的航向）．
西
北
θ
FE
v v
AF v v
AE
v
v
四 研讨题
1. 在下列各图中质点M 作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？
参考解答：
(1)、(3)、(4)是不可能的．
(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；
(3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.
2. 设质点的运动方程为)(t x x =，)(t y y =在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出2
2
y
x r +=
，然后根据 t
d d r =
v 及 2
2
d d t
r a =
而求得结果；
第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 2
2
)d d (
)d d (t
y t x +=
v 和 2
2
2
2
2
2
)
d d (
)d d (
t
y t
x a +=
.
你认为两种方法中哪种方法正确？
参考解答：
第二种方法是正确的。

因为速度和加速度都是矢量，根据定义，
j t y i t x j y i x t t r
d d d d )(d d d d +=
+==v
j t
y i t x j t
y i t x t t a
2
222d d d d )d d d d (d d d d +=
+==v 所以 2
2
)d d (
)d d (t
y t x +=
v ， 2
2
2
2
)d d (
)d d (
2
2
t
y t
x a +=
.
第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性
)ˆ(d d d d 0
r r t
t r ⋅==
v t r r r
t r d ˆd ˆd d 00+= （0ˆr 为r 方向的单位矢量）， 2
002d ˆd d ˆd d d 2ˆd d d d t
r r t r t r r t r t a 2+⋅+==2v
. 问题的关键：
?d ˆd 0
=t
r
在第二种方法中，
,0d d =t
i
如果在第一种方法的讨论中，
,0d ˆd 0=t
r 那么
)ˆ(d d d d 0
r r t t r ⋅==
v t r r r t r d ˆd ˆd d 00+==,ˆd d 0r t r =则t
r d d =v 也成立！
注意：若
,0d ˆd 0
=t
r
则0
ˆr
必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。

根据质点的运动方程为)(t x x =，)(t y y =，质点作平面曲线运动，如图所示，0ˆr
大小不变，但方向改变！
所以
,0d ˆd 0
≠t
r
即第一种方法是错误的！
v
v
(3)
(4)
只有在直线运动中，i r =0ˆ（显然i 是大小与方向均不随时间改变的常矢量）,
0d d d ˆd 0
==t
i
t r 速度的大小才等于t
r d d .对加速度的大小2
2
d d t
r a ≠
也可以用同样方法加以讨论.
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
一、选择题
1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(B)，12(A)，13(D) 二、填空题
(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ²s
(5). j t i t
23
23+ (SI)
(6). 16 N ²s ， 176 J (7). 16 N ²s ，176 J (8). M k l /0
，
M
k nm
M Ml +0
(9). 63.2 N
(10). (2 m ，6 m)； (-4 m ，2 m)和(6 m ，8 m)； 2 m 和6 m. 三、计算题
1. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小．
解：根据牛顿第二定律 x
m t
x x
m
t
m
x
k f d d d d d d d d 2
v v
v v =⋅
==-
=
∴ ⎰
⎰-
=-=4
/2
2
d d ,
d d A A
x mx
k mx
x k
v
v v v v
k mA
A
A
m
k 3)14
(212
=
-
=v
∴ )/(6mA k =v
2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度．
解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律
t
m K d d v v =-
∴ ⎰
⎰=
-
=
-
v
v v
v v v 0
d d ,
d d 0
t
t m
K
t m K
∴ m Kt /0e -=v v (2) 求最大深度 解法一： t
x d d =
v
t x m Kt d e d /0-=v
t x m
Kt t
x
d e
d /0
00
-⎰
⎰
=
v
∴ )e 1()/(/0m Kt K m x --=v
K m x /0max v =
解法二：
x
m t x x
m t
m K d d )d d )(
d d (d d v v
v v v ===-
∴ v d K
m dx -
=
v v d d 0
m
a x
⎰
⎰-=K
m x x
∴ K m x /0max v =
3. 如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h ＝0.5 m 处，煤粉自料斗口自由落在A 上．设料斗口连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s ，A 以v ＝2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向．（不计相对
传送带静止的煤粉质重）
解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度
gh 20=
v
设煤粉与A 相互作用的∆t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为
t q m m ∆=∆
设A 对煤粉的平均作用力为f
，由动量定理写分量式： 0-∆=∆v m t f x )(00v m t f y ∆--=∆
将 t q m m ∆=∆代入得 v m x q f =， 0v m y q f = ∴ 1492
2
=+=
y x f f f N
f
与x 轴正向夹角为α = arctg (f x / f y ) = 57.4°
由牛顿第三定律煤粉对A 的作用力f ′= f = 149 N ，方向与图中f
相反．
4. 有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：
(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？
(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ，速率为v ，t+d t 时刻，皮带上的砂子质量为M+d M ，速率也是v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F 的冲量为：
v v v ⋅=⋅+-+=M M M M M t F d )0d ()d (d ∴ m q t M F ⋅==v v /d d 由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F '，即F '=F ．由于皮带匀速 运动，动力源对皮带的牵引力F ″=F ， 因而， F " =F ，F "与v 同向，动力源所供给的功率为： m
q t M F P 2/d v v v v =⋅=⋅=d
(2) 当q m ＝d M/d t=20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，水平牵引力
F "＝v q m =30 N 所需功率 P=v 2q m =45 W
5.一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则
(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：
(1)
建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为
y ,则摩擦力大小为 g l
y m f μ=
摩擦力的功 ⎰
⎰
--=
=0
d d a
l a
l f y gy l
m y f W μ
=
22a
l y
l
mg
-μ =2
)(2a l l
mg
--
μ
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2
02
2
12
1v v m m -
其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 W P =⎰l
a x P d =l
a l mg x x l
mg l
a
2)
(d 2
2
-=
⎰
由上问知 l a l mg W f 2)
(2
--=μ
所以
2
2
2
2
2
1)(22)
(v m a l l
mg l
a l mg =
--
-μ
得 []
2
1
2
2
2
)
()(a l a l
l
g ---=μv
a
l -a
-a
6.小球A ，自地球的北极点以速度0v
在质量为M 、半径为R 的地球表面水平切向向右飞出，如图所示，地心参考系
中轴OO ＇与0v
平行，小球A 的运动轨道与轴OO ＇相交于距O 为3R 的C 点．不考虑空气阻力，求小球A 在C 点
的速度v 与0v
之间的夹角θ．
解：由机械能守恒：
)3/(2
1/212
20R GMm m R GMm m -=-v v ①
根据小球绕O 角动量守恒： θs i n 30v v Rm Rm = ② ①、②式联立可解出． R
GM /129sin 20
-=
v
v θ
7.质量为m A 的粒子A 受到另一重粒子B 的万有引力作用，B 保持
在原点不动．起初，当A 离B 很远( r = ∞)时，A 具有速度0v
，
方向沿图中所示直线Aa ，B 与这直线的垂直距离为D ．粒子A 由
于粒子B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已
知这轨道与B 之间的最短距离为d ，求B 的质量m B ．
解：A 对B 所在点的角动量守恒．设粒子A 到达距B 最短距离为d 时的速度为v ． d m Dm A A v v =0， d D /0v v = A 、B 系统机械能守恒(A 在很远处时， 引力势能为零)
d m Gm m m B A A A /2
1212
20-=v v
解得 d Gm
B
/22
02=-v v
∴ )2/()(2
022Gd d D m B v -=
8. 一个具有单位质量的质点在随时间 t 变化的力j t i t t F )612()43(2
-+-= (SI) 作用下运动．设该质点在t = 0时位于原点，且速度为零．求t = 2秒时，该质点受到对原点的力矩和该质点对原点的角动量．
解： 以下各式均为SI 式 m = 1， a m F
=，
j t i t t F )612()43(2-+-=， j t i t t a )612()43(2
-+-=
∵ t a d /d v
=，t = 0时，00=v
∴ ⎰⎰=
t
t a 0
d d
v
v ⎰-+-=
t
t j t i t t 0
2
d ])612()43[(
j t t i t t )66()2(2
23-+-=v
∵ t r /d d =v ， t = 0时， 00=r
∴ ⎰=t
v 0
d t r j t t i t t )32()3241(2
334-+-=
当t = 2 s 时 j i r
43/4+-=，j 12=v ,
j i F 184+=
A
v
v
力矩 k j i j i F r M
40)184()43
4(0
-=+⨯+-=⨯= 角动量 k j j i m r L
1612)43
4(0-=⨯+-=⨯=v
四 研讨题
1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？
参考解答：
汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。

使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。

粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。

由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。

所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。

2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？
参考解答：
冲量是力对时间的积累，由动量定理：P P P t F I t t
∆=-==
⎰122
1
d 所以，冲量的方向和动量增量P ∆的方向相同，不一定与冲力F
的方向相同。

3. 一物体可否只具有机械能而无动量？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。

参考解答：
机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关，势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。

若取保守力系统，物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。

该系统的机械能就是物体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。

例如：一质量为m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h 的高处，此时对于物体和地球系统，具有的机械能为重力势能，其值为 mgh 。

由于此时物体静止，故其动量为零。

在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为零。

所以，一物体也可以有动量而无机械能。

例如：物体自离地面高为h 处自由下落，取物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E 0=0，下落至地面时，物体具有速度的大小为v ，动能为m v 2/2，动量的大小为 m v ，系统的机械能为 E =m v 2/2 - mgh = E 0=0.
4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例说明．
参考解答：
不一定满足守恒条件．
例如在水平面上以速度0v
匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球．以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球＋地系统机械能守
恒．若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为v
，则小球
对地速度v v v +='0，v '
与绳张力T 不垂直，故小球摆动过程中绳
张力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件．但在上述两个参考系（惯性系）中，动能定理和功能原理仍是成立的．
5. 在车窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转弯时，氢气球在车内将向左运动还是向右运动？ 参考解答：
在空气中释放一氢气球，它将受浮力的作用上升。

这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大，因而对氢气上下表面的压力不同，上小下大，而使浮力与重力的方向相反。

在题述汽车向左转弯时，它具有指向车厢左侧的法向加速度。

因而汽车是一非惯性系。

在汽车内观察，即以汽车为参考系，其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。

汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。

根据F i =m ω2
r ，这“重力场”左弱右强。

和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运
动类似，在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左（与水平“重力”方向相反）的“浮力”的作用而向左运动。

（忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动）
第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B)，2(B)，3(A)，4(D)，5(C)，6(C)，7(C)，8(C)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s ，n 2＝500 rev /min (2). 62.5 1.67ｓ (3). g / l g / (2l ) (4). 5.0 N ·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg ²m 2
(7). Ma 21
(8).
mgl μ21参考解：M ＝⎰M d ＝()mgl r r l gm l
μμ2
1d /0
=
⎰
(9).
()2
1
2
mR
J mr J ++ω
(10). l
g /sin 3θω=
三、计算题
1. 有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量2
2
1mR J =
，其中m 为圆形平板的质量）
解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为 r r r R
mg M d 2d 2
⋅π⋅π=μ 总摩擦力矩
m g R M M R
μ3
2d 0
==
⎰
故平板角加速度 β =M /J
设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn
由 J /Mn π==422
0θβω 可得 g R M
J n μωωπ16/342
02
=π=
2. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为
2
21MR
，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速
度与时间的关系．
解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程
对物体： mg －T ＝ma ① 对滑轮： TR = J β ② 运动学关系： a ＝R β ③ 将①、②、③式联立得 a ＝mg / (m ＋2
1M )
∵ v 0＝0，
∴ v ＝at ＝mgt / (m ＋
21M )
3. 为求一半径R ＝50 cm 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m 1＝8 kg 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间t 1＝16 s ．再用另一质量m 2=4 kg 的重锤做同样测量，测得下落时间t 2＝25 s ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
解：根据牛顿运动定律和转动定律，对飞轮和重物列方程，得 TR －M f ＝Ja / R ① mg －T ＝ma ②
m a
h ＝22
1
at ③
则将m 1、t 1代入上述方程组，得
a 1＝2h /21t ＝0.0156 m / s 2
T 1＝m 1 (g －a 1)＝78.3 N J ＝(T 1R －M f )R / a 1 ④ 将m 2、t 2代入①、②、③方程组，得
a 2＝2h /22t ＝6.4³10-3 m / s 2
T 2＝m 2(g －a 2)＝39.2 N
J = (T 2R －M f )R / a 2 ⑤
由④、⑤两式，得
J ＝R 2(T 1－T 2) / (a 1－a 2)＝1.06³103 kg ²m 2
4. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为021
ω时所需的时间．
解：根据转动定律： J d ω / d t = -k ω
∴ t J k
d d -=ωω 两边积分：
⎰
⎰-=t
t J k
02
/d d 1
00
ωω
ωω
得 ln2 = kt / J ∴ t ＝(J ln2) / k
5. 某人站在水平转台的中央，与转台一起以恒定的转速n 1转动，他的两手各拿一个质量为
m 的砝码，砝码彼此相距l 1 (每一砝码离转轴2
1l 1),当此人将砝码拉近到距离为l 2时(每一砝
码离转轴为
2
1l 2)，整个系统转速变为n 2．求在此过程中人所作的功．(假定人在收臂过程中
自身对轴的转动惯量的变化可以忽略)
解：(1) 将转台、砝码、人看作一个系统，过程中人作的功W 等于系统动能之增量：
W ＝∆E k ＝
2
122102
22
204)2
1(2
14)2
1(21n ml J n ml J π+
-
π+
2
这里的J 0是没有砝码时系统的转动惯量． (2) 过程中无外力矩作用，系统的动量矩守恒： 2π(J 0＋2
12
1ml ) n 1 = 2π (J 0＋
2
22
1ml ) n 2
∴
(
)
()
122
2
212102n n n l n l m J --=
(3) 将J 0代入W 式，得 ()2
22
1212
l l n mn W -π=
6. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动．
(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
2
21MR
，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
解：(1) 以子弹和圆盘为系统，在子弹击中圆盘过程中，对轴O 的角动量守恒． m v 0R ＝(2
1MR 2＋mR 2)ω
R m M m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
210
v ω
(2) 设σ表示圆盘单位面积的质量，可求出圆盘所受水平面的摩擦力矩的大小 为 ⎰
π⋅=
R
f
r r g r M
d 2σμ＝(2 / 3)πμσgR 3
＝(2 / 3)μMgR
设经过∆t 时间圆盘停止转动，则按角动量定理有 －M f ∆t ＝0－J ω＝－(2
1MR 2＋mR 2)ω＝- m v 0R
∴ ()Mg
m MgR
R
m M
R m t f
μμ2v 33/2v v 000==
=
∆
7.一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
L 2
1处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为
2
3
1ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)
解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为
L m L x x x x L L 02
02/0
02/30
02
1d d v v v v =
=-
⎰
⎰
ρρρ
式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为
ωωω2
2
21272141234331mL L m L m J =
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= 因碰撞前后角动量守恒，所以 L m mL 02
2
112/7v =
ω
∴ ω = 6v 0 / (7L)
2
12
1
8. 长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．
(2) 细杆摆起的最大角度θ．
解：(1) 设摆球与细杆碰撞时速度为v 0，碰后细杆角速度为ω，系统角动量守恒 得： J ω = m v 0l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能 2
2
02
12
1ωJ m =
v
代入J ＝
2
3
1Ml ，由上述两式可得 M ＝3m
(2) 由机械能守恒式
m g l m =2
02
1v 及
()θω
c o s 12
12
12
-=M g l J
并利用(1) 中所求得的关系可得 3
1
a r c c o s =θ
四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一
质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量∑∆i i m r 2
与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为
2
2
1mR ，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴
的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。

对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。

故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度v c 的方向如图，则摩擦力 F r 的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度v c 逐渐减小；对绕质心的转动来说，
它将使转动的角速度ω逐渐变小．
当质心平动的速度v c = 0而角速度ω ≠0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度v c 和初始角速度ω0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:t
m F c r d d v =-
因mg
F r
μ=, 得
g
c c μ-=0v v (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律βI M =
t
mR RF r d d )
32(
2
ω=-, 得 gt R
μωω
230-
= (2)
由(1),(2)两式可得 R
c c v v --=.02
3ωω, 令 0 0>=ω；c v
可得 R
c 23.0v >
ω
这说明当v c = 0和ω0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
第3章 狭义相对论
一、选择题
1(B)，2(C)，3(C)，4(C)，5(B)，6(D)，7(C)，8(D)，9(D)，10(C) 二、填空题
(1). c
(2). 4.33³10-8s (3). ∆x /v , 2
)/(1)/(c x v v -∆ (4). c (5). 0.99c (6). 0.99c
(7). 8.89³10-8 s (8).
c 32
1
(9). 2/3c =v ，2/3c =
v
(10). 9³1016 J, 1.5³1017 J 三、计算题
1. 在K 惯性系中观测到相距∆x = 9³108
m 的两地点相隔∆t =5 s 发生两事件，而在相对于K 系沿x 方向以匀速度运动的K ＇系中发现此两事件恰好发生在同一地点．试求在K ＇系中此两事件的时间间隔．
解：设两系的相对速度为v , 根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
2
)
/(1c t x x v v -'
+'=
∆∆∆
2
2
)
/(1(c x )/c t t v v -'
+'=
∆∆∆
由题意： 0='∆x
可得 ∆x = v ∆t 及 2
)
/(1c t t v -'
=
∆∆，
由上两式可得 2)/(1c t t v -='∆∆2/122))/()((c x t ∆∆-== 4 s
2.在K 惯性系中，相距∆x = 5³106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔∆t = 10-2 s ；而在相对于K 系沿正x 方向匀速运动的K ＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K ＇系中发生这两事件的地点间的距离∆x ＇是多少？
解：设两系的相对速度为v ．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
2
)/(1c t x x v v -'
+'=∆∆∆
2
2
)
/(1(c x )/c t t v v -'
+'
=
∆∆∆
由题意： 0='∆t
可得 x c t ∆∆=)/(2v 及 2)/(1c x x v -='∆∆
由上两式可得 x '∆2/1222])/()[(c t c x ∆∆-=2/1222][t c x ∆∆-== 4³106 m
3. 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 =-=2
0)
/(1c L L v 54 m
则 ∆t 1 = L /v =2.25³10-7
s
(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则
∆t 2 = L 0/v =3.75³10-7
s
4. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c 和0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s 是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c 运动的系统的本征时，根
据时间膨胀公式t ∆=
`t ∆=∆．
5. 在惯性系中，有两个静止质量都是m 0的粒子A 和B ，它们以相同的速率v 相向运动，碰撞后合成为一个粒子，求这个粒子的静止质量M 0．
解：设粒子Ａ的速度为A v ，粒子Ｂ的速度为B v
，合成粒子的运动速度为V ．由动量守恒得
2
2
02
202
20/1/1/1c
V
V
M c m c m B
B
A
A
-=
-+
- v v v v
因1v v v ==B
A ，且
B A v v
-=，所以 0=V ．
即合成粒子是静止的．由能量守恒得
2
02
2
2
02
22
0/1/1c M c
c
m c c
m =-+
-v v
解出 2
2
/12c
m M
v -=
6. 两个质点A 和B ，静止质量均为m 0．质点A 静止，质点B 的动能为6m 0c 2
．设A 、B 两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质点的静止质量．
解：设复合质点静止质量为M 0，运动时质量为M ．由能量守恒定律可得 2
202
mc c m Mc +=
其中mc 2为相撞前质点B 的能量．
2
02
02
0276c m c
m c m mc
=+=
故 08m M = 设质点B 的动量为p B ，复合质点的动量为p ．由动量守恒定律 B p p =
利用动量与能量关系，对于质点B 可得
4
2042420224c qm c m c m c p B ==+
对于复合质点可得 4
20424202264c m c M c M c P ==+ 由此可求得 2
0202020
164864m m m M
=-=
004m M =
四 研讨题
1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？
参考解答：
牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。

牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。

牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换
.,
,
,
t t z z y y t x x ='='='-='v
狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换
.1,
,
,
12
22
2
2c
x
c
t t z z y y c
t x x v v v v -
-
=
'='='-
-=
'
比较上述两个变换式可知，在低速时，即c << v 时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。

2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
参考解答：
同时性的相对性的意思是：在某一惯性系中两地同时发生的两个事件，在相对于此惯性系匀速运动的另一惯性系中观测，并不是同时发生的。

这个结论与光速不变原理紧密相联。

设相对运动的惯性系是)(x0y S 和)(y 0x S ''''，坐标系和相对运动如图所示，坐标原点0和0'重合时设为0='=t t 。

由洛仑兹变换，两事件的时空坐标关系为
2
22
1c
x
c
t t v v -
∆-
∆='∆
如果在S 系中两事件同时发生，即0=∆t ，那么在S '系中两事件的时间间隔
2
22
1c
x c
t v v -
∆-=
'∆
与两事件在S 系中发生的空间间隔x ∆有关。

当0≠∆x 时，0≠'∆t 。

即两事件在S '系中不同时发生。

如果光速是无限大，也就是研究的对象均属于低速情况，那必然是牛顿力学的情况。

即洛仑兹变换中的
.0,
02
2
2==c
c
v v
则 t t ∆='∆，就不再有同时的相对性。

3. 在某一参考系中同一地点、同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测都将是同时发生的，对吗？这里的参考系均指惯性系。

参考解答： 对的。

如果S 系和S '系是相对于运动的两个惯性系。

设在S '系中同一地点、同一时刻发生了
两个事件，即0,01212
='-'='∆='-'='∆t t t x x x . 将上述已知条件代入下面的洛仑兹坐标变换式中
2
2122
121)(c
x x c
t t t t v v -
'-'+
'∆=
-=∆
则可得 012=-=∆t t t ，说明在S 系中也是同时发生的。

这就是说，在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在任何其他参考系中观察观测也必然是同时发生。

4. 静长L 0的火车以匀速v 行驶时，甲是地面上的观测者，相对于地面静止；乙是火车上的观测者，相对于火车静止. 甲观测到的长度220/1c L L v -=< L 0 ，即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩. 试从另一个角度来看长度收缩问题,即被测量者如何看待别人的测量,并讨论产生不同看法的原因.
参考解答：
当火车以匀速v 行驶时,甲是地面上的观测者,相对于地面静止;乙是火车上的观测者,相对于火车静止. 以地面为S 系,沿火车速度方向取x 轴;以火车为S′系,沿火车速度方向取x′ 轴.甲是这样测量运动中的火车长度的：在S 系的同一时刻（t 2 = t 1）,在地面划下火车前端A 的位置x 2和后端B 的位置x 1 (如图1所示),然后测量x 2和x 1之间的距离L , 这就是甲测出的运动中的火车长度,即
)1(1
2-----=x x L
对乙来说,火车是静止的,火车前端A 的位置x′2和后端B 的位置x′1之间的距离就是火车的静长
L 0 ,即 )2(12
0----'-'=x x L
且 )3(12
20-----
=c
L L v
因v < c ,故由式(3)得出L < L 0 , 即火车的动长小于静长，这就是甲所观测到的长度收缩。

乙是如何看待上述甲的测量呢? 乙观测到, 甲在t′2时刻在地面上划下火车前端A 的位置x 2 , 在t′1时刻在地面上划下火车后端B 的位置x 1,由洛伦兹变换
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--=
'x t c
t 2c v v 2
2
/11 有 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----='-')()(/1112122
2
12
x x t t c
t t 2c v v
)3(0
/102
2
2
2
12
----<-
=--='-'L c
L c
/c
t t v v v
这个结果表明：t′2在先，t′1在后.也就是说,在乙看来,甲并不是同时划下火车前后端的位置
的,而是先( t′2时刻) 划下火车前端A 的位置x 2 ,后( t′1时刻) 划下火车后端B 的位置x 1, 如图2所示.所以,乙认为,甲少测了一段长度,这段长度为
)4()(21
----'-'=∆t t L v
将式(3)代入式(4)得
)5(0
2
2----=
∆L c
L v。