第一类换元积分法(一)

例 求 sin 2x dx.
解法1

sin2
x
dx

1 2

sin(2x)
d(2 x)
1 cos 2x C. 2
解法2 sin2x dx 2 sin x cos x dx
2 sin x d(sin x) sin 2 x C.
解法3 sin2x dx 2 sin x cos x dx
解
1 x2
sin
1 x
dx


sin 1 d 1 xx
cos 1 C. x
例 10 求
ex dx. 1ex
解
ex 1 ex dx
d(e x 1) ln(ex 1) C. ex 1
3.利用三角函数的恒等式.
例 11 求 tan xdx.
解
tan xdx
dx
a2 x2 (a x)(a x)

1 2a

(a x) (a x) (a x)(a x)
dx

1 2a


dx ax


dx ax


1 2a


d(a x) ax


d(a x) ax

1 ln a x C. 2a a x
第一类换元积分法(一)
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a
3.利用三角函数的恒等式. 4.利用代数恒等式
一、原函数的定义 二、不定积分的定义 三、基本积分公式 四、不定积分的性质
引例：
求
sin2 x cos xdx.
解 sin2 x cos xdx
第一换元积分，也称凑微分


sin
cos
x
x
dx


d cos
cos x
x
ln | cos x | C.
例 12 求 sin2 xdx.
解
sin2 xdx


1

cos 2
2
x
dx

1 2
dx cos 2xdx

1 2

x

1 2

cos2 xd2 x

1 x 1 sin2x C. 24
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用
sinxdx cos x C, 为此将 dx 写成 dx 1 d(3x 2), 3
代入式中， 那么
sin(3x 2)dx 1 sin(3x 2)d(3x 2).
令 3x + 2 = u 则
3
1 sinudu 1 cos u C 1 cos(3x 2) C.
3
3
3
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1
相似，为此将 dx 写成 dx 1 d(4x 5)代入式中, 那么 4
dx.
解：
cos 1 C x
第四章第二讲 作业B-12
2.积分 换元后的积分变量是u，若被积函数为f (u)是容 易积分的，即如果易求得F (u)，使得F '(u) f (u)，则
f (u) du F (u) C.
3.还原 把u (x)代入已求出的F (u) C中，还原为原
积分变量x的函数，即得答案为F(x) C.
上述过程可表示为：
为此将 dx = d(x + 1) 代入式中， 那么
dx x1

d( x 1) x 1 ln | x 1 | C.
2. 利用 xdx 1 d(x2 a), 2
x2dx 1 d( x3 a), 3
1 dx dlnx, x
1 x2
dx

d
1 x
,
1 dx 2d x , x
2. 求
1 dx.
1 2x
解：原式

1 2

1 d(1 2x) 1 2x


1 2

(1


2x)
1 2
d
(1

2
x)
1 2x C
3. 求 tan2 3xdx.
解：原式

1 3

s
e
c2
3x
d3x
ห้องสมุดไป่ตู้
1dx
1 tan3x x C 3
4.
求
1 x2
sin
1 x
例13 求 cos2 xdx.
解: cos2 xdx
1 cos 2x dx 2
1 1dx 1 cos2xd 2x
2
4
x sin 2x C. 24
例 14 求 sin3 xdx.
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx sin2 xdcos x (1 cos2 x)dcos x
sin2 x dsin x
1 sin3 x C. 3
第一换元法（凑微分法）
f (x)dx f1(u(x)) u'(x)dx f1(u(x)) d(u(x)) F1(u(x)) C
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
dx
a2 x2

1 ln 2a
a a
x x
C
例17 求
(1

1 x2
x 1
)e xdx.
解


x

1 x


1
1 x2
,

(1
1 x2
x 1
)e xdx


e
x 1
xd(
x

1) x
x 1
e x C.
例18 求
sin(

x 1)dx.
(4x 5)99 dx 1 (4x 5)99 d(4 x 5), 令 4x + 5 = u， 4
则，原式 1 u99du 1 u100 C 1 (4x 5)100 C.
4
400
400
例3
求

dx x1
.
解 上式与基本积分表中 1 dx ln| x | C 类似. x
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2

例5
求

l
nx x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x 则
ln x dx ln xdln x 1 ln2 x C.
x
2
例6
求

(lnx)2
x
解
sin(

x 1)dx
x
2 sin( x 1).( x)dx
2 sin( x 1)d( x 1)
2 cos( x 1) C
说明: 计算某些积分时，由于选择 不同的变量代换或不同的凑微分形成， 所以求出的不定积分在形式上也可能不 尽相同，但是它们之间至多只相差一个 常数项，属于同一个原函数族.
sin xdx dcos x, cos xdx dsin x, sec2 xdx d tan x, csc2 xdx d cot x, 等等.
例 4 求 xex2 dx.
解 将被积分式中的 xdx 因子凑微分，即
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
u 1 2ln x

1 2

1 du u

1 2
ln
u

C
1 ln 1 2ln x C.
2
例 8 求 sin2 x cos xdx.
解 sin2 x cos xdx sin2 x dsin x 1 sin3 x C. 3
例9 求
1 1 x2 sin x dx.
dx x
解 1 dx d(ln x)， x


(ln
x)2
dx x


(ln
x)2d( ln
x)
1(ln x)3 C.
3
例7
求

x(1
1 2ln
x
dx. )
解

1 x(1 2ln
dx x)


1

1 2 ln
d x
(ln
x)
1
2

1
1 2 ln
d (1 2 ln
x
x)
1 cos3 x cos x C. 3
4.利用代数恒等式
例 15
求

1
x
x
dx.
解

1
x
x
dx


1
x 1
x
1
d
x


1

1
1
x
dx
x ln | 1 x | C.
例 16 求
dx (a > 0 常数).
a2 x2
解
dx
2 cos x d(cos x) cos2 x C.
sin 2 x 1 cos 2x 2
小结 用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
1.换元 若能将被积表达式化为f (x) '(x)dx的形式，
作变量代换，令u (x), du '(x)dx，于是有
f (x) '(x)dx f (u) du
练习题
1.
求
(2x
1
3)2
dx.
2. 求
1 dx. 1 2x
3. 求 tan2 3xdx.
4.
求
11 x2 sin x dx.
1.
求
(2x
1
3)2
dx.
解： 原式

1 2

(2x
1
3)2
d(2x

3)

1 2

(2x

3)2d
(2x

3)
1 C 2(2x 3)