高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语与不等式15基本不等式课件苏教版

39
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a b＋1 ＝b－2，然后借助配凑法求最值．
40
(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2
ab
3 1 12
－c＝0，则当 c 取得最大值时，a＋b－ c 的最大值为( )
A．3
9 B.4
C．1
D．0
41
C [由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得
50
[解](1)当x∈[50,80)时，y＝
1 75
(x2－130x＋4
900)＝
1 75
[(x－65)2＋
675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为715×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数y＝12－6x0单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－16200＝10.
25
3
1
[因为x<
5 4
，所以5－4x>0，则y＝4x＋
1 4x－5
＝－
5－4x＋5－14x＋5≤－2 5－4x×5－14x＋5＝－2＋5＝3.
当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，等号成立．
故y＝4x＋4x－1 5的最大值为3.此时x＝1.]
26
(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误
49
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L) 与 速 度 x(km/h)(50≤x≤120) 的 关 系 可 近 似 表 示 为 y ＝
715x2－130x＋4 900，x∈[50，80，
x 12－60，x∈[80，120].
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知 A，B 两地相距 120 km，假定该型号汽车匀速从 A 地驶 向 B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
x－2×x－1 2
＋2＝4，当且仅当x－2＝
1 x－2
(x>2)，即x＝3时
取等号．]
15
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最 大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m， 则y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
46
由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然 后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
________．
47
a4＋4b4＋1
若a，b∈R，ab＞0，则
ab
的最小值为
4
[因为ab＞0，所以
a4＋4b4＋1 ab
≥
2
4a4b4＋1 ab
＝
4a2b2＋1 ab
＝4ab
＋
1 ab
≥2
21
(1)C
(2)2 3＋2
(3)7
3 2
[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a
＋3b)＝13·3a(a＋3b)≤133a＋2a＋3b2＝13×622＝3，当且仅当 3a＝a＋
3b，即 a＝1，b＝23时，a(a＋3b)的最大值是 3.
22
(2)∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝xx2－＋12＝x2－2x＋1x－＋12x－2＋3 ＝x－12＋x－21x－1＋3 ＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2. 当且仅当x－1＝x－3 1，即x＝ 3＋1时，等号成立．
43
利用两次基本不等式求最值 当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常 采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定 要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致 性．
44
1 已知a＞b＞0，那么a2＋ba－b的最小值为________．
45
4 [由题意a＞b＞0，则a－b＞0， 所以b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42， 所以a2＋ba1－b≥a2＋a42≥2 a2·a42＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝a42，即a＝ 2，b＝ 22时取等号，所以a2 ＋ba1－b的最小值为4.]
2．若 x<0，则 x＋1x( ) A．有最小值，且最小值为 2 B．有最大值，且最大值为 2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2
13
D [因为 x<0， 所以－x>0，－x＋－1x≥2 1＝2， 当且仅当 x＝－1 时，等号成立， 所以 x＋1x≤－2.]
14
3．函数f(x)＝x＋x－1 2(x>2)的最小值为________． 4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－消元法求最值 对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本 不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建 立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变 量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．
36
(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
23
(3)∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋5≥2＋5＝7. 当且仅当4x－5＝4x－1 5，即x＝32时上式“＝”成立． 即x＝32时，ymin＝7.]
24
[母题探究] 把本例(3)中的条件“x>54”，改为“x<54”，则y＝ 4x＋4x－1 5的最大值为________，此时x＝________.
1 4ab·ab
＝4，当且仅当
a2＝2b2， ab＝12
时取等号，故
a4＋a4bb4＋1的最小值是4.]
48
考点2 利用基本不等式解决实际问题 利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式 求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自 变量的取值范围)内求解．
因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可
使得每小时耗油量最少．
51
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·12x0，
①当x∈[50,80)时，l＝y·
120 x
＝
8 5
x＋4
9x00－130
≥
8 5
2
4 x·
9x00－130＝16，
当且仅当x＝4 9x00，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.
28
________．
11 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 a ＋ b 的最小值为
4
[因为a＋b＝1，所以
1 a
＋
1 b
＝
1a＋1b
(a＋b)＝2＋
ba＋ba
≥2＋
2 ba·ba＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．]
29
[母题探究] 1．若本例条件不变，求1＋1a1＋1b的最小值．
30
7
3．利用基本不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是 2 p(简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 s2 是_4___(简记：和定积最大)．
8
[常用结论]
1.ba＋ab≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
[解] 1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba·2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当a＝b＝12时，等号成立．
31
2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解1a＋1b的最小值． [解] 因为a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1. 所以1a＋1b＝1a＋b113a＋23b＝13＋23＋3ab＋32ab≥1＋2 3ab·23ba＝1＋ 2 3 2. 当且仅当a＝ 2b时，等号成立．
32
a 常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求x
b
a
＋y的最值”的问题，先将x＋
by转化为ax＋by·x＋t y，再用基本不等式
求最值．
33
(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，
11 则a－1＋2b的最小值为( )
A.32＋ 2
B.34＋
2 2
C．3＋2 2
复习课件
高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语与不等式1.5基本不等式课件苏教版
2021/4/17
高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语与不等式15基本
1
不等式课件苏教版
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第五节 基本不等式
3
[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解 决简单的最大(小)值问题．
()
(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件． [答案](1)× (2)× (3)× (4)×
10
()
11
二、教材改编
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
C [xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]
12
D.12＋
2 3
34
A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1， 又a－1＞0，则a－1 1＋21b＝[(a－1)＋b]a－1 1＋21b ＝1＋12＋a－ 2b1＋a－b 1≥32＋2 a－ 2b1×a－b 1＝32＋ 2. 当且仅当a－ 2b1＝a－b 1，a＋b＝2时取等号． 则a－1 1＋21b的最小值为32＋ 2.故选A.]
4
课前自主回顾
5
1．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立a＋的b条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中____2_____称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a， b 的几何平均数．
6
2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
ab c
＝
ab a2－2ab＋9b2
＝
1 a2－2ab＋9b2
ab
＝
1 ba＋9ab－2
≤
1 4
，当且仅当
a b
＝
9b a
，即a
＝3b时，acb取最大值14.
42
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0， 所以此时c＝12b2， 所以3a＋1b－1c2＝1b2－1b≤1b＋24－1b2＝1， 故最大值为1.]
16
课堂考点探究
17
课
休息时间到啦
前
自
主
回
课
顾
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一
后
下眼睛，
限
时
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不
集
课 堂
好哦~
训
考
点
探
究
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18
考点1 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式
进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定
解法为：a(a＋3b)≤a＋a2＋3b2，当且仅当 a＝a＋3b，且 4a＋3b＝6，
3
9
即 a＝2，b＝0 时，a(a＋3b)的最大值为4，从而错选 B.
(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提
条件：“一正、二定、三相等”，如 T(1)，T(2)．
27
常数代换法求最值 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构 造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
2．ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2.
3.1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
9
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的．
()
(2)若a>0，则a3＋a12的最小值为2 a.
()
(3)函数f(x)＝sin x＋sin4 x，x∈(0，π)的最小值为4.
a
ba
值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋ x (a＞0)， a ＋ b 的形式等)，
然后利用基本不等式求解最值的方法.
19
(1)(2019·大连模拟)已知 a，b 是正数，且 4a＋3b＝6，则
a(a＋3b)的最大值是( )
9 A.8 C．3
9 B.4 D．9
20
(2)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________． (3)已知 x>54，则 y＝4x＋4x－1 5的最小值为________，此时 x＝ ________.
则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 6
B．8 2
C．5
D．9
37
A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1， ∴a＝bb＋ －12＞0，∴b＞2， ∴a＋2b＝bb＋－12＋2b＝2(b－2)＋b－3 2＋5 ≥5＋2 2b－2·b－3 2＝5＋2 6.
38
当且仅当2(b－2)＝b－3 2，即b＝2＋ 26时取等号． ∴a＋2b的最小值为5＋2 6.故选A.]