2012年全国各地中考数学解析汇编18图形的相似与位似(精)

15. (2012 北京，15, 5)已知 a
a
【解析】
【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质
由于AD 为正，得到AD= . 5 ，本题正确答案是 B.
点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三角形的判定
（2012山东省聊城，11, 3分）如图，△ ABC 中，点D E 分别是AB AC 的中点，下列结论 不正确的是（
）
2012年全国各地中考数学解析汇编
18图形的相似与位似
，求代数式5a-2b 的
值.
f a —2b ）
2 2 a -4b
【答案】设a =2k , b =3k ，原式=
5a —2b (a 2b)(a -2b)
L(a_2b)严f 低檢
a +2
b 2k 6k
4k 8k
（2011山东省潍坊市，题号 8,分值3）8、 已知矩形 ABCD 中, AB=1,在BC 上取一点
人丘将厶ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形ABCD 相似，贝U AD=
C
.
.3
D. 2
考点: 多边形的相似、一元二次方程的解法 解答：根据已知得四边形 ABEF 为正方形。

因为四边形 EFDC 与矩形ABCD 相似 所以
DF:EF=AB:BC 即 (AD-1) :1=1:AD 整理得： AD 2 - AD -1 = 0,解得
AD
1-5
( )
A.BC=2DE
B.
△ ADE^A ABC C.
AD AB D.
S
ABC - 3S ADE
AE
AC
解析：根据三角形中位线定义与性质可知， BC=2DE 因DE//BC ，所以△ AD 0A ABC AD:
AB=AE AC 即 AD AE=AB AC S _ 4S
.所以选项 D 错误.
S ^BC
= 4S ^DE
答案：D
点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半 •有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、
比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等
（2012四川省资阳市，10, 3分）如图，在△ ABC 中，/ C= 90°，将△ ABC 沿直线 MN 翻折
【解析】 由MG 6, NG- 2J3 , / 3 90°得S ACM =6J3，再由翻折前后厶CM ^A DMNI 对 应高相等；
由 MIN/ AB 得△ CM MA CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为 1:4，从而得S A CM N S 四边形MAB =1：3，故选 C.
后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN/ AB MC= 6, NC= 3，
则四边形MABN
的面积是
A
6、、3
B
12.3
C
-18、3
D- 24、3
C
【答案】C
【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似
的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点•知识点丰富；考查了学（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB AC上，且/ ABC* AED若DE=4 AE=5, BC=8贝U AB的长为______________ 。

10
解析：：•••/ ABC玄AED / BAC=/ EAD\^ AED^^ ABC 二A E DE，DE=10
AB 一CB
答案：10
点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。

利用两三角形的相似比，通过已知边长度
求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。

28.4 相似三角形的性质
（2012 重庆，12, 4分）已知△ ABB A DEF △ ABC的周长为3,A DEF的周长为1，则△ ABC 与厶DEF的面积之比为_____________
解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出
答案。

答案：9：1
点评：本题考查相似三角形的基本性质。

（2012浙江省衢州，15, 4分）如图，口ABCD中, E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F, CD=2DE若厶DEF勺面积为a,则D ABC曲的面积为•（用a的代数式表示）
【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出厶CEB A DEF^A ABF进
而利用相似三角形的性质分别得出△CEB △ ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF
的面积为8a即可.
【答案】12a
【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.
(2012山东省荷泽市，16(1),6 )(1)如图，/ DAB=/ CAE请你再补充一个条件_________________ 【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,
要判定两个三角形相似，可以增加另外一组
对应相等或者是这两角的两边对应成比•
使得△ ABS A ADE并说明理由•
【答案】
---------------------------------------------------- 2
理由：两角对应相等
----------------------------------------------------- 6
Z D ./B 或乙AED Z C 分
两三角形相似
分
【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法
定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加
(湖南株洲市6,20题)((本题满分6分)如图，在矩形ABCD中, AB=6, BC=8,沿直线MN 对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.
(1 )、求证：△ CO SA CBA
中的相似建立比例式，构造出 OM 勺方程求解. 【解】(1)证明：、：A 与C 关于直线MN 对称
AC_MN / COM=90
在矩形 ABCD 中，/ B=90°
./ COM M B ----------------------------------------- 1 分 又 / ACB_M ACB ------------------------- --------- 2 分
△ COM^ CBA -------------------------- -------- 3
分
(2).-在 Rt △ CBA 中, AB_6, BC_8
AC_10 -------------------------------------- ------ 4
分
.OC=5
…△ COM^ CBA ---------------------------- ----------- 5
分
…OC _ OM
BC "AB
OM= ----------------------------------------------- 6
分
…
15 4
【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等， 两三角形相似、两边对应成比例
及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是 利用三角形相似及直角三角形的勾股定理
•
(2012 湖南娄底，25, 10 分)如图 13,在厶 ABC 中, AB 识C / °, BC 8, D 在边 BC 上,
E 在线段DC ±, DE4, △ DE
F 是等边三角形，边 DF 交边AB 于点M 边EF 交边AC 于点N.
(1) 求证：△ BM 0A CNE
(2) 当BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？
是要找出/ COM M B 即可，求线段的长就是利用第(
1)问
(2 )、求线段0M 的长度.
2
(3)设BDx ，五边形 ANEDM 的面积为y ,求y 与x 之间的函数解析式(要求写出自变 量x 的取值
范围)；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值•
【解析】(1)由AB=AC / B=30°根据等边对等角，可求得/ C=Z B=30°又由△ DEF 是 等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得/ MDB M NEC=120，/ BMD=/ B=Z C=Z
CNE=30，即可判定：△ BMDo ^ CNE
(2) 首先过点 M 作MH L BC ,设BD=x 由以M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切，可得 MH=MF=4-x 由(1)可得MD=BD 然后在Rt △ DMH 中，禾U 用正弦函数，即可求得答案；
(3) 首先求得厶ABC 的面积，继而求得△ BDM 的面积，然后由相似三角形的性质，可求得厶 BCN 的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案.
【答案】(1)证明：•/ AB=AC 「・/ B=Z C=30° . •/△ DEF 是等边三角形，FDEN FED=60 , •••/ MDB M NEC=120 ,二/ BMD N B=/ C=Z CNE=30 ,•••△ BM OA CNE (2)过点 M 作 MH 丄BC,v 以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切，• MH=MF 设BD=x,v^ DEF 是等边三 角形，FDE=60 ,•••/ B=30°,
BMD M FDE-/ B=60° -30 ° =30° =Z B ,「. DM=BD=x
• MH=MF=DF-MD=4-x 在 Rt △ DMH 中, sin / MDH=sin60° =MH = MD
•••当BD=16_8. 3时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与 BC 相切；(3)过点M 作MHL BC 于 H, 过点 A 作 Ad BC 于 K ,v AB=AC •- BK=1 BC=1 X 8=4。

：/ B=30°,A AK=BKtan / B=4X
2 2
(3 = 4亦,• S A ABC=1 BC?AK=1 X 8X 4后=16屈，由(2)得：MD=BD=x • MH=M?Sin
3
3
•/ △ BM» △ CNE, • S △ BDM ： S △ CEN = ac
(BD)2
:X =16_8.3，
4-x Vj ，
x 2
/ MDH= x , • S A BDM = 1
2
?x?
3 x= 3
. •/△ DEF 是等边三角形且
—— —x 2
2 4
DE=4
,
BC=8,「.
EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x , 2
x
(4—x)
F
CE
=
3
，…y=S △ ABC -S △ CEf -S
△ BD
= [6 3 f 3
〒（4—x ）2
丁盲 x 2
"3
2J3= J3
8X 13 （ 0W x 仝4）,当x=2时，y 有最大值，最大值为
」2 3x 3
一尹2）2 T
8 3 ■ 3
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二 次函数的性质以及三角函数等知识. 此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用.
（2012 重庆，12, 4分）已知△ ABC^A DEF △ ABC 的周长为3,A DEF 的周长为1，则△ ABC 与厶DEF 的面积之比为 ________ 解析：相似三角形的周长比等于相似比， 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
故可求出
答案。

答案：9: 1
点评：本题考查相似三角形的基本性质。

（2012浙江省衢州，15, 4分）如图，口ABC ［中, E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于 点
F , CD=2DE 若厶DEF 勺面积为a ,则D ABCD^的面积为
•（
用a 的代数式表示）
【解析】根据四边形 ABCD 是平行四边形，利用已知得出厶 DEF^A CEB A DEF^A ABF 进 而利用相似三角形的性质分别得出△ CEB △ ABF 的面积为4a 、9a ,然后推出四边形 BCDF
的面积为8a 即可. 【答案】12a
【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握， 解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.
（2012山东省荷泽市，16（1）,6 ）（1）如图，/ DAB=/ CAE 请你再补充一个条件 __________ ,
"x ）2 4
使得△ ABS A ADE 并说明理由
A. 9 : 4
B.3 : 2
C.4 : 3
D.16 : 9
【解析】设 CF=x,贝U BF=3-x ，由折叠得 B F=BF=3-X ,在Rt △ FC g 中，由由勾股定理得
2 2 2 2 2 2
C^+C B =F B , x +1 =（3-x ）,解得 x=4 ,由已知可证 Rt △ FC B " Rt △ B DG AR 所以 &FC B
3
与
B-DG 的面积为（4 : 1 ） 2=16 .
3
9
【答案】D.
【点评】本题综合考查了折叠的性质、 勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比 等于相似比的平方。

【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等, 要判定两个三角形相似，可以增加另外一组
对应相等或者是这两角的两边对应成比
Z D E B 或乙 AED Z C
--------------------------------------------------- 2
理 由： 两角对应相等
---------------------------------------------------- 6
分
两三角形相似 分
【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用， 在选择方法
定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加
（2012山东泰安，17, 3分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合, 若AB=2, BC=3则厶FC B •与△ B 'DG 的面积之比为（
）
（2012年四川省德阳市，第 11题、3分.）如图，点 D 是厶ABC 的边AB 的延长线上一点,
点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD BF 为邻边作平行四边形 BDEF 又AP 〃 BE
【答案】D.
线是解决本题的关键,
（2012山东省荷泽市，18,10 ）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ ABC 和△ DEF
的顶点都在格点上，P 1, P 2, P 3, P 4, P 5是厶DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（点P 、E 在直线AB 的同侧）， 如果
BD J AB
4
，那么△ PBC 的面
积与△ ABC 面积之比为
A. 1
B.
C. i
D.
【解
连接 FP,
延长AP 交 BC 的延长线于H,过点
A 、P 分别作 AM _ BC,PN _ BC ,
垂足M N. •••四边形 BDEF 是平行四边形，EF L AD ,又 AP 〃BE, • E 、F 、P 共线，即 pF[J AB , 四边形APEB 是平行四边形，••• EP=AB 又
BD
1 AB 4
• EF=DB=i AB=i PF, • PF=3 AB, v
PF
3
PBC
PN
AM
AB
4
S A ABC
AM
【点评】此题应用了平行四边形, 相似三角形和三角形面积的相关知识,
能够合理作出辅助
C
（1）试证明三角形△ ABC为直角三角形；
（2）判断△ ABC和△ DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点并且与△ ABC相似；（要求：用尺规作图，
【解析】在网格中借助勾股定理求△ ABC 三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断△ ABC
的形状• 【答案】解:
(门根据勾股定理，得AB =2、. 5， AC = 5， BC=5 ；
根据勾股定理的逆定理得△ ABC 为直角三角形
(1) △ ABCm DEF 相似.
根据勾股定理，得AB =2.5， AC = .5，B(=5 DE =4 .2， DF =2 2， EF =2.10 • B ..AB AC BC _________ 5，
'DE "DF "EF ~2 2
•••△ ABCo^ DEF
(3)如图：△ P 2F 4 P 5.
【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似, 常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例
(2012安徽，22 , 12分)如图1，在△ ABC 中，D E 、F 分别为三边的中点， G 点在边AB 上, △ BDG 与四边形 ACDG 勺周长相等，设 BC=a AC=b AB=c. (1) 求线段BG 的长； 解:
P 5
/ \
P
1
\ 、
F
/
P
2
C
2
\
A
P
4
显然有
2 2 2
AB AC =BC ，
保留痕迹，不写作法与证明) D
A E
（2） 求证：DG 平分/ EDF;
证：
（3） 连接 CG 如图2,若厶DFG 相似，求证：BGLCG. 证：
解析：已知三角形三边中点连线， 利用三角形中位线性质计算证明 •（ 1）已知△ ABC 的边长, 由三角形中位线性质知
1 1 ，根据△ BDG 与四边形 ACDG 周长相等，可得
DF = —b,DE = —c
2 2
b+c ・（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证
• （ 3）利用两
BG = ------
2
个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边， BD=DG=CD 即可证明•
解（1）v D C F 分别是△ ABC 三边中点 ••• DE// 彳 AB,DF// 彳 AC,
1 1 2
2
又•••△ BDG 与四边形 ACDG 周长相等 即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG • - BG=AC+AG •/ BG=AB- AG •
BG
=AB AC =b c
2 2
（2）证明：BG=b . c , FG=B - BF=b . c — c b
2 2 2 2
• FG=DF,「./ FDG=Z FGD 又••• DE// AB • / EDG 2 FGD / FDG 玄 EDG
G
A G
A
D
第 22 談 £ I X 2
••• DG平分/ EDF
(3)在厶DFG中，/ FDG=/ FGD, △ DFG是等腰三角形，
•••△DFG相似，•••△BDG是等腰三角形,
•••/ B=Z BGD,/. BD=DG,
则CD= BD=DG，. B、CG 三点共圆，
•••/ BGC=90 , • BGL CG
点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成•后
面的问题可以结合前面问题来做
(2012山东泰安，28, 10分)如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF丄AE EF分别交AC
CD于点M F, BGLAC 垂足为G, BG交AE于点Ho
(1)求证：△ ABE^A ECF;
(2)找出与△ ABH相似的三角形，并证明；
(3)若E是BC中点，BC=2AB AB=2,求EM的长。

主----------------------------------- B
【解析】(1 )由四边形ABCD是矩形，可得/ ABEN ECF=90，又由EF L AE,利用同角的余角相等，可得/ BAEK CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△
ABE^^ ECF；(2)由BGL AC,易证得/ ABH=/ ECM 又由(1)中/ BAH=/ CEM 即可证得厶ABH TA ECM (3)首先作MF L BC,垂足为R,由AB: BC=MR RC=2 / AEB=45，即可求得MR的长，又由EM= MR，即可求得答案.
sin 45
【答案】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，•/ ABEK ECF=90 . v AE L EF,/ AEB+Z FEC=90 . •••/AEB+Z BEA=90 , BAE=Z CEF, •△ ABE^A ECF. (2) △ ABH^A ECM 证明：v BGLAC, •••/ ABG Z BAG=90 , •/ ABH玄ECM 由(1)知，Z BAH玄CEM •△ ABH ECM. (3)解：作MR L BC,垂足为R v AB=BE=EC=2
••• AB: BC=MR RC=2 / AEB=45
MER=45 , CR=2MR /• MR=ER=RC=Q ,
2
3
：
MR = "I-
sin 45:
【点评】考查了矩形的性质， 直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及三角函数等 知识•解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”
定理的应用.
长=六边形GHIJKL 的周长X 2,故本选项错误;
D T 六边形ABCD
E P 六边形GHIJKL ,相似比为2: 1 , •S 六边形ABCDE =4S 六边形GHIJKL , 故本选项 错误.
【解答】B.
【点评】本题考查相似图形的性质 •两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等 于相似比，面积比等于相似比的平方 •解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积 比与相似比之间的关
（2012贵州铜仁,
8, 4分如图，六边形 ABCDEFF 六边形GHIJKL ,相似比为
2:1，则下列
结论正确的是（
）
A.Z E=2Z K
B. BC=2HI
C. 六边形ABCDE 的周长=六边形GHIJKL 的周长
D. S 六边形 ABCDEF=2六边形 GHIJK
【解析】A 、•••六边形 ABCDE P 六边形 GHIJKL , •••/ E=Z K,故本选项错误；
B
、•••六边形 ABCDE P 六边形 GHIJKL ,相似比
为2: 1 ,• BC=2H ］故本选项正确；
、•六边形ABCDE P 六边形GHIJKL ,相似比为 2 : 1,.・.六边形
ABCDEF 勺周
K
系.
（2012陕西5, 3分）如图，在厶ABC中，AD,BE是两条中线，则
A. 1 : 2
B. 2 : 3
C . 1 : 3 D. 1 : 4
【解析】由题意可知, ED为：ABC的中位线，则△ CED^A CAB
洱ZU故选D
AB 2
【答案】D
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等•难度中等•
（2012湖北咸宁，6, 3分）如图，正方形OABCf正方形ODEF是位似图形，O为位似中心, 相似比为1 : 2，点A的坐标为（1 , 0），则E点的坐标为（）.
J
F E
C B
O A D x
（第 6 题）
A. （ .,2，0）
B. （3 , 3） C （2, 2）D. （2 , 2）
2 2
【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍.
【答案】C
【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似.
（2012山东日照，8, 3分）在菱形ABCI中, E是BC边上的点，连接AE交BDF点F,若EC=2BE 则BF的值是（）
FD
如图，由菱形 ABC ［得 AD// BE,,所以△ BEF ^A ADF,又由 EC=2BE 得 AD=BC=BE
故 BF = BE =1 .
FD AD 3
解答：选B .
点评：本题主要考查了棱形的性质、 相似三角形的判定与性质， 正确画出图形是解题的 关键•
（2012 •湖南省张家界市• 10题・3分）已知△ ABC 与△ DEF 相似且面积比为 4 ： 25 , 贝V △ ABC 与 △ DEF 的相似比为 _____ .
【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根 【解答】△ ABC 与△ DEF 的相似比为 4 = 2 *
J 上-
'25 5
【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方 •
（2012山东省滨州，18, 4分）如图，锐角三角形 ABC 的边AB, AC 上的高线 CE 和BF 相交 于点D,请写出图中的两对相似三角形： ____________________ （用相似符号连接）.
【解析】(1)由于/ BDE 玄CD 亡BED 玄CFD=90，可得△ BDE^^ CDF 由于/ A=Z A ,Z AFB=Z AEC=90，可得△ ABF^A ACE
B. C. D.
解析: C
解：(1 )在厶BDE和△ CDF中/ BDE=/ CDF/ BED/ CFD=90 ,•••△ BDE^^ CDF (2 )在厶ABF 和厶ACE 中，T/ A=/ A, / AFB=/ AEC=90 , •△ ABF^^ ACE
%AEF
S
AA0C
=一，
【答案】△ BDE^A CDF △ ABI A ACE
【点评】本题考查相似三角形的判定方法•三角形相似的判定方法有,
(2012贵州黔西南州，17, 3分)如图5,在梯形 ABCD 中, AD// BC,对角线AC BD 相交于
点O,若AD=1, BC=3 △ AOD 的面积为3,则厶BOC 的面积为 _______________ •
【解析】 由题意知 AD// BC,所以/ OAD 2 OCB / ODA 2 OBC 所以△ OA /A OCB 又AD=1, BC=3所以△ OAD MA OCB 的相似比为1:3 ,面积之比为1:9 ,而厶AOD 的面积为3,所以△ BOC 的面积为27 • 【答案】27.
【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键.
分)如图，在厶 ABC 中，EF// BC J 二，S 四边形 BCF E =8 ,则 S ^ABC =( )
EB 2
解：••• “ ：=-,
EB 2
「= 一 =一,
AB 1+2 3
•/ EF// BC
• - 9S A AEF =S A ABC ,
解析： 求出］「的值，推出△ AEF^^ ABC 得出=| ,把S 四边形BCF =8代入求出即可.
10 C. 9 B . 12 D. 13
AA AAS ASA SAS
(2012贵州遵义，7,3
=8,
-S四边形BCF E
9 ( S^ABC-8) =S A ABC,
解得：S AAB C=9 .
故选A.
答案：A
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似
比的
平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目.
(2012 •湖北省恩施市，题号20分值8 )如图8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B1,因而EB=EBo类似的，在AB上折出点B11使AB11=AB。

这是B11就是AB的黄金分割点。

请你证明这个结论。

【解析】设BE=1,可知BC=AB=2 AE=J5，由EB=EB得A B1=A B= J5-1,根据黄金分割意义AB1：AB=( J5-1 )：2，问题得证。

【答案】证明：设BE=1,则BC=AB=2, AE=J A B2 +BE2=、忑,T EB=EB 二A B!1=A^=V5-1,
••• AB11：AB=( J5-1 ) : 2,「. B11是AB的黄金分割点。

【点评本题既考查学生阅读理解能力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。

数学新课
程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成
和发展.
把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重
要工具。

(2012南京市，15, 2)如图，在平行四边形 ABCD 中, AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上
一点，且 BE=BC,CE=CD 贝U DE= 厘米.
解析：△ BCE-与^ CDE 均为等腰三角形，且两个底角
CD DE
二 10 =
6 =6，二 DE-3.6 厘米. DE
答案：3.6.
点评：在图形中，禾U 用相似，得出比例式，可以求出线段的长
(2012湖北黄冈，25, 14)如图，已知抛物线的方程 C ：y=- 1 (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交
m
于点B C,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧.
(1) 若抛物线C 过点M(2, 2)，求实数m 的值. (2) 在(1)的条件下，求△ BCE 的面积.
(3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H,使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标. (4) 在第四象限内，抛物线 G 上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角与厶BCE 相似？
若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)把M(2, 2)代入y=- 1 (x+2)(x-m)即可求出m ；(
2)求出B 、C 、E 三点坐标
m
即可求出S A BCE ；
(3)利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；( 4)分两种
情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题
•
/ DEC K BCE 二△ BC0A CDE
BC CE
【答案】解：(1 )依题意把M(2,2)代入y二1 (x+2)(x-m)得：2=- 1 (2+2)(2-m)，解得m=4.
m m
(2)由y=0 得：-1 (x+2)(x-4)=0 得x i=-2 , X2=4 /• B (-2 , 0) C (4, 0).
4
由x=0 得：y=2 二 E ( 0, 2) 二S A BCE= 1 BCOE〒X 6 X 2=6.
2 2
(3)当m=4时，C的对称轴为x= 1X( -2+4 ) =1,点B、C关于直线x=1对称.连
2
EC交对称轴于点H,则H点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E
(0, 2)、C (4, 0)代入得y=- 1 x+2，把x=1 代入得H (1 , 3)
2 2
(4)分两种情况：①当△ BEC^A BCF时，则/ EBC W CBF=45, BE BC
BC 一BF 即BC2=BE BF，作FT丄x 轴于点T,・••可设F ( x, -x-2 ) (x >0),则
-x-2=- 1 (x+2)(x-m) ■/ x+2 > 0 /• x=2m, F (2m, -2m -2 ).
BF J(2m+2)2+(—2m_2, =2Q(m+1BE 2妊BC m+2 .
m 2 ^^.2 2.2 m 1 解得m=2-^2，又m>°」m=2 2、、2.
②当A BE8 △ FCB 时，贝U BC EC，/ EBC=Z CFB, △ BTF s △ COE
BF BC
TF OE 2 ，
BT OC m
•••可设F (x, - 2 (x+2)) (x>0), ••• - 2 (x+2) =-〔(x+2)(x-m),
m m m
••• x+2> 0 • x=m+2, F ( m+2 - 2(m+4 ))' EC=J m2 十4 , BC=m+2
m
BF= 2
2 4 m 24 m2
•••
牙，整理得0=16，显然不成立.
2
--------- I
2 4{m+4 \
m 2
〕m 4 , m 2 2
2 —
综上：在第四象限内，抛物线上存在点
F ,使得以点B 、C F 为顶点的三角与厶
BCE 相似，
m
=2 2 2 .
【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的
关键要充分运用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式 变形也是不小的考验.难度较大.
（2012河南，22，10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经 常用到，如下是一个案例，请补充完整
•
原题：如图1,在口ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延 长线交射线CD 于点G,若AF
，求CD 的值•
—=3 EF
CG
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作EH // AB 交BG 于点H,则AB 和EH 的数量关系是 __________ ,
CG 和EH 的数量关系是 ___________ , CD 的值是 _______________
CG
（2）
类比延伸
如图2,在原题的条件下，若 AF
则CD 的值是 _________ （用含m 的代数
m （m ' 0）
EF
CG
式表示），试写出解答过程•
（3）
拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中, DC// AB 点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ,
若AB
CD BC
-a, b(a 0,b
0)
BE
,则AF 的值是
_____________ （用含a b 的代数式表示）
EF
解析：(1)如图1,利用EH // AB得厶EHF^A ABF对应边成比例得AB=3EH然后利用中
位线定理得CG=2EH又T CD=AB •••得出CD与CG的关系;
(2) 与(1)方法道理都相同；
(3) 此问是(1 )、(2)类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件
AB BC，所以添加如图3，过点E作EH// AB交BD的延长线于点H a, b(a 0,b 0)
CD BE
则有BC CD，AF AB，两式相比就可得出AF
ab BE EH EF EH EF
(1) 3
E
AB =3EH;CG =2EH; — 2
作EH// AB交BG于点巴则厶EHF^A ABF
妲=址=m, AB 二mEH EH EF
EH// AB// CD, BEM A BCG
=2
…CD mEH m CG 一 2EH - 2
（3） ab
点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，
对应线段成比例，关键是研究
问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法
总是类似的，原理是一样的•
（1） 如图1点M 为AB 的中点，在线段 AC 上取点N 使厶AMN WA ABC 相似，求线段 MN 的 长； （2） 如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的 10X 10正方形网格，设顶点在这些小 正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网格中画出格点△ ABC ，使得△ ABQ 与
厶ABC 全等（画出一个即可，不需证明）
②试直接写出在所给的网格中与△ ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，
并画出其中的 一个（不需证明）
CG EH BC BE
•••
CG=2EH
（2012湖北武汉,
24, 10 分）已知△ ABC 中，AB= 2 5 ,
AC =
4 ..、5， BC = 6
MN=<
=3,
-BC 2
当厶AMNo ^ ACB 时,有AM
MN
，根据AM,AC,BC 的值，可求出 MN
AC - BC
2①从整数边BC 出发，选定BC,然后分别过 B C 作边2.5、4、5长即可， ②关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形， 可考虑在格点中先画出最长的三
角形最长边（AC 的对应边）一正方形对角线，从而找到最大三角形。

解：1、如图，当△ AMN OA ACB 时，有A
M
AC
NM MA 一 1 BC BA 2
• MN 〒
=3
-BC 2
• MN 的长为3或3
2、（1）如图3 （答案不唯一）
解析：1、当厶AMI ^A ABC 时，易证MN 为中位线,
MN
BC
••• M 为AB 中点,
••• AM = 5
•/ BC=6 AC=4 5 •••
MN=3
当厶 AMN OA ABC 时，有/ ANM M C,
=2
（2） 8个，如图4 （答案不唯一）
点评：本题既考察了相似三角形的性质，也考察了图形的变换作图，在于学生需分两种 情况讨论，学生容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找 出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形 最长边对应。

题目难度较大。

（2012山东日照，21,9分） 如图，在正方形 ABCDKE 是BC 上的一点，连结AE,作BF 1AE 垂足为H,交CD 于 F ,作CG/ AE 交BF 于G （1）求证 CGBH
⑵ F C =BF ・ GF
⑶ FC 2 =GF .
AB 2 GB
解析： ⑴可证△ ABH^A BCG （2）证厶BFC 可得；（3）先证△ B C3A BFC 得 B C =BF ・
BG 结合AB=BC 可得.
证
(1)V BF 丄 AE CG/ AE CGL BF
••• CG± BF
•••在正方形 ABCDK / ABH # CBG 90： / CBG 乂 BCG 90： / BAH # ABH=90°,
•••/ BAH # CBG, # ABH # BCG,
AB=BC,
• △ ABH^A BCG
• CG=BH
(2) •••/ BFC M CFG, / BCF= CGF=90,
•••△ CFG^ BFC
FC GF '
BF - FC
即FC=BF・ GF
（3）由（2）可知，BC=BG・ BF,
•/ AB=BC
• A民BG・BF
2 ——
…FC FG ・ BF = FG
BC7 BG・BF BG
即FC 2= GF
AB2 GB
点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质,
是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件•
（2012，黔东南州，21）如图，O O是厶ABC的外接圆，圆心0在AB上，过点线交AC的延长线于点D。

（1）求证：△ AB3A BDC
（2）若AC=8 BC=6求厶BDC的面积。

的长，这样就可以求出△ BDC的面积
解题的关键B作O 0的切
解析：第（1）小题要证三角形相似，由题意只需证两角
相等即可•
第（2）小题要利用相似三角形的对应边成比例求出
CD
解：⑴证明：；AB是圆0的直径,
.ACB =90
BD 是圆O 的切线， .ABD =90
.A . ABC =90 , ABC . CBD =90 A —CBD .
乂 ― ACB "DCB =90 ,
△ AB3A BDC.
(2) . △ ABC^^ BDC,
AC BC BC - CD
AC =8, BC =6,. CD
2
点评：本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考察了相似三角形的判定与性质、
己的思维水平，难度较小
(2012四川宜宾，24, 12分)如图，在△ ABC 中，已知 AB=AC=5 BC=6且厶ABC^A DEF 将厶DEF 与厶ABC 重合在一起，△ ABC 不动，△ DEF 运动，并满足：点 E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且 DE 始终经过点 A,EF 与AC 交于M 点。

(1) 求证：△ ABE^A ECM;
(2)
探究：在厶DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长； 若
不能，请说明理由；
(3)
当线段AM 最短时，求重叠部分的面积。

D
J BC CD 二1
6 -
2 2 2 27
勾股定理、直角三角形的面积计算等知识, 是一道比较简单的题目， 能让学生发挥自
DC
B E C
【解析】(1 )由AB=AC根据等边对等角，可得/ B=Z C,又由△ AB3A DEF 与三角形外角的性质，易证得/ CEM N BAE则可证得：△ ABE^A ECM
(2)首先由/ AEF=/ B=Z C,且/ AME>Z C,可得AE^ AM 然后分别从AE=EM与AM=EM^ 分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
(3)首先设BE=x,由厶ABE^A ECM根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=- . + x=
is
--(X-3) 2+ p继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，
5 5
继而求得重叠部分的面积.
【答案】(1)证明：T AB=AC/-Z B=Z C,
又•••/ AEF+Z CEM2 AEC=/ B+Z BAE
又厶ABC^A DEF, •••/ AEF=Z B,
•••Z CEM Z BAE,
• △ABE^A ECM
(2)解：T Z AEF=/ B=Z C,且Z AME>Z C
•Z AME>Z AEF, • AE^ AM
当AE=EM寸，则△ ABE^ ECM
•CE=AB=5 • BE=BC-EC=1
当AM=EM寸，•Z MAE Z MEA
•Z MAE-Z BAE=Z MEA Z CEM
即Z CAB=/ CAE
又T Z C=Z C, •△CA0A CBA/. C E AC
AC CB
•CE=AC2_ 25 , • BE=6-25=11
CB 6 6 6
(3) 解：设 BE=x,又•••△ ABE^A ECM
又当BE=x=3=1
，点C 为BC 的中点,
-BC 2
• AE 丄 BC ，「AE= ,AB 2 _BE 2=4 此时，EF 丄 AC, • EM=
JCE 2 —CM 2
• •• SMEQ ［：二，：
2X T X T"25
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、
值问题.此题难度较大，注意数形结合思想、 分
类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关
键•本小题也可以用几何法求解。

(2012年广西玉林市，10, 3)如图，正方形 ABCD 的两边BC AB 分别在平面直角坐标系内
的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 A B ' C D'与正方形 ABCD 是以AC 的中点0'为中心的 位似图形，已
知AC=3 2 ,若点A '的坐标为(1 ,2),则正方形A B ' C D 与正方形ABCD
分析：延长A B '交BC 于点E ,根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形
…CM BE
CE , • CM 6 —x --CM=-
=
1 6
：
1 -2+9
一尹一3)5
AB
x
5 ••• AM=5-CM=5-〔
1 o
2 + 9 一尹
〕=1
5
x -3
16 '•当 x =3 时,
AM 最短为16 ,
5
12
，
全等三角形的判定与性质以及二次函数的最
的边长后即可求两个正方形的相似比.
解：•••在正方形ABCD中, ACp 2•••
BC=AB=3
延长A B'交BC于点E,
•••点A'的坐标为(1 , 2),
• 0E=1, EC=A E=3-1=2,
•正方形A B' C D'的边长为1,
•正方形A B' C D'与正方形ABCD勺相似比是1.故选B.
3
点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两
个正方形的边长.
(2012 年吉林省，第25 题、10 分.)如图，在△ ABC中，/ A=90°, AB=2cm,AC=4cm动点P 从点A 出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE过点Q作QF// BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scn2.
(1 )当t= _____ s时，点P与点Q重合；
(2) _________ 当t= s 时，点D在QF上;
(3)当点P在Q, B两点之间(不包括Q, B两点)时，求S
与t之间的函数关系式.
|②椚肚】
【解析】(1)由于P, Q的运动速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的点是AB的中点.
(2)由QF|| BC可证△ AQF^A ABC,得出比例式，问题得证.s
(2) 要分两种情况：①当4时，重合部分的图形是直角梯形. 确定上下底和高.需。