2016年高考文科数学江苏卷(含详细答案)

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差 ,
其中1
1n
i i x x n ==∑.
棱柱的体积V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 是高.
棱锥的体积13
V Sh =,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．
置上．．
. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-,{|23}B x x =-＜＜,则A
B = .
2.复数z (12i)(3i)=+-,其中i 为虚数单位,则z 的实部是 .
3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2
2
173
x y -=的焦距是 .
4.已知一组数据4.7,4.8,
5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 . 5.函数232y x x =--的定义域是 .
6.如图是一个算法的流程图,则输出的a 的值是 .
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
8.已知{}n a 是等差数列,S n 是其前n 项和.若212
3a a +=-,5S =10,则9a 的值是 . 9.定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 .
10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22
221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点,直线2
b y =
与椭圆交于B ,C 两点,且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 .
11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[1,1)-上,,10,
()2,01,5x a x f x x x +-⎧⎪
=⎨-⎪⎩
≤＜≤＜其
中a ∈R .若59
()()22
f f -=,则(5)f a 的值是 .
12.已知实数x ,y 满足240220330x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩
≥，≥，≤，则22x y +的取值范围是 .
13.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,A 4B CA =,
1BF CF =-,则BE CE 的值是 .
14.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在ABC △中,6AC =,4cos 5B =,π
4
C =. （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求π
cos()6
A -的值.
姓名________________ 准考证号_____________
---------在
--------------------
此
--------------------
卷--------------------上
--------------------
答--------------------题--------------------无
--------------------
效----------------
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共6页,均为非选择题（第1题～第20题,共20题）.本卷满分为160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
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16.（本小题满分14分）
如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱1B B 上,且11B D A F ⊥,1111AC A B ⊥. 求证:（Ⅰ）直线DE
平面11AC F ；
（Ⅱ）平面1B DE ⊥平面11AC F .
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -,下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示）,并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.
（Ⅰ）若6m AB =,12m PO =,则仓库的容积是多少?
（Ⅱ）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当1PO 为多少时,仓库的容积最大?
18.（本小题满分16分）
如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :22
1214x y x y +--+
600=及其上一点(2,4)A .
（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线6x =上,求圆N 的标准方程； （Ⅱ）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点,且BC OA =,求直线l 的方程； （Ⅲ）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取 值范围.
19.（本小题满分16分）
已知函数()=(0,0,1,1)x x
f x a b a >b a b +>≠≠.
（Ⅰ）设2a =,12
b =
. ①求方程()2f x =的根；
②若对于任意x ∈R ,不等式(2)()6f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值； （Ⅱ）若01a <<，1b >,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值.
20.（本小题满分16分）
记{1,2,,100}U =….对数列*
{}()n a n ∈N 和U 的子集T ,若T =∅,定义0T S =；若
12{,,,}k T t t t =…,定义12+k T t t t S a a a =++….假如:={1,3,66}T 时,1366+T S a a a =+.现设
*{}()n a n ∈N 是公比为3的等比数列,且当={2,4}T 时,=30T S .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数(1100)k k ≤≤
,若{1,2,,}T k ⊆…,求证：1T k S a +<； （Ⅲ）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥求证:2C C D D S S S +≥
.
A B=-
{1,2}
-
{1,2,3,6}
+，则
55i
3/ 14
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5 / 14
得0BF CF =，BF c ⎛=+ ⎝，CF c ⎛=- ⎝
2212c a =，则2e 3c a ==【提示】设右焦点(,0)F c ，代入椭圆方程求得
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8
令DF a =，DB b =，则DC b =-，2DE a =，3DA a =，则3BA a b =-，3CA a b =+，2BE a b =-，
A B =∅，BF a b =-，CF a b =+，则229BA CA a b =-，22BF CF a b =-，22
4BE CE a b =-，由4BA CA =，1BF CF =-可得2
2
94a b -=，2
2
1a b -=-，因此2
5
8
a =
，2138b =，因此
2
2
45137
4888
BE CE a b ⨯=-=
-=． 【提示】结合已知求出25
8a =，2138b =，可得答案．
【考点】平面向量数量积的运算，平面向量数量积的性质及其运算律．14.【答案】8
sin π)sin()A B C -=+=*
7 / 14
（Ⅰ）4
cos 5
B =
sinC sin AB =
325
2
6
AB
∴=
52AB =（Ⅱ）cos cos A ∴=又A 为三角形的内角31cos 22A +（Ⅰ）利用正弦定理，即可求、sin A ，利用两角差的余弦公式求（Ⅰ）证明：
,D E 为中点，又11ABC A B C -为棱柱，，又
11AC ⊂平面11A C 11A C F ；
（Ⅱ）
111ABC A B C -为直棱柱，11AC ⊥，又
11AC A B ⊥且1
111AA A B A =⊥平面11AA B B ，又B DE ⊥平面AA 又1A F ⊂平面11AA B B ，∴ 又
11A F B D ⊥，1DE
B D D =1,DE B D ⊂1A F ⊥平面DE ，又
11A F AC F ⊂
平面1B DE 11C F ．
【提示】（Ⅰ）通过证明//DE AC ，进而（Ⅱ）通过证明1A F 结合题目已知条件【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定．
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113
ABCD PO =⨯216ABCD OO =⨯1111312A B C D =，仓库的容积为2
36m
x -，2236m x -3112
24m 33ABCD PO x x =⨯-1(72ABCD OO =111ABCD A B C D V -231226(x =-时，()0V x '<，2236m x -
轴相切，则圆N |||5n n =+，5+或215y x =-；
TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，即||||TA PQ =，||(TA t =-||10PQ ≤，即
2
2410+≤），解得[2221,2221]t ∈-+，对于任意[2221,2t ∈-+，欲使TA PQ =，此时
9 / 14
||10TA ≤，只需要作直线2
||4
TA ，必然与圆交于时||||TA PQ =，即TA PQ =，
因此对于任意[2221,22t ∈-+21,2221]+【提示】（Ⅰ）设(6,)N n ，则圆l 的方程．
TA TP TQ +=，即||(TA t =-||10PQ ≤，221,2221]+，欲使TA PQ =，只需要作直线TA 的平行线，2
||TA ，
由此能求出实数t 的取值范围．
【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系．1x
⎛⎫，由()f x 4
4t t
=，当且仅当2x a b =+ln ln x
a
b ⎫+⎪，则
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数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）
2
1
311333
2
k k k a --+=+++
+=<()C
C D =
，()D
B C
D =
，则A B =∅，C D
，C
D S ，
22C
D
D A B S S S -=-，因此原题就等价于证明A S ≥C D S S ≥可知A B S S ≥．
=∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．
中最大元素为l A
B =∅，所以2
1
12311333
2m m m a a --+++=+++
+=<综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D
D S S S +≥．
【提示】（Ⅰ）根据题意，由T S 的定义，分析可得S
211333k k a -+=+++
+，由等比数列的前)(()C
D
C D B C D =
=
，，则A B =∅，进而分析可以将原命题转化为证明种情况进行讨论：①、若B =∅，②、若B ≠∅，可以证明得到2A B S S ≥，即可得证明．【考点】数列的应用，集合的包含关系判断及应用，等比数列的通项公式，数列与不等式的综合．数学Ⅱ
数学试卷 第34页（共42页） （Ⅰ）:l x y --即抛物线的焦点为(2,0)，∴
11,)y ，(Q ，即2
12y p ⎧=⎪⎪⎨又
P Q ，关于直线12y y +=-又PQ 中点一定在直线线段PQ 上的中点坐标为②中点坐标为112
y x x ⎧
⎪
⎨+=⎪
1m k kC -+
++11(m m m k C m kC +-++
++231)m k C ++，而23(1)m m ++-+2)!
⎤
(1)m +
++1
1)m n C +++
+1
21111
1
1221121m m m m m m m n m m n m m n C C C C C C C ++++++++++++++==+++=+++，
数学试卷 第40页（共42页）
（Ⅱ）对任意m *∈N ，当n m =时，验证等式成立；再假设()n k k m =≥时命题成立，推导出当1n k =+时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明
21212(1)(2)(3)(1)(1)m m m
m m m m m m k k k m C m C m C kC k C m C +++-+++++++
+++=+
【考点】组合及组合数公式．。