2018-2019学年高中物理 第四章 机械能和能源 2 功率学案 教科版必修2

2 功率
[学习目标] 1.理解功率的概念，能运用功率的定义式P ＝W
t
进行有关的计算.2.理解额定功率和实际功率，了解平均功率和瞬时功率的含义.3.根据功率的定义导出P ＝Fv ，会分析P 、F 、
v 三者的关系．
一、功率的含义
1．定义：力对物体所做的功W 与做功所用时间t 的比值．
2．公式：P ＝W
t
.单位：瓦特，简称瓦，符号为W.常用单位有kW,1 kW ＝1 000 W. 3．意义：功率是表示力对物体做功快慢的物理量． 4．额定功率和实际功率
(1)额定功率：机械允许长时间正常工作时的最大功率．发动机铭牌上的功率指的就是额定功率．
(2)实际功率：机械实际工作时的输出功率．发动机的实际功率可以小于或等于额定功率，但不能长时间大于额定功率，否则会损坏机械． 二、功率、力和速度之间的关系 1．关系
(1)当F 与v 方向相同时，P ＝Fv . (2)当F 与v 夹角为α时，P ＝Fv cos α. 2．平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：当物体做变速运动时，若v 为某段时间内的平均速度，则P 表示该段时间内的
平均功率．
(2)瞬时功率：若v 为某一时刻的瞬时速度，则P 表示该时刻的瞬时功率．
1．判断下列说法的正误．
(1)由公式P ＝W
t
知，做功越多，功率越大．(×) (2)力对物体做功越快，力的功率一定越大．(√)
(3)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作．(×) (4)汽车爬坡时常常需要换高速挡．(×)
2．用水平力使重力为G 的物体沿水平地面以速度v 做匀速直线运动．已知物体与地面间的动摩擦因数为μ，则水平力对物体做功的功率是 ． 答案 μGv
一、功率
在建筑工地上分别采用以下三种方式，把1 t 货物从地面运到三楼： 方式一：搬运工分批搬运，需要时间3 h ； 方式二：用一台起重机提升，需要时间1 min ； 方式三：用另一台起重机提升，需要时间30 s.
上述三种情况下，把货物由地面运到三楼时，试分析以下问题： (1)用不同的方式，对货物所做的功是否相同？ (2)三种方式中做功的快慢是否相同？ 答案 (1)对货物所做的功相同．
(2)因为所用时间不同，说明做功的快慢不同．方式一最慢，方式三最快．
1．功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然． 2．求解功率时，首先要明确求哪个力的功率，是某个力的功率，还是物体所受合力的功率，其次还要注意求哪段时间(或哪个过程)的功率．
3．做功是能量转化的量度，功率表示做功过程中能量转化的快慢．
例1 某人用同一水平力F 先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面
上前进x 距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进x 距离．若先后两次拉力做的功分别为W 1和W 2，拉力做功的平均功率分别为P 1和P 2，则( ) A ．W 1＝W 2，P 1＝P 2 B ．W 1＝W 2，P 1＞P 2 C ．W 1＞W 2，P 1＞P 2 D ．W 1＞W 2，P 1＝P 2
答案 B
解析 两次拉物体用的力都是F ，物体的位移都是x .由W ＝Fx cos α可知W 1＝W 2.物体在粗糙水平面上前进时，加速度a 较小，由x ＝12at 2可知用时较长，再由P ＝W
t 可知P 1>P 2.选项B 正
确．
【考点】功率的计算 【题点】平均功率的计算 二、功率与速度
在光滑水平面上，一个物体在水平恒力F 作用下从静止开始匀加速直线运动，经过一段时间
t 末速度为v .求：
(1)在t 时间内力F 对物体所做的功； (2)在t 时间内力F 的功率； (3)在t 时刻力F 的功率． 答案 (1)12Fvt (2)1
2Fv (3)Fv
解析 (1)在t 时间内的位移x ＝vt
2
W ＝Fx ＝12
Fvt
(2)t 时间内的功率为平均功率
P ＝W t ＝12
Fv
(3)t 时刻的功率P ＝Fv .
1．功率与速度的关系
(1)当F 与v 方向相同时，P ＝Fv ； (2)当F 与v 夹角为α时，P ＝Fv cos α. 2．平均功率和瞬时功率
(1)平均功率：时间t 内功率的平均值，计算公式：
①P ＝W
t
.
②当F 与v 方向相同时，P ＝F v ，其中v 为平均速度．
(2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢，计算公式： ①当F 与v 方向相同时，P ＝Fv ，其中v 为瞬时速度； ②当F 与v 夹角为α时，P ＝Fv cos α.
例2 如图1所示，质量为m ＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2
，求：
图1
(1)前2 s 内重力做的功； (2)前2 s 内重力的平均功率； (3)2 s 末重力的瞬时功率． 答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W 解析 (1)木块所受的合外力F 合
＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg (sin θ－μcos θ)＝
2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N 木块的加速度a ＝
F 合m ＝42
m/s 2＝2 m/s 2
前2 s 内木块的位移x ＝12at 2＝12×2×22
m ＝4 m
所以，重力在前2 s 内做的功为
W ＝mg sin θ·x ＝2×10×0.6×4 J＝48 J.
(2)重力在前2 s 内的平均功率为
P ＝W t ＝48
2
W ＝24 W.
(3)木块在2 s 末的速度v ＝at ＝2×2 m/s＝4 m/s 2 s 末重力的瞬时功率
P ＝mg sin θ·v ＝2×10×0.6×4 W＝48 W.
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
求解功率问题时容易混淆“平均功率”和“瞬时功率”这两个概念．读题时一定注意一些关
键词：“某秒末”或“到某位置时”的功率是求瞬时功率，只能用P ＝Fv 求解；“某段时间内”或“某个过程中”等词语，则是求平均功率，此时可用P ＝W
t
求解，也可以用P ＝F v 求解．
针对训练 一台起重机将静止在地面上、质量为m ＝1.0×103
kg 的货物匀加速竖直吊起，在2 s 末货物的速度v ＝4 m/s.(取g ＝10 m/s 2
，不计额外功)求： (1)起重机在这2 s 内的平均功率； (2)起重机在2 s 末的瞬时功率． 答案 (1)2.4×104
W (2)4.8×104
W 解析 设货物所受的拉力为F ，加速度为a ，则 (1)由a ＝v t
得，a ＝2 m/s 2
由牛顿第二定律知，F －mg ＝ma
则F ＝mg ＋ma ＝1.0×103
×10 N＋1.0×103
×2 N ＝1.2×104
N 2 s 内货物上升的高度
h ＝12
at 2＝4 m
起重机在这2 s 内对货物所做的功
W ＝F ·h ＝1.2×104×4 J＝4.8×104 J
起重机在这2 s 内的平均功率
P ＝W t ＝4.8×1042
W ＝2.4×104
W
(2)起重机在2 s 末的瞬时功率
P ＝Fv ＝1.2×104×4 W＝4.8×104 W.
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
例3 放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像如图2甲、乙所示．下列说法正确的是( )
图2
A ．0～6 s 内物体的位移大小为20 m
B ．0～6 s 内拉力做功为100 J
C ．滑动摩擦力的大小为5 N
D ．0～6 s 内滑动摩擦力做功为－50 J 答案 D
解析 在0～6 s 内物体的位移大小为x ＝1
2×(4＋6)×6 m＝30 m ，故A 错误；P －t 图线与时
间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则拉力做功W F ＝1
2
×2×30 J＋10×4 J＝70 J ，故B
错误；在2～6 s 内，v ＝6 m/s ，P ＝10 W ，物体做匀速运动，摩擦力f ＝F ，得f ＝F ＝P v ＝5
3
N ，
故C 错误；在0～6 s 内物体的位移大小为30 m ，滑动摩擦力做负功，即W f ＝－5
3×30 J＝－
50 J ，D 正确． 【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
1．(对功率的理解)关于功率，下列说法正确的是( )
A ．由P ＝W t
可知，只要知道W 和t 的值就可以计算出任意时刻的功率 B ．由P ＝Fv 可知，汽车的功率一定与它的速度成正比 C ．由P ＝Fv 可知，牵引力一定与速度成反比 D ．当汽车的功率一定时，牵引力一定与速度成反比 答案 D
解析 公式P ＝W t
求的是这段时间内的平均功率，不能求瞬时功率，故A 错误；根据P ＝Fv 可知，当汽车牵引力一定时，汽车的功率与速度成正比，故B 错误；由P ＝Fv 可知，当汽车功率一定时，牵引力与速度成反比，故C 错误，D 正确． 【考点】功率的理解 【题点】功率公式的理解
2．(平均功率和瞬时功率)一个质量为m 的小球做自由落体运动，那么，在前t 时间内重力对它做功的平均功率P 及在t 时刻重力做功的瞬时功率P 分别为(重力加速度为g )( ) A.P ＝mg 2t 2
，P ＝12
mg 2t 2
B.P ＝mg 2t 2，P ＝mg 2t 2
C.P ＝12mg 2t ，P ＝mg 2
t
D.P ＝12mg 2t ，P ＝2mg 2
t
答案 C
解析 前t 时间内重力做功的平均功率
P ＝W t
＝
mg ·12
gt 2
t
＝12
mg 2t t 时刻重力做功的瞬时功率P ＝mgv ＝mg ·gt ＝mg 2t
故C 正确． 【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
3．(瞬时功率分析)如图3所示，四个相同的小球A 、B 、C 、D ，其中A 、B 、C 位于同一高度h 处，A 做自由落体运动，B 沿光滑固定斜面由静止滑下，C 做平抛运动，D 从地面开始做斜抛运动，其运动的最大高度也为h .在每个小球落地的瞬间，其重力的功率分别为P A 、P B 、P C 、
P D .下列关系式正确的是( )
图3
A ．P A ＝P C ＝P D >P
B B ．P A ＝P
C >P B ＝P
D C ．P A ＝P B ＝P C ＝P D D ．P A >P C ＝P D >P B
答案 A
解析 A 做自由落体运动，C 做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，故A 、C 落地时竖直方向的速度大小相同，故落地时重力的功率相同．D 做斜抛运动，其运动的最大高度跟A 下落时的高度相同，故落地时竖直方向的速度跟A 落地时的速度大小相同，故重力的功率相同．B 沿斜面下滑，下滑至斜面底端的速度的大小跟A 落地时的速度大小相同，但速度方向与重力方向成一定的夹角，故其重力的功率小于A 重力的功率，所以A 选项正确．
4．(瞬时功率计算)2017年贵州雷山遭受大雨侵袭发生内涝和泥石流灾害，某路段有一质量为2.0×103
kg 的石块随着雨水由静止开始沿倾角为30°的斜坡滑下，石块滑至坡底时的速度大小为10 m/s ，g 取10 m/s 2
，则此时( ) A ．石块重力的瞬时功率为2×105 W B ．石块重力的瞬时功率为1×105 W
C ．石块所受斜坡支持力的瞬时功率为53×104
W D ．石块所受斜坡支持力的瞬时功率为3×105
W 答案 B
解析 石块重力的瞬时功率P C ＝mg ·v ·sin 30°＝2.0×103×10×10×12 W ＝1×105
W ，故A
错误，B 正确；石块所受斜坡支持力与石块速度方向垂直，故石块所受斜坡支持力的瞬时功率为零，故C 、D 错误．
5．(与功率有关的图像问题)起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其v －t 图像如图4所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是图中的哪一个( )
图4
答案 B
解析 在0～t 1时间内，重物匀加速上升，钢索拉力F 1>mg ；在t 1～t 2时间内，重物匀速上升，钢索拉力F 2＝mg ；在t 2～t 3时间内，重物匀减速上升，钢索拉力F 3<mg ；由P ＝Fv 知，0～t 1时间内，功率均匀增大，且t 1时刻F 1v 1>F 2v 1；t 1～t 2时间内，功率保持不变，P ＝F 2v 1，t 2～t 3时间内，功率均匀减小，且t 2时刻F 2v 1>F 3v 1，综上所述，只有B 正确． 【考点】功率的计算 【题点】瞬时功率的计算
一、选择题
考点一 功率概念的理解
1．关于功率，下列说法正确的是( ) A ．功率是描述力对物体做功多少的物理量 B ．力做功时间越长，力的功率一定越小 C ．力对物体做功越快，力的功率一定越大 D ．力对物体做功越多，力的功率一定越大 答案 C
解析 功率是描述力对物体做功快慢的物理量，做功越快，功率越大，A 错误，C 正确；力对物体做功时间长，未必做功慢，B 错误；力对物体做功多，未必做功快，D 错误． 【考点】功率的理解 【题点】功率概念的理解
2．(多选)放在水平面上的物体在拉力F 作用下做匀速直线运动，先后通过A 、B 两点，在这个过程中( )
A ．物体的运动速度越大，力F 做功越多
B ．不论物体的运动速度多大，力F 做功不变
C ．物体的运动速度越大，力F 做功的功率越大
D ．不论物体的运动速度多大，力F 做功的功率不变 答案 BC
解析 求做功用W ＝Fx cos α，故不论速度多大，F 做功不变，故A 错，B 对；物体运动速度越大，通过A 、B 两点所用时间越短，功率就越大，故C 对，D 错． 【考点】功率的理解 【题点】功率公式的理解
考点二 公式P ＝Fv 和P ＝W
t
的应用
3．竖直上抛一球，球又落回原处，空气阻力的大小正比于球的速度，则( ) A ．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功 B ．上升过程中克服重力做的功小于下降过程中重力做的功
C ．上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力做功的平均功率
D ．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力做功的平均功率 答案 D
解析 球在上升和下降过程中，重力做功的绝对值是相等的，所以A 、B 错误；球在上升的过程中，受到的阻力向下，在下降的过程中受到的阻力向上，所以在上升时球受到的合力大，加速度大，球运动的时间短，在上升和下降的过程中，球的重力做功的绝对值是相等的，由
P ＝W
t
知，上升的过程中克服重力做功的平均功率较大，所以D 正确，C 错误． 【考点】功率的计算 【题点】平均功率的计算
4．2015年10月，我国自主研发的第一艘平流层飞艇“圆梦”号试飞成功．若飞艇在平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比．当匀速飞行速度为v 时，动力系统的输出功率为P ；当匀速飞行速度为2v 时，动力系统的输出功率为( )
A.P 4
B.P
2 C ．2P D ．4P 答案 D
【考点】功率的计算 【题点】瞬时功率的计算
5.一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如图1所示，则作用在小车上的牵引力F 的功率随时间变化的规律是选项中的( )
图1
答案 D
解析 小车所受的牵引力和阻力恒定，所以小车做匀加速直线运动，牵引力的功率P ＝Fv ＝
F (v 0＋at )，故选项D 正确．
【考点】功率的计算 【题点】瞬时功率的计算
6.一质量为m 的滑块静止在光滑水平地面上，从t ＝0时刻开始，将一个大小为F 的水平拉力作用在滑块上，如图2所示，在t ＝t 1时刻力F 的功率应是( )
图2
A.F 2t 12m
B.F 2t 122m
C.F 2t 1m
D.F 2t 12m
答案 C
解析 由牛顿第二定律得滑块的加速度a ＝F m ，由v ＝at 1得v ＝F m t 1，则P ＝Fv ＝F ·F m t 1＝F 2t 1m
，
故C 选项正确． 【考点】功率的计算 【题点】瞬时功率的计算
7.如图3所示，乒乓球运动员用同一个乒乓球两次发球，乒乓球恰好都在等高处水平向左越过球网，从最高点落到台面的过程中(不计乒乓球的旋转和空气阻力)，下列说法正确的是
( )
图3
A ．球第1次过网时的速度小于第2次的
B ．球第1次的速度变化量小于第2次的
C ．球两次落到台面时重力的瞬时功率相等
D ．球两次落到台面过程中重力的平均功率不相等
答案 C
解析 球下落的高度相同，由h ＝12
gt 2可知下落的时间相等，因球第1次比第2次通过的水平位移大，根据x ＝vt 可知，球第1次过网时的速度大于第2次过网时的速度．球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，故速度变化量只在竖直方向，由Δv ＝gt 可得速度变化量相等．重力的瞬时功率P ＝mgv y ，落地时竖直方向的速度相等，故球两次落到台面时重力的瞬时功率相等．平均功率等于功除以时间，重力两次做的功相同，时间也相同，重力两次的平均功率也相同．故选C.
8.(多选)如图4所示，在外力作用下某质点运动的v －t 图像为正弦曲线．从图中可以判断
( )
图4
A ．在0～t 1时间内，外力做正功
B ．在0～t 1时间内，外力的功率逐渐增大
C ．在t 2时刻，外力的功率最大
D ．在t 1～t 3时间内，外力做的总功为零
答案 AD
解析 由题图知0～t 1时间内，加速度为正，所以外力做正功，故A 正确．由P ＝Fv 知0、t 1、t 2、t 3时刻外力的功率为零，故B 、C 错误．t 1～t 3时间内，外力先做负功后做正功，总功为零，故D 正确．
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率的计算
9．特斯拉Model S 标配全轮驱动双电机，Model S P100 D 更有高性能后置电机，与高效率的前置电机联动，实现超跑级别的加速表现，仅需2.7 s ，即可从静止加速至100 km/h.假设驾驶员与车总质量为2 200 kg ，则在此加速过程中下列说法中正确的是( )
A ．合力做功约为8.5×105
J
B ．牵引力做功约为8.5×105 J
C ．合力做功的平均功率约为3 150 kW
D ．牵引力做功的平均功率约为3 150 kW
答案 A
解析 v ＝100 km/h ≈27.8 m/s F 合＝ma ＝m v t
≈2.265×104 N l ＝v 2
t ＝37.53 m W 合＝F 合l ≈8.5×105 J
P 合＝W t
≈3.15×105 W ＝315 kW 牵引力功率大于合外力的功率，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．
【考点】功率的计算
【题点】平均功率的计算
10．(多选)如图5所示，某同学通过一动滑轮提升质量为m ＝1 kg 的物体．他竖直向上拉绳子，使物体由静止开始以5 m/s 2
的加速度上升，不计动滑轮和绳子的质量及摩擦，在此后的1 s 时间内，下列说法正确的是(g 取10 m/s 2)( )
图5
A ．拉力F 做的功为18.75 J
B ．拉力F 在1 s 末的瞬时功率为75 W
C ．拉力F 的平均功率为37.5 W
D ．物体克服重力做功的平均功率为25 W
答案 BCD
解析 由牛顿第二定律可得2F －mg ＝ma ，解得F ＝7.5 N,1 s 内的位移x ＝12
at 2＝2.5 m ，该
过程中力的作用点的位移L ＝2x ＝5 m ，则拉力做的功W ＝FL ＝37.5 J ，A 错误；1 s 末物体的速度为v 1＝at ＝5 m/s,1 s 末力F 作用点的速度v 2＝2v 1＝10 m/s ，则拉力在1 s 末的瞬时功率为P ＝Fv 2＝75 W ，选项B 正确；拉力的平均功率P ＝F v ＝F ·v 22
＝37.5 W ，C 正确；物体上升的高度为2.5 m ，克服重力做的功W G ＝mgx ＝25 J ，则物体克服重力做功的平均功率P G ＝W G t
＝25 W ，D 正确．
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
二、非选择题
11．(平均功率和瞬时功率的计算)从空中以30 m/s 的初速度平抛一个重10 N 的物体，物体在空中运动4 s 落地，不计空气阻力．求4 s 内重力的平均功率和落地时重力的瞬时功率(g 取10 m/s 2)．
答案 200 W 400 W
解析 设物体刚抛出时距地面的高度为h ，则有 h ＝12gt 2①
4 s 内重力的平均功率P ＝W t ＝mgh t
② ①②两式联立得P ＝12
mg 2t ＝200 W 物体在4 s 末落地时竖直方向的瞬时速度v y ＝gt ＝40 m/s
则4 s 末重力的瞬时功率P ＝mgv y ＝400 W.
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算
12．(平均速率和瞬时功率的计算)如图6所示，位于水平面上的物体A ，在斜向上的恒定拉力F 作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg ，F 的大小为100 N ，方向与速度v 的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g ＝10 m/s 2
.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图6
(1)第2 s 末，拉力F 对物体做功的功率是多大？
(2)从运动开始，物体前进12 m 过程中拉力对物体做功的平均功率是多大？
答案 (1)960 W (2)480 W
解析 (1)物体对水平面的压力等于水平面对物体的支持力，N ＝mg －F sin 37°＝100 N －100×0.6 N＝40 N
由牛顿第二定律得物体的加速度
a ＝F cos 37°－μN m ＝100×0.8－0.5×4010 m/s 2＝6 m/s 2
第2 s 末，物体的速度v ＝at ＝12 m/s
拉力F 对物体做功的功率P ＝Fv cos 37°＝960 W.
(2)从运动开始，前进12 m 用时
t ′＝2x a ＝2×12
6 s ＝2 s
该过程中拉力对物体做功
W ＝Fx cos 37°＝100×12×0.8 J＝960 J
拉力对物体做功的平均功率P ′＝W
t ′＝960
2 W ＝480 W.
【考点】功率的计算
【题点】瞬时功率、平均功率的计算。