一类具偏差变元的二阶微分方程周期解
二阶微分方程周期边值问题解的存在性
)]
∀
sin 2 M 1- cos 2 M
cosM t+ sinM t #
-
1 2M
[ m !( 0)
-m
!( 2
) ],
即
k#
-
M 2
[ m !(
0)
-
m
!(
2
) ]。
取
第 2期
周媛媛: 二阶微分方程周期边值问题解的存在性
1 61
!m
=
M 2
[m
!(
0)
-
m
!(
2
) ],
则当 m !( 0 ) > m !( 2 )时, 由 - m ∃M 2m + !m 即得
第 20卷 第 2期 2010年 3月
黑龙江科技学院学报 Journa l o fH e ilong jiang Institute o f Science & T echnology
文章编号: 1671- 0118( 2010) 01- 0159- 05
V o.l 20 N o. 2 M ar. 2010
0, !( 0) ∃ !( 2 ),
!=
e2
M M-
[ 1
!( 2
)-
!( 0) ],
!( 0) < !( 2 ),
0, !( 0) # !( 2 ),
!=
M e2 M -
[ 1
!( 0) -
!( 2 ) ],
!( 0) > !( 2 ),
此时称 ( t )、 ( t )为周 期边值问题 ( 1 )、( 2) 的下 上解。
K ey w ords: per iodic boundary va lue problem s; upper and low er solutions; upper and low er so lu tions in reversed order
一类具偏差变元的p-Laplacian方程的周期解
Ｍａ ｗｈｊ ｏｎ ｊ ｕａ ｉ ｎ ｔ ｏｒ ｍ ｎ ｃ ｔｎ ｔｏ ｈｅ ｅ
Ｅｑ ｔｏ ｔ ｅ ｉ ｔｎｇ Ａ ｒ ｍ ｅ ｔ ｕａ ｉ ｎ ｗｉｈ ａ Ｄ ｖ ａ ｉ ｇｕ ｎ
ＴＡ ＮＧ ｅ—ａ ＬＩ Ｘｉ — Ｍ ｉｌ ｎ。 Ｕ ｎ ｇｅ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ ｎ ｔｔ ｔ ｓ Ｃ ｎ ｒｌ ｏ ｔ ｉ ， ｈ ｎ ｓ ａ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ｄＳ ａｉ ｉ ｔ ｅ ｔ ｕ ｈＵｎｖ Ｃ ａ ｇ ｈ ，Ｈｕ ａ ４ ０ ８ ，Ｃ ｉａ ｏ Ｍａ ｃａ ｓｃ ａＳ ｎ ｎ １ ０ ３ ｈｎ ）
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｅ ｅ ｉｔ ｎｃ ｆｐｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｕ ｉ ｎｓｆ ｒａ ｋｉ ｄ ｏ － ｐｌ ｃａ ｆ ｅｅｎｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｔ — ｓｒ ｃ ： ｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｒｏ ｉ ｏｌ ｔｏ ｏ ｎ ｆｐ Ｌａ ａ ｉｎ ｄｉｆ ｒ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ｗｏ ｐ
文 章 编 号 ：６４２ ７ （０ ２０ —０ ００ １ ７ —９ ４ ２ １ ）８０ ９ —３
一
类 具 偏 差 变 元 的 ｐ Ｌａ ａ ｉ ｎ 方 程 的 周 期 解 － ｐｌ ｃ ａ
唐 美兰 ，刘 心歌
（ 中南 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ， 南 长 沙 湖 ４０８） １０ ３
ｓ ｓｓ ｉｌ ｉ ｋ ｌｓ，ｎｅ ｓ ｆｃｅ ｔｃ ｄｉｉ ｎｓｆ ｈ ｘｉｔ ｎ ｅｏ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｌ ｉ ｓｗｅ ｅｇｉ ｅ ｗ ｕｆｉｉ ｎ ｏｎ ｔｏ ｏｒｔ ｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｆｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕｔｏｎ ｒ ｖ ｎ．Ａｎ ｅ ａ ｘ ｍｐｌ ｓｐｒ — ｅｗａ ｏ ｖ ｄｅ ｏ ｄ ｍｏ ｔ ａ ｅ ｔ ｆｅ ｔｖｅ ｓ ｆｔ ｒ ｏ ｅ ｅ ｕ ｔ ｉ ｄ ｔ ｅ ｎｓ ｒ ｔ ｈｅ ｅ ｆ ｃ ｉ ｎｅ ｓ ｏ ｈｅ ｐ ｏｐ ｓ ｄ ｒ ｓ ｌ．
一类二阶微分方程周期解的存在性
一类二阶微分方程周期解的存在性
祝文壮;万军;张锦
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2004(042)001
【摘要】用泛函的方法研究一类二阶微分方程周期解的存在性. 构造一Hilbert空间H, 其中的元素是具有周期性的连续函数. 再由这类方程的特点构造H→H的算子, 将求周期解问题转化为求算子方程问题. 由方程的特点该算子是同胚, 算子方程有解, 从而该二阶微分方程有周期解.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】祝文壮;万军;张锦
【作者单位】吉林大学数学学院,长春,130012;沈阳商学院,沈阳,110000;吉林大学数学学院,长春,130012
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类二阶微分方程周期解的存在性与唯一性 [J], 陈应生;陈东晓
2.一类具偏差变元二阶微分方程周期解的存在性 [J], 邓瑞娟
3.一类二阶微分方程周期解的存在性 [J], 佘志炜;王全义
4.一类二阶微分方程概周期解的存在性 [J], 祝文壮;冀书关;刘振华
5.一类二阶微分方程周期解的存在性 [J], 易美香;唐美兰;刘心歌
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二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
一类具复杂偏差变元的微分方程的周期解存在性
［ 摘 要 ］ 应 用 重合 度 理 论 研 究 了一 类 具 复 杂 偏 差 变 元 的 二 阶 Ｌ ｉ ６ ｎ ａ ｒ ｄ 微 分方 程的周期 解存在 性问题 ， 改 进 和推 广 了 以 往 文 献 的相 关 结 果 ．
［ 关 键 词 ］ 周 期 解 ；复 杂 偏 差 变 元 ； Ｌ ｉ ６ ｎ ａ ｒ ｄ方 程 ［ 中图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ５ ． １ ４ ； Ｏ１ ７ ７ ． ９ １ ［ 文献标识码］Ａ ［ 文章 编 号 ］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ５ — ０ ５
５ ６
大 学 数 学
第２ ９卷
ｚ ｌ ｌ 。 ≤Ｉ ｚ （ ） ｌ ＋２ 一 ｌ ｌ ｚ （ ｓ ） ｌ ｄ ｓ ．
Ｊ ０
（ ２ ）
记 ｘ一 ｛ ｚ ∈Ｃ Ｉ “ （ ， ） ， ｚ （ ＋Ｔ ） 一ｚ （ ） ， Ｖ ｔ Ｅ ｝ ， 其范数为 Ｉ ｌ ｚ ｌ ： ｌ ＝ ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ＿ ｌ ｌ ｌ 。 ， ｌ ｌ ｚ ， １ ｌ 。 ） ， 其中 ｌ ｌ ｘ Ｉ Ｉ 。 ＝ ＝ ＝ ｍａ ｘ ∈ ［ 。 ． 『Ｉ ｚ （ ） Ｉ ． 类 似地 ， 令 Ｙ一 ｛ １ ∈Ｃ （ Ｒ， ） ， （ ￡ ＋Ｔ ） 一 （ ） ， Ｖ￡ ∈ ） ， 范数 为 ｌ ［ ｌ １ ０ 一ｍ ａ
第 ２ ９卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 １ Ｏ月
大 学 数 学
Ｃｏ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ２ ９ 。 №． ５
Ｏｃ ｔ ． ２ Ｏ１ ３
一
类 具 复 杂 偏 差 变 元 的微 分 方 程 的周 期 解 存 在 性
具有偏差变元的二阶中立型泛函微分方程多个周期解的存在性
３８ ５３
则必存在 。 ∈Ｒ 使 （ 。 Ｒ ， ， ）≤ 。若不然 ， Ⅱ） 由（ ，
ｇ ￡ｘ ｘ ｔ） （，（ （） ）≥ ０ 故 （） ＞０ 且 （ Ｎ ） ｔ ＝ ， ｔ ， ｑ ｘ （）
所 以
专 ） ＋∽ ） ） ｇ（ ） （ ＋ ） （ ）
ｐ ￡ｄ （） ￡＝
１ ）在 中先验 有界 。 事 实上 ， Ａ ∈ （ ，） ∈ ， 得 ：Ａ 一 设 ０１ ， 使
Ａ Ⅳ Ｑ ＋Ａ （ １一Ｑ Ｎ ）ｘ （） ２
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ｌ ３期
张
明， ： 等 具有偏差 变元 的二阶中立型泛函微分方程多个周期解 的存在性
个 ） 。
Ｑ
１ 主要结果及证明
定理 １ 设 条件 Ｈ成立 ， 且
ｌ 寺 ｔ Ｔ ， ， Ｑ 上（ｄ ）。
儿 ， ＝Ｑｌ Ｋ 为 Ｌ在 ｒ 尸 ，。 Ｐ中的逆 。
尸
Ｋ ：ｍ －Ｄ ｍ ｒ Ｊ＝一，则 由文 献 ［ ］ 求 ｐＩ Ｌ－ ｏ Ｌｎ ＋ 尸， ， ２知
Ｌ ｘ＝Ｎ 的解等价于求 的不动点， ｘ 这里Ｍ ｘ＝Ｑ ｘ—
（） （）＋ｇ ｔｘ ｘ ｔ ） ｔ） ｔ （ ，（ （） ）＋Ｐ ｔ （ ） （） １
则 方程 （ ） 少存在 两个非 平凡 的周 期解 。 １至 注 这样 的 ｇ ｔｓ 是存在 的 ， （，） 例如
Ｉ （ ＋ Ｒ１） ｓ ｇ ｔｓ ＝【 （，） 。
，
至 少存在一 个 周 期 解 ， 文 受 其 启 发 ， 用 了迭 合 本 利 度 的缺方 向性和可 加性得 到 了方程 （ ） 少存 在两 １至
（ ）式 等价 于 ２
［＿ ： 一 一 一 １ｌ
】 ×
（， （） ） ￡ ｏ 而 由文 ［ ］知 ｆ （ ￡ ） ｄ ≥ ， ２
一类具复杂偏差变元的二阶中立型泛函微分方程的周期解
了其周期解存在的若干新结 果 ．
为 了得到我们 的结果 ， 先引 入拓扑度理论 ， 设 Ｘ、 ｙ是 赋范 向量空间 ， Ｄ ｍ Ｘ－ Ｙ是线性 映射 ， ： Ｌ： ｏ ＬＣ － － ￣ Ｎ Ｘ— ｙ是 连续 映射 ， ｄ Ｋｅ 如 ｉ ｍ ｒＬ＝Ｃ ｉ Ｉ Ｌ， Ｉ Ｏｄｍ ｍ 且 ｍ Ｌ 为 Ｚ中的闭子 集则称 Ｌ是指标为零 的 Ｆ ｅｈ ｌ 映射 ． ｒｄ ｏ ｍ 如果 Ｌ是指标 为零 的 Ｆｅ ｈｌ 映射且存在连续投影 Ｐ： Ｘ 及 Ｑ： ｒｄ ｏ ｍ Ｘ— ｙ
一
类具 复 杂偏 差 变元 的二 阶 中立型泛 函微分 方 程 的周 期 解
罗芳 琼 ， 姚晓洁 ， 发金 秦
（ 州师 范高等专科 学校 数学 与计算机科 学系， 西 柳州 ５５０ ） 柳 广 ４ ０４
摘
要： 利用拓 扑度理论 ， 究 了一类具 复杂偏差 变元 的二阶 中立型泛 函微 分方程 的周期 解存在 性 问题 ， 阻 研 在
的周期解问题 ， 中 ｒ ， Ｏ ｋ为 常数且 Ｊ ， ｂ ｆ ｇ， ， 其 ≥Ｏ ， ｋＪ 口， ， ， ｄ Ｐ∈Ｃ（ Ｒ）并 且存在 常数 Ｔ＞０ 使 口 ｔ ≠１ Ｒ， ， ， （ ＋Ｔ） ＝口（ ） ｂ ｔ ，
（ 十Ｔ） （ ） ｄ ｔ ｔ ＝ｂ ｔ ， （ ＋Ｔ） （ ） ｐ（ ＋Ｔ） ＝ｄ ｔ ， ｔ ＝Ｐ（ ） 为非负数 ． ｔ． 利用拓扑度理论 ， 阻尼项 厂有界 和无界 的条 件下分别得 到 在
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第 ２ 卷第 ３ ２ 期 ２０ ０ ７年 ９月
柳
州
师 专
学
报
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ３ １２ ．
Ｓ ｐ ．２ ０ ｅｔ ０ ７
Ｊ ｕ ａ ｆＬｉｚ ｏ ａ ｈ ｒ ｌ ｇ ｏ ｒ ｌ ｕ ｈ ｕ ＴБайду номын сангаас ｃ ｅｓＣｏｌ ｅ ｎ ｏ ｅ
一类二阶具偏差变元的微分方程周期解
（ ） ∈ ａ ｎ ＫｅＬ， Ｎ ≠ ０及 ｄ ｇ Ｊ ｉＶ ｉ ｒ Ｑ ｅ ｛ＱＮ ， ｎ ＫｅＬ， ｝≠ ０ ｒ ０ ； 则 ＶＸ∈ ａ ｎ Ｄｏ Ｌ， ｔ 方程 — Ｎｘ至 少存 在一 个周 期解 。 ａ 引 理 ２８ 令 Ｃ 是 由实连 续 的 丁 周期泛 函 — ｚ ￡ 构成 的集合 ， ［ 丁 － （） 则对 Ｖ ｚ— ｚ ￡ ∈ ” Ｒ， ）ｎ Ｃ ， （） （ Ｒ Ｔ
１ 预 备 知 识
设 Ｘ， 均为 Ｂ ｎ ｃ ｙ ａ ａｈ空 间 ， Ｄ ｍＬ（ Ｘ — ｙ是线 性 映 射 ， ｘ — ｙ 是 连 续 映射 。 ｄｍ ＫｅＬ — Ｌ： ｏ ＝ ＝ Ｎ： 若 ｉ ｒ
Ｃ ｉ Ｉ Ｏ ｄｍ ｍＬ＜＋ ｏ ， Ｉ ｏ 及 ｍＬ在 ｙ 中闭 ， Ｌ称 为指 标 为 ０的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 算子 。 则 ｒｄ ｏｍ
・１ ・
ｄ ｉ １ ． ９ ９ ｊ ｉｓ ． ６ ３ １ ０ （ ｏ ： ０ ３ ６ ／．ｓ ｎ １ ７ — ４ ９ Ｎ） ． ０ ２ ０ ． ０ ２ １． ６０ １
一
类 二 阶 具 偏 差 变 元 的 微 分 方 程 周 期 解
陈月 红 （ 广东技术师范学院计算机学院应用数学系， 广东 ＦＯ ５０６） － １ ５ ￣ Ｎ ６
论 了 Ｌｅ ａｄ型微 分方 程 （） ， （） （） ｇ ｘ（ （ — ｒ ｆ） ）＝ Ｆｆ 期 解 的存 在 性 条 件 ， 中 ｉ ｒ ｎ ｆ ＋ （ ｆ） ＋ （ ｘ ｔ （） ） ＝ （）周 ＝ 其
ｇ ｚ 满 足 Ｌ ｅ ａｄ条 件 ；文献 ［ ］在 ｇ ） 足单 边 线 性 增 长条 件 下 ，讨论 了上 述 方程 周 期 解 和偏 差 （） ｉｎ ｒ ６ （ 满 量 的关 系 ；作 为 Ｌｅ ａｄ方 程 的特 殊 形 式 ，笔 者 在 文 献 ［ ］ 中研 究 了 具 复 杂 偏 差 变 元 的 时滞 非 自治 ｉｎ ｒ ７ Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ方程 （） Ｇ（， （ ｔ ｒ ￡） ）一 ｇ ￡ 的周 期解 存 在性 问题 。 ｉ ￡ ＋ ｔｘ ｘ（ — （） ） （）
具复杂偏差变元的二阶中立型微分方程周期解
ｚ Ｔ 易得 设 Ｃ ： ｛ ｚ∈ Ｃ Ｒ， ， （ ＋丁 Ｔ ＝ ｚＩ （ Ｒ）ｘ ｔ ）＝ｘ ｔｌ其模为 Ｉ ∈ａｘ Ｉ （ ）ＩＹｘ∈ Ｃ － （ ）， Ｉ ｚ ｏ ｍ 列 ￡ ， ［ 。
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３ 卷第 ２期 ０
广、 １
文 乾 ， 鲁世平 ： 具 复杂偏差变元 的二 阶中立型微分方程周期解
１９ ０
（） ｌＡ ）￡ ｌｔ ２ Ｊ （ ｆ（） ｄ ≤ Ｉ
０ １
一
）
．
∑ ｆ
ｉ＝ห้องสมุดไป่ตู้ｌ
Ｊ０
引理 ２８ 如果 ｌ １ ｘ １ ｌ ０且 ［ ］ ＝ ｍａ ＞
１ 引言 与引 理
二阶微分方程周期解问题的研究一直为人们所广泛关注 ， 但对中立型泛函微分方程的研究工作相对较
少［ ４ 王根强等在文［］ 卜Ｊ ． ５ 中研究了一类非线性中立型方程
［ （） Ｘ ｔ ） ｚ ｔ ＋Ｃ （ —ｒ ］ ＋ｇ ｔｚ ｔ ） （ ， （ 一 ）＝ Ｐ ｔ （） 的周期解存在性问题 ， 要求 ｇ ｔｚ 关于 ｚ满足单边有界条件 ； （， ） 刘锡平等在文［］ ６ 中利用拓扑度方法探讨 了 类具复杂偏差变元 Ｄ ｌｎ 型方程 ｕｌ ｇ ｉ ｚ （ ）＋ｇ（ ｚ（ ） ）＝ Ｐ（ ） ｔ ｘ（ ｔ ） ｔ （） １ 周期解的存在性， 要求 ｇ作为Ｒ上的连续函数是严格有界的． Ｚ ３［ ￣ ７—８ 分别研究了中立型 Ｌ ｎｒ 方程 ］ ｆａ ｄ
（） ４ （） ５
Ｌ： Ｌ） Ｃ、 Ｃ ， ｘ ＝ （ ）， Ｄ（ ｃ １一 ｒ Ｌ 其 中 Ｄ（ Ｌ）＝ ｛ ｚ ∈ Ｃ （ Ｒ） （ Ｔ）＝ ｚ（ ） ， ｚ： Ｒ， ， ｔ＋ ｔ｝ Ｎ ： Ｔ— Ｃ ，Ｎｘ ＝一ｇ ｚ ｔ）一ｇ ｚ（ ｔ ） Ｃ Ｔ （ （） （ ｚ（） ）＋Ｐ ｔ ． （） ｘ ｌｆ ＞ 如 果 ｌ １ ｍａ ｃ ｌ ＯＲ
一类二阶迭代微分方程的周期解
一类二阶迭代微分方程的周期解一阶二阶迭代微分方程，是数学分析中非常有用的工具，可以在分析上引申出许多有趣的结果。
本文将介绍一类二阶迭代微分方程的周期解。
一. 什么是二阶迭代微分方程二阶迭代微分方程是指一类常微分方程，其解包含至少二阶次的派生，即它的解的表达式中包含至少一个二阶导数的项。
这类方程通常能够描述复杂的物理系统或生物系统，且表示复杂运动的数学形式。
二. 二阶迭代微分方程的周期解二阶迭代微分方程的周期解是指当方程的参数值为一定时，这个方程的解有一类重复出现的状态，即存在一个以固定充分条件初值开始的周期过程。
这类解的特征是它的值每隔一段时间就会重复出现，并且能够无限重复。
三. 二阶迭代微分方程的求解方法对于任何一类单变量的二阶迭代微分方程的周期解，一般会首先利用变分法进行多次积分，从而求解出一类积分函数。
再利用反方向微分，将这些积分函数中涉及到的参数逐步求出，最终由所有参数值求出微分方程的确定解，即所需求解的周期解。
四. 应用前提要想解出一类二阶迭代微分方程的周期解，首先的前提条件是该方程要易于求解，即解的充分条件要易于确定，这样变分法才能够用来求解这类方程。
五. 准备工作要准备求解一类二阶迭代微分方程的周期解，除了要检查方程是否符合求解条件之外，还要准备满足该方程的积分函数，即准备各类积分运算所需要的初始值条件和积分因子。
一般，积分函数的参数值须按照一定准则来设置，以能够满足微分方程的求解。
六. 求解过程在准备工作的基础上，就可以利用变分法了，即多次积分，具体包括：(1)确定满足条件的变分形式；(2)对参数因子进行多项调整，得到最合适的解析解；(3)将所有参数因子逐步组合起来，即可解出准确的方程解。
最后，再通过反方向微分，求出满足该方程的确定解，即得到所需求解的二阶迭代微分方程的周期解。
一类具有偏差变元的Lienard型方程的周期解
（ ＋ ∑ｈ Ｉ Ｉ ＋ｆｔ （ ，（—ｒ ） ｆ＋ｇｆ （—ｒ ｆ ） （ ｆ ） ） 。 （ （ ｆ ｘｔ ｏ ） ） （ ｆ ｌ） 一户ｆ ， ） ） （ ， （） ）
ｌ １ ＝
ｗｉｈ ｄｅａ ｓａ ｄ ｄｅ ｉｔｎ ｒ ｍｅ ｔ ｔ ｌｙ ｎ ｖ ａ ｉ ｇ ａ ｇｕ ｎ ，Ｓｏ ｅｎｅ ｓ ｆｉｉｎ ｏ ｄｉｉ ｎ ｏ ｅ ｉ ｉ ｏ ｕ ｉｎ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ｍ ｗ ｕ ｆ ｅ ｔｃ ｎ ｔｏ ｆｐ ｒｏ ｃｓ ｌ ｔｏ ｓｉ ｂ ａ ｎ ｄ． ｃ ｄ
ｌ 】 一
的周 期 解 的 存 在 性 ， 到其 周 期 解 存 在 的新 的充 分 条 件 ， 广 和 改 进 文 献 ［ ，］ 相 关 结 果 ． 得 推 １２的 关 键 词 ： ｉ ａｄ型 方 程 Ｌｅ ｒ ｎ
中图 法 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１５ ６
周期解
存在性
重 合 度
文 章 编 号 ：０ ５９ ６ （０ ７ ０ —１ ００ １ ０— １４ ２０ ）２０ １ －３
时 ’ 程 （） 方 １ 至少存 在一 个 丁 周期 解． ＿的 Ｌｅ ａｄ型 ２ ｉｎｒ
方程 ”ｆ ＋ ｆ （ Ｉ Ｉ ＋ ｆ（， ｆ ， ｔ — （） ｌ 。 ） ｔ （）ｘ（
ｒ （） ） （）＋ ｇ（ ， （ ｏ ） ｆ ｔ ｆ— ｒ ｆ ） （） ）＝ 户（） ｆ （） ２
文 献标 识 码 ： Ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｃ ｉｃｄ ｎ ｅ ｄｅ ｒ ｅ ｔ ｏ ｙ ｏ ａ ｓ ｒ ｃ ： ｓｎ ｈ ｏｎ ｉｅ ｃ ｇ ｅ ｈｅ ｒ ｆＭ ｗｈｉ ｎ，ｗｅ ｓ ｕ ｈ ｘｉｔ ｎ ｅ ｏ ｅ ｉｄ ｃ ｔ ｄｙ ｔ ｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｆ ｐ ｒｏ ｉ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｏ ｈ ｅ ａ ｄ— ｙ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｏｕ ｉｎ ｆｔ ｅ Ｌｉｎ ｒ ｔ ｐ ｑ ａ ｉｎ
一类多偏差变元的二阶微分方程周期解
则方程 Ｌ ｚ— Ｎｘ在 ｎ Ｄ（ ）上至少存在一 个解 ， 中 Ｊ：ｅＬ— Ｉ Ｌ 其 ｋｒ ｍＱ为 同构 ． 为 了应用 引理 ２ 在 Ｃ ， ｝上定义算 子 Ｌ： Ｌ Ｄ（ ）ｃ ＋Ｃ ， Ｃ ，为
・
３ ８・
数 学 研 究
２ ０ 在 ０７
一 ｚ ￡ ， Ｒ） 以 Ｉ 为模 ， （） Ｖ ｔ∈ ， ｚＩ 易得 Ｃ １ 均 为 Ｂ ｎ ｃ ｛Ｃ ， ａ ａｈ空 间．
引理 １。 设 ｄ ０为常数 ，（）∈ Ｃ（ Ｒ） ｒｔ 丁） ｒ ￡ ， Ｖ ｔ ［ ， ［ ｊ ≥ ｒｔ Ｒ， 且 （ ＋ 兰 （） 对 ∈ Ｏ 丁］有 ｒ￡ （） ∈ ［ ａ ｄ ， ∈ Ｃ （ Ｒ） ｘ（ ＋ 丁） ｚ（）则 有 一 ，］ ． ２ ７ Ｒ， 且 ｔ 三 ￡，
朱 敏 鲁世平
（ 徽 师范 大学 数学 计 算 机 科 学 学 院 ，安 徽 芜 湖 ２ １０ ） 安 ４ ００
摘
要
本 文 利 用 重 合 度 理 论研 究 了 一类 二 阶多 偏 差 变 元 的微 分 方 程
ｚ ） （ｚ ） ０ （ ） ￡ ＋ ∑ｇ （—ｒ ） ＝户 ） ＋ｆ ， ， 一 ￡ ， ） Ｑ ｔ０ ｚ ） （） （ｔ ） ０ ｘ ０）
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总４ 卷 Ｏ
第１ 期
数 学 研 究
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＭ ａｈ ｍ ａｉａ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｌ ｔ ｄ ｏ ｃ
Ｖｏ． Ｎｏ １ ４０ ．１ Ｍ ａｒ ２ ７ ． ００
２０年３ ０７ ｌ ｆ
一
类 多偏 差 变 元 的二 阶微分 方程周 期解
收稿 日期 ： ０ ５ ７ １ ２ ０ 一Ｏ — ５
具偏差变元泛函微分方程周期解的存在定理
（） ｔ ）＋ｇ ｘ ｔ （（ —
ｒ ｔ） （） ）＝Ｐ ｔ 的周期解问题 ， 了周期解存在性 的若干新结果 ， （） 得到 推广了已有的结果 ．
关 键 词： 周期解；偏差变元；重合度
文献标识码 ： Ａ 。 中图分类号 ： １５ ６ Ｏ ７ ．
Ｔｈ ｘ ｓｅ ｅ ｔ ｏ ｅ ｆｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｈｅ ｆ ｅ ｅ ｉｔｎｃ ｈｅ ｒ ｍ ｏ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔｏ ｆ ｒ ｔ ｕｎｃｉｎａ ｔｏ ｌ ｉ ｄ ｆｅ ｅ ｉ ｌｅ ｕａ ｉｎ ｔ ｖａ ｉ ｒ ｕ ｅ ｔ ｒ ｎｔａ ｑ ｔｏ ｗｉｈ ａ ｄｅ ｉ ｔｎｇ ａ ｇ ｍ ｎ ＣＨＥＮ Ｘｉ — ｉ ｎ ｙ
文章编号 ：０４ ５ ７ （ ００ ０ １０ － ５ ０ ２ １ ）２—０７ ０ ０５— ４
具 偏差 变 元 泛 函微 分 方程 周 期 解 的存 在 定 理
陈新 一
（ 西北民族 大学 中国民族 信息技术研 究院， 甘肃 兰州 ７０ ３ ） ３ ００
摘要： 利用 Ｍａ ｈｎ ｗ ｉ 重合度拓展定理研究了一类具偏差变元的泛函微分方程 （）＋ｈ ｘ ｔ ｔ （ （）
—
８ ）文 ［ ， ］ ］ ． ８ ９ 讨论 了一类偏差变元 的 Ｒ ｙ ｉ ａｌｇ ｅｈ （） ＋ （ （ 一 ｔ） Ｐ ￡ 的 ｔ） ｇ ｔ （） ）＝ （）
１ 引言和 预 备 知 识
利用重合度理论研究 Ｒ ｙ ｉ 方程 的周期解 ａｌｇ ｅｈ 问题 ， 已有许多结果． Ｍ ｗ ｉ 如 ａｈ ｎ在文 ［ ］ １ 中研究 了 类 Ｒｙ ｉ ａｌｇ 程 （）＋厂 戈（） ｅ ｈ方 ￡ （ ｔ）＋＾ ｔ戈 ￡ ） （，（） ＝ｐ ｔ （）的周期解存在性问题． 随后， 刘峰在文 ［ ］ ２ 中研 究 了 Ｒ ｙ ｉ 方 程 ”￡ ＋ ａｌ ｇ ｅｈ （） （） ＋ ￡）
一类具偏差变元的p-Laplacian方程的周期解
龙源期刊网 一类具偏差变元的p-Laplacian方程的周期解作者：唐美兰刘心歌来源：《湖南大学学报·自然科学版》2012年第08期摘要：应用Manásevich Mawhin 连续性定理，研究了具偏差变元的含有2个p Laplacian算子的微分方程周期解的存在性，获得了周期解存在的新的充分性条件，并通过实例说明本文结论的有效性.关键词：周期系统；p Laplacian算子；周期解;存在性;Manásevich Mawhin连续定理中图分类号：O175.6 文献标识码：A4 结论本文应用Manásevich Mawhin的连续性定理和一些分析技巧，在没有f(0)=0和∫2π0e(t)d t=0的条件下，得到了p Laplacian方程(3) 存在2π周期解的新的充分性条件.参考文献［1］ LIU Bing wen. Periodic solutions for Liénard type p Laplacian equation with a deviating argument ［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 214（1）: 13-18.［2］ LU Shi ping. New results on the existence of periodic solutions to a p Laplacian differential equation with a deviating argument［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007,336 (2):1107-1123.［3］ M NASEYICH R, MAWHIN J L. Periodic solutions for nonlinear systems withp Laplacian like operators［J］.Journal of Differential Equations, 1998,145（2）:367-393.。
一类二阶具偏差变元中立型泛函微分方程周期解的存在性
一类二阶具偏差变元中立型泛函微分方程周期解的存在性郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【摘要】本文研究了一类二阶具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性问题.利用J.Mawhin重合度拓展定理,得到了关于中立型泛函微分方程周期解存在的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)005【总页数】9页(P839-847)【关键词】具偏差变元;中立型;周期解;重合度理论【作者】郭立祥;鲁世平;杜波;梁峰【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000;江苏淮阴师范学院数学系,江苏,淮阴,223300;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O175.6具偏差变元中立型泛函微分方程周期解问题一直是人们广泛关注的研究课题,已有很多研究成果,如文献[1,3–5,7].文献[1]研究了方程在|b|/=1条件下得到了算子(Dx)(t)=x(t)−bx(t−s)有逆算子D−1以及当x∈UCb(R,R)时,有文献[5]进一步研究了具偏差变元的微分方程得到了算子其中r,c∈R是常数,且|c|1,∀t∈ [0,T],有连续有界的逆算子eA−1以及(1)(2)(3)本文在此基础上将研究算子A:CT−→ CT,(Ax)(t)=x(t)−c(t)x(t−τ),其中τ∈R是非负常数,∀t∈R,得出了A有连续有界的逆算子A−1及其相关的性质,并且利用J.Mawhin重合度拓展定理进一步研究如下具偏差变元的中立型泛函微分方程周期解的存在性,其中τ,T∈R为非负常数,u(t)≥0,g(x)为R上的连续函数,c(t)∈C2(R,R),且c(t),α(t),u(t)和p(t)均为R上以T为周期的连续函数.本文引入以下记号：以及易知CT,C1T均为Banach空间.定义线性算子引理2.1如果c0＜1或σ＞1,则A有连续有界的逆算子A−1,且满足(1)[A−1f](t)=(2)R|(A−1f)(t)|dt≤(3)(Ax)′′=x′′(t)−c′′(t)x(t−τ)−2c′(t)x′(t−τ)−c(t)x′′(t−τ),证(1)考虑算子A:CT→CT,[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),[Ax](t)=f(t),∀t∈[0,T].(i)当c0＜1时.从算子B的定义可知以及因此所以A有连续有界的逆算子A−1,并且以及(ii)当σ＞1时,定义线性算子从(i)可知,E有连续逆算子E−1:CT→CT,并且另一方面,从[Ax](t)=x(t)−c(t)x(t−τ),有所以[Ax](t)=−c(t)(Ex)(t−τ),令[Ax](t)=f1(t),从而得到容易看到(A−1f1)(t)=x(t)=那么结合σ＞1可知算子A有连续的逆算子因此结论(1)是正确的.另一方面从(1)的证明过程易知(2)和(3)显然成立.定义线性算子以及非线性算子N:→CT,易知KerL其中是常数,并且ImL=因此ImL是CT中的闭集并且dimKerL= codimImL=1.所以算子L是指标为零的Fredholm算子.定义投影算子P:CT→ KerL,[Px](t)=(Ax)(0)=(Ax)(T),和因此, ImP=KerL和KerQ=ImL.令表示LP的逆算子,那么由于ImQ与KerL同构,则存在同构映射J:ImQ→KerL.引理2.2 如果Ω⊂CT是一个有界开集,那么,非线性算子N在上是L-紧的.证 (1)从Q和N的定义可知,QN()是CT中的有界开集.(2)现在我们来证明L(I−Q)N()是C中的一个相对紧集.任取序列{yn}⊂L(I−Q)N(),则存在一个序列{xn}⊂使得∀t∈[0,T],n=0,1,2,···.那么存在常数ρ1,ρ2＞0,使得|N(y)|0＜ρ1,|QN(y)|0＜ρ2,∀y∈因此结合引理2.1可知|yn|0≤M∗,其中那么是有界的.现在,我们来证明{yn}在Ω中是等度连续的.不失一般性,假设c0＜1.令那么,考虑其中也有其中令f1(t)=因为c(t)∈C2(R,R),所以存在使得从(2.6),(2.7),(2.8)和(2.9)式可知,让0＜δ(ε)得到由Arzela-Ascoli’s定理可知,在上是相对紧的.从(1)和(2)可知非线性算子N在是L-紧的.引理 2.3[3]设g∈CT,u∈CT,函数t−u(t)存在唯一反函数γ(t),∀t∈R,则g(γ(·))∈CT,其中引理2.4[8]设X,Y均为Banach空间,L:D(L)⊂X→Y是指标为零的Fredholm算子,Ω⊂X是有界开集,N:Ω→Y是Ω上的L-紧算子,且下列条件成立(1)LxλN x,∀x∈∂Ω∩D(L),λ∈(0,1),(2)NxImL,∀x∈∂Ω∩KerL,(3)deg{QN,Ω∩KerL,0}/0.则方程Lx=Nx在∩D(L)上至少存在一个周期解.定理3.1 假设Γ(t)＞0,若存在常数r＞0,T＞0,D＞0,δ＞0,使得下列条件满足(A1)xg(x)＞0,|x|＞D,(A2)则当c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1时,其中c0,c1,c2如(2.1),(2.2)式所定义,方程(1.1)至少存在一个T-周期解.证设x(t)为方程(3.1)的任意T-周期解,考虑方程其中L,N别由(2.3)和(2.4)式所定义,则令若则方程(1.1)的周期解存在性等价于方程的周期解存在性,其中易知将(3.2)式两端在[0,T]上同时积分得由于u(0)=u(T),结合引理2.3易见为连续的T-周期函数,于是由积分中值定理知一定存在ξ∈[0,T]使得由(A1)可知由于ξ∈R,故一定存在整数m及t0∈[0,T],使得ξ=mT+t0,从(3.5)式可知|x(t0)|= |x(ξ)|≤D,因此另一方面,从定理的假设c2T2+2δrT2+2c1T+c0＜1可知,存在ε＞0,使得对于这样的ε,结合(A2)可知存在ρ＞0,使得当x＞ρ时,令从(3.4)式可得由于所以其中从(3.2),(3.4),(3.9),(3.10)式以及可知又由x′(0)=x′(T)可知,存在η使得x′′(η)=0,所以结合(3.7)和 (3.11)式,得到所以其中结合(3.8)式可知l1＜1,因此所以令Ω={x|x∈CT,|x|0＜M0+1},(3.12),(3.13)式及(A2)可知引理2.4中的(1),(2)和(3)均满足,又由引理2.2可知N在上是L-紧的,所以由引理2.4可知方程(1.1)至少有一个T-周期解.例考虑下列方程相应于方程(1.1),有由定理3.1知(3.14)至少存在2π-周期解.【相关文献】[1]Zhang Meirong.Periodic solutions of linear and quasilinear neutral functional diferential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,189(2):378–392.[2]Li Yongkun.Periodic solutions of the Li´enard equation with deviationarguments[J].J.Math.Research and Exposition,1998,18(4):565–570.[3]Lu Shiping,Ge Weigao.Existence of positive periodic solutions for neutral functional diferential equation with multiple deviating arguments[J].Appl.Math.ChineseUniv.,2002,17B(4):377–381.[4]Lu shiping,Ren Jingli,Ge Weigao.Problems of periodic solutions for a kind of second order neutral functional diferential equation[J].Applicable Analysis,2003,82(5):392–410. [5]Lu Shiping,Ge Weigao,Zheng Zuxiu.Periodic solutions to neutral functional diferentialequation with multiple deviating arguments[J]put.,2004,152:17–27. [6]Xiao Bing,Liu Bingwen,Huang Lihong.Periodic solutions of a Li´enard-type equation with delays[J]. Ann.of Dif.Eqs.,2005,21(3):460–464.[7]Liu Xiping,Jia Mei,Yang Liu,Ge Wegao.Periodic solutions for neutral Li´enard equation with a statement-dependent deviation variable[J].Ann.Dif.Eqs.,2005,21(3):353–356.[8]Gaines R E,Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear diferential equation[M].Berlin: Springer-Verlag,1977.。
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引理 １ 设 ｘ， Ｅ 。 ｙ均 为 Ｂ ｎｃ 空 间 ， Ｄ（ ｃ — ｙ， ａ ａｈ Ｌ： Ｌ） ｘ 是指标 为零 的 Ｆ ｅｈ ｌ ｒｄ ｏｍ算 子 ， ｎ ｘ是 一个有 界开 子集 ， ： 一 ｙ是 Ｌ 紧 的 ， Ⅳ 一 又假 设 下列 条件 成立 ：
（ ）Ｌｘ≠ 尢 １ Ⅳｚ，Ｖ ｚ ∈ ｎ （ ，Ｖ ∈ （ Ｄ Ｌ） Ｏ，１ ； ）
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Ｙ Ｊ
一
．
｝卷 ｆ Ｊ
第 １ 期
数 学 研 究
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ａｈ ｍａｉａ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｔ ｅ ｔ ｌ ｔ ｄ Ｍ ｃ
Ｖ ｏ ． Ｎｏ．１ １ ４０
Ｍ ａ ．２ ７ ｔ ００
２ ０ 年 ３月 ０７
收稿 日期 ：０ ５ Ｏ — １ ２０一 ５ ８
基 金 项 目 ： 徽 省 教 育 厅 自 然 科 学 基 金 重 点 项 目 （ｏ ５ｊ３ Ｚ ；安 徽 省 自 然 科 学 基 金 项 目 安 ２ ｏ ｋＯ １ Ｄ）
（５ ４ ０ ０ ） ０ ０ ６ １ ３
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ｆ
、
— ｚ ， ）一 ｛ ∈ Ｘ， ” Ｃ（ Ｒ） ， Ｄ（ ｚｌ ｚ ｚ ∈ Ｒ， ｝
ｒ１ 了
Ｊ ０
（） ２
（） ３
Hale Waihona Puke Ⅳ： — Ｘ Ｙ，Ｎｘ 一 一 ｆ（ ￡）一 ｈ ｚ（）ｚ （）一 ｇ ｚ ￡ ｒ￡） ｘ （） （ ￡） ￡ （ （ 一 （） ）＋ Ｐ ￡． （）
、
易知：ｅ Ｋｒ Ｌ—Ｒ，ｍ ＩＬ一 ｛ ｚｚ∈Ｙ Ｉ （ ｄ 一０ 因此 Ｌ是指标为零的Ｆｅｈｌ ｌ ， ｘｓ ｓ ｝ ） ｒ ｏ ｄ ｍ算子． 令
投影算 子 Ｐ， Ｑ为 ：
１ ｒ’ ７
Ｐ： — ｅ ， ｚ— ｚ ｏ ｘ ｋｒ Ｐ （）一 ｚ 丁） （ ，Ｑ： ｙ， ｘ一 Ｉｚ（）ｔ Ｙ— Ｑ ｔｄ，
书ｌ 期
杜 波等 ： 类 具 偏 差 变 元 的 二 阶 微 分 方 程 周 期 解 一
则Ｉ ｍＰ—ｋｒ ， ｅ —Ｉ ｅ ｋ ｒ Ｌ Ｑ ｍＬ．令 Ｌ — Ｌ ｌ（ ｒｌ Ｐ ￡ Ｐ 易证 Ｌ 是 可逆 的 ， Ｄ） Ｐ 且其 逆为
・ ｒ ７‘ Ｃ ｔ
Ｌ一： Ｌ—Ｄ Ｌ ｎｋｒ ， Ｐ 一一亭Ｉ 丁一ｓ （ ｄ＋ Ｉ￡ ）（ ｄ （） Ｐ Ｉ ｍ （） ｅＰ Ｌ （ ） ｓ ｓ （一ｓ ｓ ｓ ４ ｙ） ｙ ）．
发现 当 ＾ ｚ （ ）一 ０ ， 时 是鲁 世平 ， 葛渭高在 文［ ］ １ 中研 究过 的具偏差 变元 的 Ｒａｌ ｇ 程 的周】 ｙｅ ｈ方 ｉ ９ Ｊ 解．在文 ［ ］中作者 利用 Ｍａ ｗ ｎ重合 度拓展定 理得 到 了 周期解存 在性 的若干 新结 果 ， １ ｈｉ 推广 了 文Ｅ ３的结果．当 （ （） ２ ￡）一 。时 ， 是具偏 差变 元 的 Ｌ ｆ ａｄ方程 ．对 Ｉ ６ａｄ方程 ， 文 ［ — ｉ ｒ ｉ ｎ ｎｒ ｉ 在 ３
（ ）Ｎｘ Ｉ ２ ｍＬ， ∈ Ｖｚ
ｎ ＫｅＬ； ｒ
（ ）ｄ ｇ Ｑ ， ｒ ０ ≠ ０ ３ ｅ ｛ Ⅳ ｎ ｎ ＫｅＬ， ） ．
则方程
— Ｎｘ在 ｎ ｎ Ｄ（ ）中至少有 一个 解 ． Ｌ
在 ｘ， 中定 义范 数 ｌ ｌ ｙ Ｉ ｌ ｍａ ｛ｚｌ，Ｊ Ｊ） Ｉ ｌ ｘ ｘ＝ ｘ Ｊ 。 。 ，ｌ — ｌ 。 ｘｌ ｚｌ ． 由（ ） （ ）易知 ， ２ ，３ 算子 方 程 — ｚ与 下 列方 程 等价
（） １ ｚ （ ）＋ ‘ （ ） ”￡ （ ￡ ）＋ ， ｚ（ ） （ ）＋ ２ ｚ（ ｌ ｈ（ ￡ ） ￡ ｇ（ ￡一 ｒ ￡ ） （ ） ）一 ２ ｔ ， ∈ （ ， ） ｐ（ ） Ｏ １．
ｌ ＝ ｍａ ｚ（ ｌ Ｃ 了一 ｛ ｚ ｚｌ 。 ｘｌ ￡ ， ） １ ｚ： ∈ Ｃ（ Ｒ） ｘ ｔ 丁）一 ｚ（） Ｒ， ， （ ＋ ￡｝ 显 然 ， ． Ｃ ｒ均为 Ｂ ｎ ｃ Ｃ， ， ａ ａｈ空 间． 令 ｘ ＝ Ｃ Ｙ — Ｃ ． ｘ 上定义算 子． ， 在
Ｌ： ）ｃ — ｙ， Ｄ（ Ｘ
７ 中许 多学者对其 周期 解 的存在 性进行 了广 泛地 研究 ．本文 采用一 些技巧 和方 法估 计 了方程 ］ （ ）的先验界 ， 而证 明 了方程 （） 在周期解 ． １ 从 １存 我们 定义 Ｃ Ｔ一 ｛ ｚ∈ Ｃ（ Ｒ） ｘ ｔ＋ 丁）＝ ｚ（ ｝ ｚ： Ｒ， ， （ ￡ ）
ｆ ［ ・’ ∈ ０７ ］
１ 引言 及 引理
本文利 用 Ｍａ ｗ ｎ重合 度理论研 究如下形 式 的二 阶微 分方 程 的周期 解 ： ｈｉ
ｚ （）＋ ｆ（ ￡）＋ ｈ ｚ ￡） ￡ ￡ ｘ （） （ （） ｚ （）＋ ｇ ｚ ￡ ｒ￡） （ （ 一 （） ）一 （） ￡．
ｒ ’ Ｔ
（） １
其 中ｆ ｇ ｈ ， ，均为Ｒ上的连续函数，（ ，（ 为Ｒ上 丁 周期连续函数 ， Ｉ （ ｄ 一０ 很容易 ｒ￡ 户 ￡ ） ） 一 且 ｓ ｓ ． Ｐ ）
一
类 具偏 差 变元 的二 阶微 分 方程周 期解
杜 波 鲁 世 平
（ 徽 师 范大 学 数 学 计算 机 科 学 学 院 ， 徽 芜 湖 ２ １０ ） 安 安 ４０ ０
摘 要 利 用 Ｍ ａ ｗ ｎ重 合 度 拓 展 定 理 研 究 了 一 类 具 偏 差 变 元 的 二 阶 微 分 方 程 （）＋ ｈｉ ｆ
ｆ（ ｆ）＋ ＾ ｚ ｆ ） ｆ ＋ ｇ ｘ ｔ ｒｆ） ｘ （） （ （）ｚ （） （ （ — （） ）＝ 户 ｆ 周 期 解 问题 ， 到 了周 期 解 存 在 的一 组 充 分 条 （） 得
件．
关 键词 ： 期 解 ；重 合 度 ； 差 变元 周 偏 中 图分 类 号 ０ １５ １ ７．４ 文献 标 识 码 Ａ