2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )
A ．2
B ．1
C ．4
D ．8
【解析】 抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2
，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P
到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p
2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线准线的距
离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△
FPM 为等边三角形时，其面积为( )
A ．23
B ．4
C ．6
D ．4
3
【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫m24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m24＝
错误!，得m ＝2错误!，∴等边三角形的边长为4，其面积为4错误!，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨
⎪⎧
y2
1＝2px1， ①y22＝2px2， ②
①－②得，
(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．
又∵y 1＋y 2＝4，∴y1－y2x1－x2＝2p 4＝p
2＝k ＝1，∴p ＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B
4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
303
B ．6
C ．12
D ．73
【解析】 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝
33⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫x －34，
即y ＝3
3x －3
4，代入y 2＝3x ，
得1
3x 2
－72x ＋3
16
＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212
，
所以|AB |＝x 1＋x 2＋3
2＝212＋3
2＝12，故选C.
【答案】 C
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
【解析】 由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题
6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋1
4
，到顶点的距离为
错误!，由题意有x ＋错误!＝错误!，∴x ＝错误!，∴y ＝±错误!，∴此点坐标为错误!.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫18
，±24 7．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.
【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.
【导学号：15460049】
【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .
过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y2＝4x ，y ＝kx ＋k ，
得ky 2－4y ＋4k ＝0.
当k ＝0时，显然不符合题意；
当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，
化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝
17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，－p 2.
∵|AF |＝3，∴y 0＋p
2＝3，
∵|AM |＝
17，
∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y0＋p 22＝17，
∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0， 得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .
10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 【解】
(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3.
又F ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
32，0，所以直线l 的方程为y ＝
3⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫x －32.
联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －32，消去y 得x 2
－5x ＋9
4
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p
2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，
所以|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.
又准线方程是x ＝－3
2，所以M 到准线的距离为3＋3
2＝9
2
. [能力提升]
1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF|
|BF|
＝( )
A.1
5
B ．1
4
C ．1
3
D ．1
2
【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝
33x ＋p
2，与抛物线方程联立得x 2
－23
3px －p 2
＝0，解方程得x A ＝－3
3p ，x B ＝
3p ，所以|AF|
|BF|
＝
|xA||xB|
＝13，故选C. 【答案】 C
2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB
→＝0，则k ＝( )
A.1
2 B ．2
2
C ．
2
D ．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋
8
k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8
k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化
简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x23
－
y23
＝1相交于A ，B 两点，若△
ABF 为等边三角形，则p ＝________.
【导学号：15460050】
【解析】
由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p
2
，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－p 2，x2－y2＝3，
解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫－3＋14p2，－p 2，B ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫
3＋14p2，－p 2，所以AB ＝2
3＋1
4
p2.
由△ABF 为等边三角形，得32
AB ＝p ，解得p ＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当
△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)， 由方程组错误!消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1
k ，y 1y 2＝－1.
设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝1
2|ON ||y 1|＋1
2|ON ||y 2|＝1
2
|ON ||y 1－y 2|，
∴S △OAB ＝1
2
错误!＝错误!错误!＝错误!，
解得k ＝－16或1
6.。