福建省南安市2018届高三数学上学期暑假期初考试(8月)试题 理

福建省南安市2018届高三数学上学期暑假期初考试（8月）试题 理
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合{}
|3, I x x x Z =<∈， {}1,2A =， {}2,1,2B =--，则()I A C B ⋃= ( ) A. {}1 B. {}1,2 C. {}2 D. {}0,1,2 2．已知命题:p “,10x
x e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10x
x e x ∃∈--≥R B ．,10
x
x e x ∃∈-->R
C ．,10
x x e x ∀∈-->R
D ． ,10x
x e x ∀∈--≥R
3．已知角α的终边经过点()4,3P -，则2sin cos αα+的值是（ ） A. 1 或1- B. 25或25- C. 1或25- D. 2
5
4．“12
a =
”是函数“22
cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期为π”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．设0.1359
2,ln
,log 210
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>
6．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数3y x =的图象（ ）
A ．向右平移
4π个单位 B ．向左平移4
π
个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位
7．已知向量,a b 满足()()
2540a b a b +⋅-=，且1a b ==，则a 与b 的夹角θ为（ ） A.
34π B. 3π C.
4π
D. 23π 8．函数cos x
y e =()x ππ-≤≤的大致图象为（ ）
9．已知函数()cos 6f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
(0ω>)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A. 关于直线34x π=
对称 B. 关于直线3
x π
=对称 C. 关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 关于点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
10．如图，在ABC V 中，14AN AC =u u u r u u u r ，P 是BN 上的一点，若15
AP mAB BC =+u u r u u r u u u r
，则实数m 的
值为( )
A.
25 B. 13 C. 14 D. 1
2
11．已知()1
sin cos (,)4
f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标
都不属于区间()2,3ππ，则ω的取值范围是（ ） A. ][3111119,
,812812⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ B. ][1553,,41284⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ C. ][37711,,812812⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦ D. ][13917,,44
812⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ 12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式
0)()1
(2>-x f x
f x 的解集为（ ）
A ． (0,1)
B ．(1,)
+∞
C ． (1,2)
D ．(2,)+∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置）
13已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a
⊥=-=且则=x ．
14已知2017
3()8b
f x x
ax x
=+-
-，10)2(=-f ，则)2(f =________．
15．已知在ABC ∆中，4AB = ,6AC =，BC =其外接圆的圆心为O ， 则
AO BC ⋅=________．
16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)(sin sin )()sin b A B c b C +-=- 且3a =，则ABC ∆面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）
的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为(,3)3M π2-．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式并确定函数()f x 对称中心； （Ⅱ）当[,]122
x ππ
∈时，求()f x 的最值.
18、（本小题满分12分）ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2.b C c a += （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若1cos 7A =，求c
a
的值.
19、（本小题满分12分）已知函数2
()2ln ().f x x x a x a R =++∈ （Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间（0,1）上为单调函数，求实数a 的取值范围.
20、（本小题满分12分）在ABC V 中，3
B π
=，点D 在边A B 上，1BD =，且DA DC =．
（Ⅰ）若△BCD ，求CD ；
（Ⅱ）若AC =DCA ∠．
21、（本小题满分12分）已知函数31
(),()4
x f x x ax g x e e =-+-
=-，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与曲线()y g x =在(0,(0))g 处的切线互相垂直，求实数a 的值；
（Ⅱ）设函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ≥
⎧=⎨
<
⎩，试讨论函数()h x 零点的个数．
选考题，任选一题作答，两题只选一题做.
22．（本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为,23,2
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos .ρθθ=- （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A B 、，求PA PB 的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设()=1f x ax -.
（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[]6,2-，求实数a 的值；
（Ⅱ）当=2a 时，若存在x R ∈，使得不等式()()21173f x f x m +--≤-成立， 求实数m 的取值范围.
南安一中2018届高三数学（理）暑期试卷2017.8.28
参考答案
（13）2； （14）-26 （15）10 （16）4
17、解：（Ⅰ）由已知得
22T π=即2T π
πω
==
所以2ω=…………………1分 又因为图象上一个最低点为(,3)3
M π
2- 所以3A =且4sin()13
π
ϕ+=-…………………2分 所以
43232k ππϕπ+=+
即26
k π
ϕπ=+(k Z ∈) 又因为02
π
ϕ<<
所以6
π
ϕ=
…………………3分
所以()3sin(2)6
f x x π
=+…………………4分
由26
x k π
π+
=得212
k x ππ
=
-(k Z ∈) 所以函数()f x 对称中心为(,0)212
k ππ
-(k Z ∈)…………………-6分 （Ⅱ）由[,]122x ππ
∈得72[,]636x πππ
+∈ 所以1
sin(2)[,1]62
x π
+
∈-…………………9分 所以()f x 的最大值为3，此时6
x π=
；
()f x 的最小值为3
2
-，此时…………………12分
18解: (Ⅰ) a c C b 2cos 2=+,
由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,…………………2分
π=++C B A
C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴…………………4分
)sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+
C B C sin cos 2sin =
因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以2
1cos =
B , 因为π<<B 0，所以3
π
=B .…………………6分 (Ⅱ)三角形ABC 中，3π
=
B ，1cos 7
A =
，
所以sin ,7
A =
…………………8分
sin sin()sin cos cos sin 14
C A B A B A B =+=+=
………10分 sin 5sin 8
c ACB a BAC ∠==∠ . …………………12分
19、解：（Ⅰ）已知函数2
()24ln f x x x x =+-,所以定义域为：(0,)+∞；
所以2'
4224()22x x f x x x x
+-=+-=
令'()0f x >，得()f x 的增区间为(1,)+∞；令'
()0f x <，得()f x 的减区间为（0,1）， 所以()f x 的最小值为min ()(1)3f x f ==。

…………………6分
（Ⅱ）()f x 求导得：x
a
x x x a x x f ++=++=2222)(2/
，定义域为：(0,)+∞，
则对2
22x x a ++讨论。

因()f x 在（0,1）上为单调函数，
即求()2
22u x x x a =++在（0,1）上恒大于0或恒小于0；
()u x 配方得()2211
222()22
u x x x a x a =++=+-+，
()u x 对称轴为1
2
x =-，开口向上，在区间（0,1）上为增函数，
若函数()f x 在（0,1）上为单调增函数，即()0u x ≥，只需()00u ≥，得[)0,x ∈+∞； 若函数()f x 在（0,1）上为单调减函数，即()10u ≤，得(],4x ∈-∞-， 综上得：(][),40,x ∈-∞-+∞。

…………………12分
20、解法一：
（Ⅰ）因为BCD S △
即1
sin 2
BC BD B ⋅⋅=2分 又因为3
B π
=
,1BD =，所以4BC = ．…………………3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2
2
2
2cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅,…………………5分 即2
1
161241132
CD =+-⨯⨯⨯
=
，解得CD =．…………………6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，
又AC =sin 2sin AC CD
θθ
=
，…………………7分
所以2cos CD θ
=
．…………………8分
在△BDC 中, 22,23
BDC BCD θθπ
∠=∠=
-， 由正弦定理得，sin sin CD BD
B BCD =
∠
，即12cos 2sin sin(2)33
θθ=ππ-，…………………10分 化简得2cos sin(2)3
θθπ
=-， 于是2sin()sin(
2)23θθππ
-=-．…………………11分 因为02θπ<<，所以220,222333
θθπππππ
<-<-<-<，
所以2223θθππ-=
-或2+2=23θθππ
--π, 解得==618θθππ或，故=618
DCA DCA ππ
∠∠=或．…………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =，
所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，
所以DE AC ⊥．…………………7分
设DCA A θ∠=∠=，因为AC =EA EC ==
在Rt △CDE 中，cos CE CD DCA =
=∠8分
21.解析：(Ⅰ)由已知，2()2,()x
f x x a
g x e ''=-+=-…………………1分
所以(0),(0)1f a g ''==，…………………2分 即1a =-…………………3分
（Ⅱ）易知函数
()x
g x e e =-在R 上单调递增， 仅在1x =处有一个零点，且1x <时，()0g x <…………………4分 又2
()3f x x a '=-+
（1）当0a ≤时,()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减，且过点1
(0,)4-，3
(1)04
f a -=->，
即()f x 在0x ≤时必有一个零点，此时()y h x =有两个零点；………6分
（2）当0a >时，令2()3=0f x x a '=-+，两根为120,0x x =<=
>，
则
()f x ()f x 的一个极大值点，
而311
(((044
f a =-+-=<现在讨论极大值的情况：
311
)))334a a f a =-+-= …………………8分
当0f <，即34
a <时，函数()y f x =在(0,)+∞恒小于零，此时()y h x =有两个零点；
当0f =，即34a =时，函数()y f x =在(0,)+∞
有一个解01
2
x ==， 此时()y h x =有三个零点；
当0f >，即34
a >时，函数()y f x =在(0,)+∞有两个解，
10分 若1(1)104f a =-+-
<，即54a <
时，1f <，此时()y h x =有四个零点；
若1(1)104f a =-+-
=，即54a =
时，1f =，此时()y h x =有三个零点；
若1(1)104f a =-+-
>，即54
a >
时，1f >，此时()y h x =有两个零点.
综上所述：（1）34a <
或5
4a >时，()y h x =有两个零点； （2）34a =或5
4a =时，()y h x =有三个零点；
（3）35
44
a <<时，()y h x =有四个零点.…………………12分
22. 解析：(Ⅰ)直线l 的普通方程为30x y -+=，…………………2分
24sin 2cos ρρθρθ=-，…………………3分
曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(2)5x y ++-=.………………5分
(Ⅱ)
将直线的参数方程2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C ：22
(1)(2)5x y ++-=
，得到：
230t +-=，…………7分 123t t =-，…………………9分
123PA PB t t ==.………………10分
23. 解：(Ⅰ)显然0a ≠，…………………1分
当0a >时，解集为13[,]a a -， 13
6,2a a -
=-=，无解；……………………3分
当0a <时，解集为31[,]a a -，令132,6a a -==-，1
2a =-，
综上所述，1
2
a =-.……………………5分
(Ⅱ) 当2a =时，令()(21)(1)4123h x f x f x x x =+--=+--
………………7分
由此可知，()h x 在1(,)4-∞-单调减，在13(,)42-单调增，在3(,)2
+∞单调增， 则当14x =-
时，()h x 取到最小值 7
2
-，………………8分 由题意知，7732m -≤-，则实数m 的取值范围是7,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦……………10分。