人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程专题之解决实际问题导学案(无答案)

一元二次方程解决实际问题
一、知识梳理
【知识点回顾】
一元二次方程的解法：
（1）配方法：方程两边同加上一次项系数一半的平方。

（2）公式法：x=－b ±b 2
－4ac 2a
（b 2－4ac ≥0）。

（3）分解因式法：方程一边为0，另一边分解为两个一次式的积。

列方程解应用题的一般步骤
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。

扩展：
列方程解应用题的关键:找出相等关系
有关利润的知识基本知识：商品利润=售价-进价；
平均增长（降低）率公式：
【探究1】
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ ； .进价
利润商品利润率
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.
（4）根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
解方程得
x1=10， x2=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
(5)为什么要舍去一解？
（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
【探究2】
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为
元。

（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【探究3】
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
分析：封面的长宽之比是27∶21= ，中央的长方形的长宽之比也应
是，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 .
想一想，怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试
【探究4】
如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【探究5】
某商品每件进价30元，售价40元，可得利润元。

（1）若涨价2元，则售价元，利润元。

（2）若涨价3元，则售价元，利润元。

（3）若涨价x元，则售价元，利润元。

（4）若降价x元，则售价元，利润元。

某商品原来每天可销售80件，后来进行价格调整。

（1）市场调查发现，该商品每降价3元，商场平均每天可多销售2件。

①如果降价3元，则多卖 件，每天销售量为 件。

②如果降价9元，则多卖 件，每天销售量为 件。

③如果降价x 元，则多卖 件，每天销售量为 件。

（2）市场调查发现，该商品每涨价1元，商场平均每天可少销售2件。

①如果涨价2元，则少卖 件，每天销售量为 件。

②如果涨价3元，则少卖 件，每天销售量为 件。

③如果涨价x 元，则少卖 件，每天销售量为 件。

随堂检测
1、一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）
A ．（1+25%）（1+70%）a 元
B ．70%（1+25%）a 元
C ．（1+25%）（1-70%）a 元
D ．（1+25%+70%）a 元
2、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A ．2002(1%)a +=148
B ．2002(1%)a -=148
C ．200(12%)a -=148
D ．2002
(1%)a -=148
3、长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．
4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大1082米，这两块木板的长和宽分别是（ ）
A 、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米
B 、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米
C 、第一块木板长9米，宽4.5m ，第二块木板长13.5m ，宽7米
D 、以上都不对
5、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为m 千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．
6、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．
（点拨：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．）•
7、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。

市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。

商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱的定价应为多少元？
（1）根据题意完成下表：
每台利润（元） 每天销售量（台） 总利润（元）
降价前 降价50元 降价100元 降价x 元
（2）根据上表的分析，列方程解答： B
C A
Q P
（3）若只求“每台冰箱的定价应为多少元？”你认为该怎样解答？说说你的思路。

能力培养模块
1、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x ,根据题意列出的方程是________________________．
（注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.）
2、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2
，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）
A 、213014000x x +-=
B 、2653500x x +-=
C 、213014000x x --=
D 、2653500x x --=
3、某经销单位将进货单价为40元的商品按50元售出时，一个月能卖出500个。

已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个。

为了赚得8000元的利润，销量又不超过300个，售价应定为多少？这时应进货多少个？
4、某同学根据2018年某省内内五个城市商品房销售均价（即销售平均价）的数据，绘制了如下统计图：
（1）这五个城市2018年商品房销售均价的中位数、极差分别是多少？
（2）若2016年A城市的商品房销售均价为1600元/平方米，试估计A城市从2016年到
2018年商品房销售均价的年平均增长率约是多少（要求误差小于1%）？
5、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？
6、、商店把进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60﹪，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？
同步跟踪
1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人.
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
2、县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A ．2)1(x a +
B ．2%)1(x a +
C ．2%)1(x +
D ．2%)(x a a +
3、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．
4、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
5、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．
（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 2吗？
（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？
6、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，•上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
7、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？。