江苏省睢宁高级中学数列多选题试题含答案

江苏省睢宁高级中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）
A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1112,2
1,1
n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()
2
2
2
2
2213211
1110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11
,2
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
2．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
3．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】 ∵142332,
12,a a a a =⎧⎨
+=⎩∴
23142332,
12,
a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨
=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列，
∴234,
8
a a =⎧⎨=⎩∴
322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
4．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)
2
n n n a +=
B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为2020
2021
C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项的和为4040
2021
D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】
用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的和即可得． 【详解】
因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，
121321(1)
()()()1232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
， 11a =也适合此式，所以(1)
2
n n n a +=
， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前2020项和为2020111
114040
21223202020212021
S ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】
本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝
，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2
920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】AB 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
12n n
a
2
920n n a b n n =-+-，21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
6．已知数列{}n a 的前n 项和为2
n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）
A ．342n a n =-
B ．16S 为n S 的最小值
C ．1216272a a a +++=
D ．1230450a a a ++
+=
【答案】AC 【分析】
利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到
121617193300()a a a S a a a ++
+=+----16302S S =-可计算后否定D.
【详解】
1133132a S ==-=,
()()()2
213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,
对于1n =也成立，
所以342n a n =-，故A 正确；
当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,
n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；
因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；
121617193300()a a a S a a a +++=+---
-
2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）
54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.
和与项的关系()()1112n n
n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.
7．下列说法中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+
B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2
12n n n a a a ++=
C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列
D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】
利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-=
=-=
，
所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.
所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；
对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有2
12n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B
选项错误；
对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112
n n n d
S na -=+
，()2122122n n n d S na -=+
，()3133132
n n n d
S na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，
()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+
++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()22n n S S =-，
所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；
对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 方法点睛；
1.判断等差数列有如下方法：
（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：(
)122n n n a a a n N
*
++=+∈；
（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；
（4）前n 项和法：2
n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.
2.判断等比数列有如下方法： （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：2
12n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：n
n a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：n
n S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.
8．在n n n A B C （1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的
面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且2221
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值
【答案】ABD 【分析】
先结合已知条件得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系12
21875
=644
n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222
1
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=得，222222
1
1
2244
n n n n n n a c a b b
c
+++++=+
()22
21122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，222
25=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角
三角形，A 正确；
n n n A B C 的面积为1
2
n n n S b c =，而
()
422222
22222211
24224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b
c
+++++++=⨯=
， 故()
422222
2222211
1
241875161875==16
166
41n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==
+，
故22
21
22
18751875==6446434
n n n n n S S S
S S +-+--
，
又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 2
21
2
1875=06344
n n n S S
S +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即
212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故
BD 正确，C 错误. 故选：ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到()22
2
211
125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.
二、平面向量多选题
9．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误； 设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλ
μ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12AF AD A
B =+ B ．1()2EF AD AB =+
C ．2133
AG AD AB =- D ．3BG GD =
【答案】AB
【分析】 由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2
EF AD AB =+、2133AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122
AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1||||2
GF GE AG CG == ∴211121()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333
BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3
GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误
故选：AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系。