新八年级数学暑假辅导班讲义

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝，∠AOB＝，BO＝。
若是把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，因此能够使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，因此点B与点D重合。如此△ABO与△CDO就完全重合。
由此，咱们取得启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。而且，从上面的例子能够引发咱们猜想：若是两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要知足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(那个条件能够证得吗？)。
例1已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)。求证：△ADC≌△CBA。
问题：若是把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌△CEB，除AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝CE或AE＝CF)？如何证明呢？
△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED。（注意强调书写时对应极点字母写在对应的位置上）
启发：一个图形通过平移、翻折、旋转后，位置转变了， 但形状、大小都没有改变，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是咱们通过运动的方式寻求全等的一种策略。
三.观看与试探：
寻觅甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
2．上述猜想是不是正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上别离取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm。③连结BC，得△ABC。④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇。
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观看△A＇B＇C＇与△ABC是不是能够完全重合？
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应极点， 说出这两个三角形中相等的边和角。
问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形能够重合， 试探通过如何变换能够使两三角形重合？
分析：将△OCA翻折能够使△OCA与△OBD重合。因为C和B、A和D是对应极点，
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′。
展现课作前预备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？如何画？
（能够先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再做出一个三角形使它的边、角别离和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等。如此做出的三角形必然与已知的三角形纸片全等）。
这是利用了全等三角形的概念来做图。那么是不是必然需要六个条件呢？条件可否尽可能少呢？此刻咱们就来探讨那个问题。
（二）依照位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边。
2.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。
三角形全等的条件（一）
一.创设情境，引入新课
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角。
图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C。
例2已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)。求证：△ABD≌△ACE。
四、小 结：
1。依照边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件。
2。找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要擅长运用学过的概念、公理、定理。
五、作 业：
二.导入新课
1。只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）， 画出的两个三角形必然全等吗？
2。给出两个条件画三角形时，有几种可能的情形，每种情形下做出的三角形必然全等吗？别离按以下条件做一做。
①三角形一内角为30°，一条边为3cm。
②三角形两内角别离为30°和50°。
③三角形两条边别离为4cm、6cm。
2。在三角形中，已知三个元素的四种情形中，咱们研究了三种，此刻咱们接着探讨已知两角一边是不是能够判定两三角形全等呢？
二．导入新课
问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？
用上面的规律能够判定两个三角形全等。判定两个三角形全等的推理进程，叫做证明三角形全等。
因此“SSS”是证明三角形全等的一个依据。请看例题。
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：△ABD≌△ACD。
[分析]要证△ABD≌△ACD，能够看这两个三角形的三条边是不是对应相等。
3。获取概念
用自己的语言表达：全等形、全等三角形、对应极点、对应角、对应边，和有关的数学符号。
全等形的准肯概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形的概念:
二.导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°取得△DBC；将△ABC旋转180°得△AED。
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。
解：对应角为∠BAE和。对应边为AB与、AE与、BE与。
[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角。（由学生讨论完成）
分析：沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC 翻转180°后，正好和△ADE重合。
证明：因为D是BC的中点
因此BD=DC
在△ABD和△ACD中
因此△ABD≌△ACD（SSS）。
生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是能够改变的。三角形的那个性质叫做三角形的稳固性。因此日常生活中常利用三角形做支架。确实是利用三角形的稳固性。例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。
三.练习
如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB。要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除已知中的AC=FE，BC=DE之外，还应该有什么条件？如何才能取得那个条件？
四.作业
三角形全等的条件（二）
一、创设情境，温习提问
1．如何的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．边角边公理。
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三、例题与练习
1．填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(那个条件能够证得吗？)。
因此C和B重合，A和D重合。
∠C=；∠A=；∠AOC=。AC=；OA=；OC=。
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C， 指出其他的对应边和对应角。
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，因此需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来。依照位置元素来找：有相等元素，它们确实是对应元素， 然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素。经常使用方式有：
2．要养成良好的学习适应。良好的学习适应包括：主动预习的适应，认真听课的适应，认真做作业的适应，尽力探讨的适应等等。譬如预习，预习确实是在教师上课之前自己先看一下讲义，这是一种主动学习的好适应。关于多数同窗来讲，上课之前，主动阅读将要学习的数学内容，是完全能够做到的。坚持课前预习，益处很多：第一能够大体了解教师要讲的内容，做到心中有数，会使听课成效更好；预习中，有读不懂的地址，往往是教材中的难点，听课时能够专门注意，会使听课成效更好；预习时，除看懂内容之外，还可试做一些练习，如此成效更好。若是以往你没有预习的适应，不妨从初二开始试一试，变被悦耳课为主动进取，长期坚持，必有成效。
要学好初二数学，取得比较优良的成绩，同窗们应该从以下几个方面去尽力：
1．树立必胜的信心。初二开始，不仅增加了课程，数学要学的内容也较难了。但这些知识都是尔后继续学习和工作的最基础的知识，必需下决心学好它，把握它！因此，树立信心很重要。咱们是21世纪的建设者，以后要把握高科技，建设现代化，此刻就必需扎实打好基础，把远大的理想、以后目标与当前尽力学习联系起来，就会有壮大的动力，去完成一个又一学习任务！
1。已知：如图，AB＝AC，F、E别离是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。
2。已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF。
求证：△ABE≌△CDF。
三角形全等的条件（三）
一．提出问题，创设情境
1。温习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情形？
（2）到目前为止，能够作为判别两三角形全等的方式有几种？各是什么？
下面咱们就来一一探讨其余的三种情形。
已知一个三角形的三条边长别离为6cm、8cm、10cm。你能画出那个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
1.做图方式：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再别离以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧， 两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就能够够取得三角形ABC，使得它们的边长别离为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。
相信你通过学习方式的改良，学习习惯的养成，和顽强拚搏的精神，从初二开始成为数学成绩的优秀者！
全等三角形
一.课前热身
一、问题：你能发觉这两个三角形有什么美好的关系吗？
这两个三角形是完全的。
2。学生自己动手（同桌两名同窗配合）
取一张纸，将自己事前预备好的三角板按在纸上，画以下图形，照图形裁下来，纸样与三角板、完全一样。
前言——如何学好初二数学
步入初二，开始了新的学习生活。如何才能学好初二数学呢？
初二数学是初一数学的继续。在初一，咱们学习了有理数，学习了代数式中的整式运算的性质法那么，学习了一次方程（组）及一元一次不等式（组），又开始了几何的学习，了解了几何最基础的一些概念。这些都为八年级学习打下了基础。八年级上册包括全等三角形，轴对称，实数，一次函数，整式的乘除与因式分解五章内容。八年级下册包括、分式、反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分析五章内容。八年级咱们将学习更为复杂的两种代数式：分式和二次根式，并为初三研究二次方程作好预备。还要要学习数的第六种运算（以前咱们已经学过加、减、乘、除、乘方五种运算）开方的有关性质、法那么，并把数的范围进一步扩大；那个地址，咱们要熟悉新的数：无理数，并把数的范围扩大到实数。学习函数与变量关系，并系统地学习三角形、四边形的大体概念、重要性质。为初三数学的学习奠定基础。
结果展现：
1.只给定一条边时：只给定一个角时：
2.给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。
能够发觉按这些条件画出的三角形都不能保证必然全等。
给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情形吗？
归纳：有四种可能。即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边。
在适才的探讨进程中，咱们已经发觉三个内角对应相等不能保证三角形全等。
对应边为：AB与、AC与、BC与。
对应角为：∠A与、∠角度看
1.翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能彼此重合，从而发觉对应元素。
2.旋转法：三角形绕某一点旋转必然角度能与另一三角形重合，从而发觉对应元素。
3.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素。
３．.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
二、导入新课
1．三角形全等的判定（二）
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。那么，如何才能判定两个三角形全等呢？也确实是说，具有什么条件的两个三角形能全等？是不是需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？此刻咱们用图形变换的方式研究下面的问题：
如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是不是能完全重合呢？
2.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一路，发觉都能够重合。这说明这些三角形都是全等的。
3.特殊的三角形有如此的规律，若是任意画一个三角形ABC，依照前面作法，一样能够做出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′。将△A′B′C′剪下，发觉两三角形重合。
这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。