[不定积分公式]不定积分公式总结

[不定积分公式]不定积分公式总结
篇一 : 不定积分公式总结
1
不定积分小结
一、不定积分基本公式
xa+11
?xdx=+Ca??1 ?dx=ln|x|+C
a
?adx=+C ?sinxdx=?cosx+C lna
?cosxdx=sinx+C ?tanxdx=?ln|cosx|+C
?cotxdx=ln|sinx|+C ?secxdx=ln|secx+tanx|+C
?cscxdx=ln|cscx?cotx|+C ?sec2xdx=tanx+C ?csc2xdx=?cot x+C ???dxdx 1
x
dx1+x2dx
x
ax
=arctanx+C
1
a?x
=aarctana+C ?x?a=2aln|a+x+C x+a=2aln|a?x|+C ?a?x1
a+x
=arcsin??+??
=ln|??+??????|+??
=arcsin??+?? ??
2
xax
??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C
2
xa
??dx=??ln|??+?+??
二、两个重要的递推公式 ????=??????????????? ?cos???????????1?????1 则????=+?????2
易得????:n为奇数时，可递推至D1=?sinxdx=?cosx+C; n为
偶数时，可递推至D2=?sin2xdx=2?????
????=?
1??2???1
则????+1=+??
??易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+C
dx
1
x
x
sin2x4
+C;
2
三、普遍方法
换元积分法:
第一类换元积分法
这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就
要求我们熟悉常见函数的导数。

[,
首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子
x例1: 注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正
好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。

x
=11?+
1d11=?+ 1
=??5+x?x+dx2??xx3dx ?dx=?1242d1d1=???后面套公式就好啦
21?
dx dx1dxd?=?=? 例3:?
3
1d?=arctan+C 2+tan2x
接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

利用三角函数进行代换:sin2x+cos2x=1
tan2x+1=sec2x cot2 x+1=csc2x
换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性例如以下两个基本积分公式
2xax??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C ????2??????=??ln|??+?|+?? dx
例:?利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那么
ππt取就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。

dx34则:?=?costdt 至此，?cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页:
π???????????????利用cosx=sin和???????????????求得
4
令一种解法:
?cos4tdt=?cos2tdt=?cos2tdt??cos2tsin2tdt
利用倍角公式可以解出。

,]
倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下
1例:?dx，令x=，容易求出原函数分部积分法
?μdν=μν??νdμ
应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之
积，如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。

例:?xearctanx
=earctanx1??earctanxx
?[earctanx
xearctanxxdx] =earctanx??dx
x2)则:?
xearctanx=x?1arctanx+C
这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了轮换，应注意。

其实?sindx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。

一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pmeax，Pmsinbx，Pmcosbx，Pmn，Pmarctanx，?就可以尝试分部积分法轻松求得原函数，其中Pm表示m次多项式。

5
例 xex?2x
xex
?2ex?exexex
??dx???dx22x?1
exexex1x??????ed?x?1?1?x x?12
exex1?????x
x?11?x1?x
ex
??C1?x
特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。

,) 关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式:
b?dx b当m=1时，?dx=bln|x?a|+C bb?m+1
当m?1时，?dx=+C cx+d?dx 对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容易求得，第二部分利用第一页的递推公式: ????????=? 1??2???1则????+1=+?? ??
易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+C
以下几例用于练习有理式的分解和计算: dx1x
6
例1:?
例2:?
例3:?dxdxdxdx==dx 2、三角函数有理式的积分
常用技巧:凑微分
例1:?sinmx cosnxdx
若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。

中的递推公式。

cosx1例2:?dx=?d dx利用已经解得的?的结果π补充一点:???????????????利用cosx=sin和???????????????求
得 ???11???????????????????????=??????????2??????=???????????2????
?? 这就得到了???????????????的递推公式，事实上还可以将其看作?sinmx cosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用?sinmx cosnxdx的求解方法。

倍角公式、积化和差
例:?sin5x sin7xdx
分项技巧
1sin2x+cos2x11例1:?dx=?dx=?dx+?dx 至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。

dx1sin[?]例2:?=?dx= 1cos cos ?[?]dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。

dx12sinx+cosx例3:?=?[+]dx 2dx2?d=?+? ?cos
7
ππ2=|sec|?arctan+C
配凑法
cosxdx 例 I??acosx?bsinx
sinxI?dx2?cosxacosx?bsinx 则 dx，假设I1??acosx?bsinx
aI1?bI2得到 2aI1?bI2??dx?x?C1---------
bI1-aI2得到
bI1-aI2??bcosx?asinxdxacosx?bsinx
1??d------ acosx?bsinx
?ln|acosx?bsinx|?C2
由与解得:
baI1?2ln|acosx?bsinx|?x?C. 222a?ba?b
abI2?2ln|acosx?bsinx|?x?C. 222a?ba?b
万能公式:令μ=tan2，则sinx=1+μ cosx=1+μ
2μ2tanx= dx= μ21?令μ=tanx，则sinx=? cosx=?? 1 dx= dμ=?
x2μ1?μ2
3、简单无理函数的积分当被积函数是x与??的有理式时，采
用变换μ n
8
=，就可化为有理函数的积分
例:11+x1+x=??dx，设t=?代换即可 n
当被积函数是x与?ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计
算。

,] 例:dx
=dx
x+1=tant即可
附:另类题目:确定A和B，使下式成立
dxAsinxdx?=+B? 解:两边同时求导，化简整理可得:
Ab+Ba+cosx=1
Ab+Ba=1从而有:{ Aa+Bb=0
当a2?b2时，解得A=a?b，B=a?b
当a2=b2时,无解。

?ba
篇二 : 不定积分公式中为何有一个C。

这个常数C在不定积分公式中起了什么作?
不定积分
不定积分公式中为何有一个。

这个常数C在不定积分公式中起了什么作用, 那个C标明不定积分的结果是个函数族，这些函数除了常数项不一样外，其他都一样
篇三 : 不定积分公式总结
1
不定积分小结
一、不定积分基本公式
xa+11
?xdx=+Ca??1 ?dx=ln|x|+C
a
?adx=+C ?sinxdx=?cosx+C lna
?cosxdx=sinx+C ?tanxdx=?ln|cosx|+C
?cotxdx=ln|sinx|+C ?secxdx=ln|secx+tanx|+C
?cscxdx=ln|cscx?cotx|+C ?sec2xdx=tanx+C ?csc2xdx=?cot x+C ???dxdx
1
x
dx1+x2dx
x
ax
=arctanx+C
1
a?x
=aarctana+C ?x?a=2aln|a+x+C x+a=2aln|a?x|+C ?a?x1
a+x
=arcsin??+??
=ln|??+??????|+??
=arcsin??+?? ??
2
xax
??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C
2
xa
??dx=??ln|??+?+??
二、两个重要的递推公式 ????=??????????????? ?cos???????????1?????1
则????=+?????2
易得????:n为奇数时，可递推至D1=?sinxdx=?cosx+C; n为偶数时，可递推至D2=?sin2xdx=2?????
????=?
1??2???1
则????+1=+??
??易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+C
dx
1
x
x
sin2x4
+C;
2
三、普遍方法
换元积分法:
第一类换元积分法
这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就
要求我们熟悉常见函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子
x例1: 注意到分母根号下为二次，其导数为一次，而分子正
好就是一次，通过凑微分和配方可以得到解决。

x
=11?+
1d11=?+ 1
=??5+x?x+dx2??xx3dx ?dx=?1242d1d1=???后面套公式就好啦 21? dx dx1dxd?=?=? 例3:?
3
1d?=arctan+C 2+tan2x
接下来举几个我们可能不太熟悉的例子，不容易凑成微分。

3例4:=) 23233??=
2=32?3至此可以套用公式了 32
?例5:?131dx=?dx，注意到的导数为?3ln2， 1+1至此可以用凑微分法了
xx sinx例6:?dx=?dx 注意到sinx?xcosx的导数为x sinx
第二类换元积分法
利用三角函数进行代换:sin2x+cos2x=1
tan2x+1=sec2x cot2 x+1=csc2x
换元时必须要注意变量的范围，保证范围的等价性例如以下两个基本积分公式
2xax??a2?x2dx=?a2?x2+arcsin+C ????2??????=??ln|??+?|+?? dx
例:?利用tan2x+1=sec2x，令x=3tant，这里x可以取到全体实数，那
么
ππt取就可以保证x取到全体实数，因为t的范围直接影响到三角函数的正负，所以这一点在涉及到开根号的三角函数表达式时尤为重要。

dx34则:?=?costdt 至此，?cos4tdt有多种求法，比如说直接用递推公式，见第五页:
π???????????????利用cosx=sin和???????????????求得
4
令一种解法:
?cos4tdt=?cos2tdt=?cos2tdt??cos2tsin2tdt
利用倍角公式可以解出。

倒代换，经常用在分母多项式次数较高的情况下
1例:?dx，令x=，容易求出原函数分部积分法
?μdν=μν??νdμ
应用分部积分法时，需要把被积函数看作两个因式μ及dν之积，如何选取这两者是很关键的，选取不当，将使积分愈化愈繁.积分时应注意dν比较好积，同时μ的选取应使其倒数比μ简单，两者应兼顾。

例:?xearctanx =earctanx1??earctanxx
?[earctanx
xearctanxxdx] =earctanx??dx
x2)则:?
xearctanx=x?1arctanx+C
这个函数就有多种拆分方法，需要我们多尝试几次才能解出，并且用到了轮换，应注意。

其实?sindx也用到了轮换，详情请查阅教材165页。

一般情况下，被积函数形如eaxsinbx，eaxcosbx，Pmeax，Pmsinbx，Pmcosbx，Pmn，Pmarctanx，?就可以尝试分部积分法轻松求得原函数，其中Pm表示m次多项式。

5
例 xex?2x
xex
?2ex?exexex
??dx???dx22x?1
exexex1x??????ed?x?1?1?x x?12
exex1?????x
x?11?x1?x
ex
??C1?x
特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
参考教材171页有关有理函数分解定理的说明，比较繁琐，但要掌握。

关键在于将有理函数分解为要求的形式，并会解决分解后的各
种函数的积分，其实我们可以将其归结为两种形式:
b?dx b当m=1时，?dx=bln|x?a|+C bb?m+1
当m?1时，?dx=+C cx+d?dx 对于分子，我们可以将其凑为x2+ax+b的导数和某一常数之和，第一部分容易求得，第二部分利用第一页的递推公式: ????????=? 1??2???1则????+1=+?? ??
易得????可递推至??1=?x+a=aarctana+C
以下几例用于练习有理式的分解和计算: dx1x
6
例1:?
例2:?
例3:?dxdxdxdx==dx 2、三角函数有理式的积分
常用技巧:凑微分
例1:?sinmx cosnxdx
若m和n都是偶数，利用sin2x+cos2x=1将其化为同名函数。

若m或n为奇数，则拆开一个凑成微分，然后再化为同名函数，之后再利用中的递推公式。

cosx1例2:?dx=?d dx利用已经解得的?的结果π补充一点:???????????????利用cosx=sin和???????????????求
得 ???11???????????????????????=??????????2??????=???????????2????
?? 这就得到了???????????????的递推公式，事实上还可以将其看作?sinmx cosnxdx的特殊形式，只不过m=-n罢了，当然可以用?sinmx
cosnxdx的求解方法。

倍角公式、积化和差
例:?sin5x sin7xdx
分项技巧
1sin2x+cos2x11例1:?dx=?dx=?dx+?dx 至此第一项可以继续分项或者利用倍角公式，第二项可以直接套用中的递推公式或者利用分部积分求解，实际上递推公式也是由分部积分法得到的。

dx1sin[?]例2:?=?dx= 1cos cos ?[?]dx，这里利用了三角和公式，至此可以直接套用基本积分表了。

dx12sinx+cosx例3:?=?[+]dx 2dx2?d=?+? ?cos
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ππ2=|sec|?arctan+C
配凑法
cosxdx 例 I??acosx?bsinx
sinxI?dx2?cosxacosx?bsinx 则 dx，假设I1??acosx?bsinx
aI1?bI2得到 2aI1?bI2??dx?x?C1---------
bI1-aI2得到
bI1-aI2??bcosx?asinxdxacosx?bsinx
1??d------ acosx?bsinx
?ln|acosx?bsinx|?C2
由与解得:
baI1?2ln|acosx?bsinx|?x?C. 222a?ba?b
abI2?2ln|acosx?bsinx|?x?C. 222a?ba?b
万能公式:令μ=tan2，则sinx=1+μ cosx=1+μ
2μ2tanx= dx= μ21?令μ=tanx，则sinx=? cosx=?? 1 dx= dμ=?
x2μ1?μ2
3、简单无理函数的积分当被积函数是x与??的有理式时，采用变换μ n
8
=，就可化为有理函数的积分
例:11+x1+x=??dx，设t=?代换即可 n
当被积函数是x与?ax2+bx+c的有理式时，通常先将ax2+bx+c 配方，再用三角变换化为三角有理式的积分或直接利用积分公式计算。

例:dx =dx
x+1=tant即可
附:另类题目:确定A和B，使下式成立
dxAsinxdx?=+B? 解:两边同时求导，化简整理可得:Ab+Ba+cosx=1
Ab+Ba=1从而有:{ Aa+Bb=0
当a2?b2时，解得A=a?b，B=a?b
当a2=b2时,无解。

?ba。